第二十三讲 矩形、菱形
1.在下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是( )
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=AD D.AC=BD
2.如图,将矩形ABCD沿AC折叠,使点B落在点B'处,B'C交AD于点E,若∠1=25°,则∠2等于( )
A.25° B.30° C.50° D.60°
3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为( )
A.S B.S
C.S D.S
5.如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
6.如图,两条宽为1的带子以α角交叉重叠,则重叠部分(阴影部分)的面积为( )
A.sin α B.
C. D.
7.(2024·陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
9.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
10.(2024·无锡)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是CD的中点,
则sin ∠EBC的值为( )
A. B. C. D.
11.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,
EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
12.(2024·安徽)如图1, ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.
(1)求证:OE=OF;
(2)连接BM交AC于点H,连接HE,HF.
(ⅰ)如图2,若HE∥AB,求证:HF∥AD;
(ⅱ)如图3,若 ABCD为菱形,且MD=2AM,∠EHF=60°,求的值.第二十三讲 矩形、菱形
1.在下列条件中,能够判定 ABCD为矩形的是(D)
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.AB=AD D.AC=BD
2.如图,将矩形ABCD沿AC折叠,使点B落在点B'处,B'C交AD于点E,若∠1=25°,则∠2等于(C)
A.25° B.30° C.50° D.60°
3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为(B)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为(B)
A.S B.S
C.S D.S
5.如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=(C)
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
6.如图,两条宽为1的带子以α角交叉重叠,则重叠部分(阴影部分)的面积为(B)
A.sin α B.
C. D.
7.(2024·陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
【证明】∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°.
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,,
∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.
8.(2024·福建)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,
且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(AAS),∴BE=DF.
9.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
10.(2024·无锡)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是CD的中点,
则sin ∠EBC的值为(C)
A. B. C. D.
11.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,
EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
【解析】(1)∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵CE∥AD,∴∠ECD=180°-∠ADC=90°.
又∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)由(1)可知四边形ADCE是矩形,
∴AE=DC,CE=AD=3,∠AEC=90°.
∵D是BC的中点,BC=4,
∴DC=AE=BC=2.
在△ADC中,∠ADC=90°,
∴AC===.
∵EF⊥AC,
∴EF·AC=AE·CE,即EF·=×2×3,∴EF=.
12.(2024·安徽)如图1, ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.
(1)求证:OE=OF;
(2)连接BM交AC于点H,连接HE,HF.
(ⅰ)如图2,若HE∥AB,求证:HF∥AD;
(ⅱ)如图3,若 ABCD为菱形,且MD=2AM,∠EHF=60°,求的值.
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,∴AM∥CN.
∵AM=CN,∴四边形AMCN是平行四边形,
∴AN∥CM,∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE与△COF中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
(2)(ⅰ)∵HE∥AB,∴=.
∵OB=OD,OE=OF,∴=.
∵∠HOF=∠AOD,
∴△HOF∽△AOD,
∴∠OHF=∠OAD,∴HF∥AD.
(ⅱ)∵ ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
∵OE=OF,∠EHF=60°,
∴∠EHO=∠FHO=30°,∴OH=OE.
∵AM∥BC,MD=2AM,
∴==,即HC=3AH,
∴OA+OH=3(OA-OH),∴OA=2OH.
∵BN∥AD,MD=2AM,AM=CN,
∴==,即3BE=2ED,
∴3(OB-OE)=2(OB+OE),
∴OB=5OE,
∴===.
