第二十六讲 与圆有关的位置关系
1. (2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是(C)
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
2.(2024·福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于(A)
A.18° B.30°
C.36° D.72°
3.如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.
若OA=5,PA=12,则CA的长为 .
4.(2024·浙江)如图,AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,连接BC.
已知∠ACB=50°,则∠B的度数为 40° .
5.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 .
6.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.
已知∠A=50°,则∠D的度数是 65° .
7.为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上,并量出AB=4 cm,则这张光盘的半径是 6.9 cm.(精确到0.1 cm.参考数据:≈1.73)
8.如图,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,E为的中点,点C在BA的延长线上,且∠CDA=∠B.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长.
【解析】(1)连接OD,如图所示:
∵AB是直径,∴∠BDA=90°,
∴∠BDO+∠ADO=90°,
又∵OB=OD,∠CDA=∠B,∴∠B=∠BDO=∠CDA,∴∠CDA+∠ADO=90°,
∴OD⊥CD,且OD为☉O半径,∴CD是☉O的切线;
(2)连接OE,如图所示:
∵∠BDE=30°,∴∠BOE=2∠BDE=60°,
又∵E为的中点,∴∠EOD=60°,
∴△EOD为等边三角形,
∴ED=EO=OD=2,
又∵∠BOD=∠BOE+∠EOD=120°,
∴∠DOC=180°-∠BOD=180°-120°=60°,
在Rt△DOC中,∠DOC=60°,OD=2,
∴tan∠DOC=tan60°===,∴CD=2.
9.(2024·包头)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,
∠BCP=35°,则∠ADC的度数为 105° .
10.(2024·泰安)如图,AB是☉O的直径,AH是☉O的切线,点C为☉O上任意一点,点D为的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F.
若DF=1,tan B=,则AE的长为 .
11. (2024·扬州)如图,已知两条平行线l1,l2,点A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,点C,D分别是l1,l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin ∠BAH的值为 .
12.(2024·武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin ∠OAC的值.
【解析】(1)连接OD,OA,作OH⊥AB于H,如图,
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC.
∵AC与☉O相切于点D,∴OD⊥AC.
而OH⊥AB,∴OH=OD,
∴AB是☉O的切线.
(2)由(1)知OD⊥AC,
在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+CD2=OC2,
∴OD2+42=(OD+2)2,
∴OD=3,∴OC=5,∴cos C==.
在Rt△OCA中,cos C==,
∴sin ∠OAC==.
13.如图,在☉O中,AB是一条不过圆心O的弦,点C,D是的三等分点,直径CE交AB于点F,连接AD交CF于点G,连接AC,过点C的切线交BA的延长线于点H.
(1)求证:AD∥HC;
(2)若=2,求tan ∠FAG的值;
(3)连接BC交AD于点N,若☉O的半径为5.
下面三个问题,依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平,选择其中一道问题进行解答.
①若OF=,求BC的长;
②若AH=,求△ANB的周长;
③若HF·AB=88,求△BHC的面积.
【解析】(1)∵点C,D是的三等分点,
∴==.
由CE是☉O的直径可得CE⊥AD,
∵HC是☉O的切线,
∴HC⊥CE,
∴AD∥HC;
(2)如图1,连接AO,
∵=,
∴∠BAD=∠CAD,
∵CE⊥AD,
∴∠AGC=∠AGF=90°,
∴△CAG≌△FAG(ASA),
∴CG=FG,
设CG=a,则FG=a,
∵=2,
∴OG=2a,AO=CO=3a.
在Rt△AOG中,AO2=AG2+OG2,
∴(3a)2=AG2+(2a)2,
∴AG=a,
∴tan ∠FAG==.
∴tan ∠FAG的值为.
(3)①∵OF=,OC=OA=5,
∴CF=,
∴CG=FG=,
∴OG=,
∴AG==,
∵CE⊥AD,
∴AD=2AG=,
∵==,
∴=,
∴BC=AD=.
∴BC的长为.
②如图2,连接CD,
∵AD∥HC,FG=CG,
∴AH=AF,
∵∠HCF=90°,
∴AC=AH=AF=,
设CG=x,则FG=x,OG=5-x,
由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2,
即25-(5-x)2=10-x2,解得x=1,
∴AG=3,AD=6,
∵=,
∴∠DAC=∠BCD,
∵∠CDN=∠ADC,
∴△CDN∽△ADC,∴=,
∴ND==,AN=,
∵∠BAD=∠DAC,∠ABN=∠ADC,
∴△ANB∽△ACD,∴C△ANB=C△ACD×=(6+2)×=+.
∴△ANB的周长为+.
③如图3,过点O作OM⊥AB于点M,则AM=MB=AB,
设CG=x,则FG=x,OG=5-x,OF=5-2x,
由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2,AF2=AG2+FG2=10x-x2+x2=10x,
∵AD∥HC,FG=CG,
∴AH=AF=HF,
∴AG=HC,
∴AF·AM=HF·AB=HF·AB=×88=22,
∵∠AGF=∠OMF=90°,∠AFG=∠OFM,
∴△AFG∽△OFM,
∴=,
∴AF·FM=OF·GF,
∴AF·AM=AF·(AF+FM)=AF2+AF·FM=AF2+OF·GF=22,
可得方程10x+x(5-2x)=22,
解得x1=2,x2=5.5(舍去),
∴CG=FG=2,
∴OG=3,∴AG=4,
∴HC=8,AH=AF=2,
∴S△CHA=8,
∵AD∥HC,∴∠CAD=∠ACH,
∵=,
∴∠B=∠CAD,
∴∠B=∠ACH,
∵∠H=∠H,
∴△CHA∽△BHC,
∴S△BHC=8×()2=.
∴△BHC的面积为.第二十六讲 与圆有关的位置关系
1. (2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
2.(2024·福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于( )
A.18° B.30°
C.36° D.72°
3.如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.
若OA=5,PA=12,则CA的长为 .
4.(2024·浙江)如图,AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,连接BC.
已知∠ACB=50°,则∠B的度数为 .
5.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 .
6.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.
已知∠A=50°,则∠D的度数是 .
7.为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上,并量出AB=4 cm,则这张光盘的半径是 cm.(精确到0.1 cm.参考数据:≈1.73)
8.如图,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,E为的中点,点C在BA的延长线上,且∠CDA=∠B.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长.
9.(2024·包头)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,
∠BCP=35°,则∠ADC的度数为 .
10.(2024·泰安)如图,AB是☉O的直径,AH是☉O的切线,点C为☉O上任意一点,点D为的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F.
若DF=1,tan B=,则AE的长为 .
11. (2024·扬州)如图,已知两条平行线l1,l2,点A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,点C,D分别是l1,l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin ∠BAH的值为 .
12.(2024·武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin ∠OAC的值.
13.如图,在☉O中,AB是一条不过圆心O的弦,点C,D是的三等分点,直径CE交AB于点F,连接AD交CF于点G,连接AC,过点C的切线交BA的延长线于点H.
(1)求证:AD∥HC;
(2)若=2,求tan ∠FAG的值;
(3)连接BC交AD于点N,若☉O的半径为5.
下面三个问题,依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平,选择其中一道问题进行解答.
①若OF=,求BC的长;
②若AH=,求△ANB的周长;
③若HF·AB=88,求△BHC的面积.
