第二十七讲 圆的有关计算
1.(2024·安徽)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则的长为(C)
A.2π B.3π C.4π D.6π
2.如图,圆锥的底面半径r=6,高h=8,则圆锥的侧面积是(D)
A.15π B.30π C.45π D.60π
3.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于(B)
A.π B.3π
C.2π D.2π-
4.如果圆锥侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
5.若扇形的圆心角为120°,半径为,则它的弧长为 π .
6.(2024·宿迁)已知圆锥的底面半径为3,母线长为12,则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 90 °.
7.若一个圆锥的底面半径是2 cm,母线长是6 cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 度.
8.一个扇形的面积为7π cm2,半径为6 cm,则此扇形的圆心角是 70 度.
9.(2024·湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC上,以CE为直径的☉O经过AB上的点D,与OB交于点F,且BD=BC.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若AD=,AE=1,求的长.
【解析】(1)如图,连接OD,
在△OBD和△OBC中,,
∴△OBD≌△OBC(SSS),
∴∠ODB=∠OCB=90°,∴OD⊥AB.
∵OD是☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
(2)设☉O的半径为R,
在Rt△OAD中,AD=,AE=1,AO=AE+OE=1+R,OD=R,AD2+OD2=AO2,
∴()2+R2=(1+R)2,解得R=1,
∴OD=1,∴tan ∠AOD==,
∴∠AOD=60°,∴∠COD=120°.
由(1)知△OBD≌△OBC,
∴∠BOD=∠BOC=∠COD=60°,
∴的长为=.
10.如图,在3×3的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分,小正方形边长为1,图中阴影部分的面积为(D)
A.π- B.π-
C.π- D.π-
11.如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB'C',连接B'C并延长交AB于点D,当B'D⊥AB时,的长是(B)
A.π B.π
C.π D.π
12.某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30 cm.为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是(B)
A.30 cm B.30 cm
C.60 cm D.20π cm
13.(2024·烟台)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,以FB的长为半径作,剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为 .
14.(2024·齐齐哈尔)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若sin ∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)连接OC(图略),
∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,
∴∠EBC=∠DBC,∠E=∠BDC=90°,
∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BE,
∴∠OCF=∠E=90°,
∵OC是☉O的半径,∴CF是☉O的切线.
(2)∵sin ∠CFB=,∴∠CFB=45°,
∵∠OCF=90°,∴∠COF=CFO=45°,
∴CF=OC=AB=4,∵∠CDO=90°,
∴∠OCD=∠COD=45°,
∴CD=OD=OC=2,
∴图中阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△COD的面积
=-×2×2=2π-4.
15.装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.计算:在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作:将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动.如图2.其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D.
探究:在图2中.
(2)操作后水面高度下降了多少
(3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小.
【解析】(1)连接OM,
∵O为圆心,OC⊥MN于点C,MN=48 cm,
∴MC=MN=24 cm,
∵AB=50 cm,
∴OM=AB=25 cm,
在Rt△OMC中,
OC===7(cm);
(2)∵GH与半圆的切点为E,
∴OE⊥GH,
∵MN∥GH,
∴OE⊥MN于点D,
∵∠ANM=30°,ON=25 cm,
∴OD=ON= cm,
∴操作后水面下降高度为-7=(cm);
(3)∵OE⊥MN于点D,∠ANM=30°,
∴∠DOB=60°,
∵半圆的中点为Q,
∴=,
∴∠QOB=90°,
∴∠QOE=30°,
∴EF=tan ∠QOE·OE=(cm),
的长为=(cm),
∵-π==>0,∴EF>.第二十七讲 圆的有关计算
1.(2024·安徽)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则的长为( )
A.2π B.3π C.4π D.6π
2.如图,圆锥的底面半径r=6,高h=8,则圆锥的侧面积是( )
A.15π B.30π C.45π D.60π
3.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形,它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于( )
A.π B.3π
C.2π D.2π-
4.如果圆锥侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.若扇形的圆心角为120°,半径为,则它的弧长为 .
6.(2024·宿迁)已知圆锥的底面半径为3,母线长为12,则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °.
7.若一个圆锥的底面半径是2 cm,母线长是6 cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角是 度.
8.一个扇形的面积为7π cm2,半径为6 cm,则此扇形的圆心角是 度.
9.(2024·湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC上,以CE为直径的☉O经过AB上的点D,与OB交于点F,且BD=BC.
(1)求证:AB是☉O的切线;
(2)若AD=,AE=1,求的长.
10.如图,在3×3的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分,小正方形边长为1,图中阴影部分的面积为( )
A.π- B.π-
C.π- D.π-
11.如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB'C',连接B'C并延长交AB于点D,当B'D⊥AB时,的长是( )
A.π B.π
C.π D.π
12.某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30 cm.为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是( )
A.30 cm B.30 cm
C.60 cm D.20π cm
13.(2024·烟台)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,以FB的长为半径作,剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为 .
14.(2024·齐齐哈尔)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若sin ∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
15.装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.计算:在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作:将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动.如图2.其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D.
探究:在图2中.
(2)操作后水面高度下降了多少
(3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小.
