第二十四讲 正方形
1.下列说法不正确的是( )
A.对角线互相垂直的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.邻边相等的矩形是正方形
2.数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具,此时测得∠D=60°,对角线AC长为16 cm,改变教具的形状成为图2所示的正方形,则正方形的边长为( )
A.8 cm B.4 cm
C.16 cm D.16 cm
3.如图,AC是正方形ABCD的对角线,以AD为边向正方形内部做等边三角形ADE,边DE交AC于点F,则∠EFC的度数是( )
A.45° B.60° C.65° D.75°
4.如图,在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是( )
A.1 B.1.5
C.2 D.2.5
5.如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBF.若∠ABE=55°,则∠EGC= 度.
6.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是 .
7. (2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为3,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连接DE.
(Ⅰ)线段AE的长为 ;
(Ⅱ)若F为DE的中点,则线段AF的长为 .
8.如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
9.如图,在正方形ABCD中,点E为边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,连接BD交AE于点G,FH平分∠BFG交BD于点H.则下列结论中,正确的个数为( )
①AB2=BF·AE;
②S△BGF∶=2∶3;
③当AB=a时,BD2-BD·HD=a2.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.(2024·福建)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 .
11.(2024·河南)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 .
12.如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AM⊥BM,P是CD边上的一个动点,E是AD边的中点,则线段PE+PM的最小值为 .
13.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是AE的中点,连接OF交AD于点G.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为 .
14.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,的值是 .
15.课本再现
(1)如图1,O是正方形ABCD对角线的交点,同时,O是正方形A1B1C1O的一个顶点,且这两个正方形的边长相等,两个正方形重叠的部分为四边形EBFO,
则= S正方形ABCD;AE BF(填“>”“=”或“<”).
拓展延伸
(2)如图2,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD上一点,连接OE,过点O作OF⊥OE,交CD于点F.若四边形OFDE的面积是1,求线段AB的长.第二十四讲 正方形
1.下列说法不正确的是(C)
A.对角线互相垂直的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.邻边相等的矩形是正方形
2.数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具,此时测得∠D=60°,对角线AC长为16 cm,改变教具的形状成为图2所示的正方形,则正方形的边长为(C)
A.8 cm B.4 cm
C.16 cm D.16 cm
3.如图,AC是正方形ABCD的对角线,以AD为边向正方形内部做等边三角形ADE,边DE交AC于点F,则∠EFC的度数是(D)
A.45° B.60° C.65° D.75°
4.如图,在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是(C)
A.1 B.1.5
C.2 D.2.5
5.如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBF.若∠ABE=55°,则∠EGC= 80 度.
6.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是 8 .
7. (2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为3,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连接DE.
(Ⅰ)线段AE的长为 2 ;
(Ⅱ)若F为DE的中点,则线段AF的长为 .
8.如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为(C)
A. B.2 C.2 D.4
9.如图,在正方形ABCD中,点E为边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,连接BD交AE于点G,FH平分∠BFG交BD于点H.则下列结论中,正确的个数为(D)
①AB2=BF·AE;
②S△BGF∶=2∶3;
③当AB=a时,BD2-BD·HD=a2.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.(2024·福建)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 2 .
11.(2024·河南)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 (3,10) .
12.如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AM⊥BM,P是CD边上的一个动点,E是AD边的中点,则线段PE+PM的最小值为 -1 .
13.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是AE的中点,连接OF交AD于点G.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为 .
14.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,的值是 .
15.课本再现
(1)如图1,O是正方形ABCD对角线的交点,同时,O是正方形A1B1C1O的一个顶点,且这两个正方形的边长相等,两个正方形重叠的部分为四边形EBFO,
则= S正方形ABCD;AE BF(填“>”“=”或“<”).
拓展延伸
(2)如图2,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD上一点,连接OE,过点O作OF⊥OE,交CD于点F.若四边形OFDE的面积是1,求线段AB的长.
【解析】(1)如图,连接OA,OB,
∵O是正方形ABCD对角线的交点,
∴OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,∠AOB=90°;
∴∠AOE+∠EOB=90°;
在正方形A1B1C1O中,∠A1OC1=∠EOB+∠BOF=90°,
∴∠AOE=∠BOF,
∴△OAE≌△OBF(ASA),
∴S△OAE=S△OBF,AE=BF,
∴S△AOB=S△AOE+S△EOB=S△OBF+S△EOB=S四边形EBFO,
∵S△AOB=OA·OB=OA2,AB2=OA2+OB2=2OA2,S正方形ABCD=AB2,
∴OA2=AB2,
∴S△AOB=S正方形ABCD,
∴S四边形EBFO=S正方形ABCD.
答案: =
(2)∵O是正方形ABCD对角线的交点,
∴OD=OC,∠ODE=∠OCF=45°,∠DOC=90°,
∴∠DOF+∠FOC=90°;
∵OF⊥OE,∠EOD+∠DOF=90°,
∴∠EOD=∠FOC,
∴△ODE≌△OCF(ASA),
∴S△ODE=S△OCF,
∴S△COD=S△DOF+S△FOC=S△DOF+S△DOE=S四边形EDFO=1,
∴S△COD=OC·OD=OD2=1.
∴OD2=2,
∵CD2=OD2+OC2=2OD2=4,
∴AB=CD=2.
