第二十五讲 圆的认识
1.(2024·湖南)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.135°
2.(2024·宜宾)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.(2024·济宁)如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边,延长线相交于点E,F.若∠E=54°41',∠F=43°19',则∠A的度数为( )
A.42° B.41°20' C.41° D.40°20'
4.(2024·苏州)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A= °.
5.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
6.如图,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在格点上,则cos∠ACB的值是 .
7.如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为 .
8.如图,A,B,C是☉O上的三点,且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A,B,C的另一点,则∠ADC的度数是 .
9.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于点D,BC于E,连接ED.若ED=EC.
(1)求证:AB=AC.
(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
11.如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
12.(2024·宜宾)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O于D,则的值为( )
A. B. C.2 D.2
13.如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC= .
14.如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=72°,那么∠BOD的度数为 .
15.(2024·安徽)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
16.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与边BC相交于点F,与△ABC的外接圆交于点D.
(1)求证:S△ABF∶S△ACF=AB∶AC;
(2)求证:AB∶AC=BF∶CF;
(3)求证:AF2=AB·AC-BF·CF;
(4)猜想:线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系.(直接写出,不需要证明.)第二十五讲 圆的认识
1.(2024·湖南)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为(C)
A.60° B.75° C.90° D.135°
2.(2024·宜宾)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于(A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.(2024·济宁)如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边,延长线相交于点E,F.若∠E=54°41',∠F=43°19',则∠A的度数为(C)
A.42° B.41°20' C.41° D.40°20'
4.(2024·苏州)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A= 62 °.
5.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
6.如图,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在格点上,则cos∠ACB的值是 .
7.如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为 52.5° .
8.如图,A,B,C是☉O上的三点,且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A,B,C的另一点,则∠ADC的度数是 60°或120° .
9.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于点D,BC于E,连接ED.若ED=EC.
(1)求证:AB=AC.
(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.
【解析】(1)∵ED=EC,∴∠C=∠EDC.
又∵∠B+∠ADE=180°,∠EDC+∠ADE=180°,
∴∠B=∠EDC=∠C,∴AB=AC.
(2)连接AE.∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,∴CE=BC=.
由(1)知AB=AC,∠B=∠EDC,
又∵∠C=∠C,∴△ECD∽△ACB.
∴=,∴=,∴CD=.
10.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为(B)
A.40° B.50°
C.60° D.70°
11.如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为(C)
A.25° B.35° C.40° D.45°
12.(2024·宜宾)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O于D,则的值为(A)
A. B. C.2 D.2
13.如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC= 80° .
14.如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=72°,那么∠BOD的度数为 144° .
15.(2024·安徽)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
【解析】(1)∵FA=FE,∴∠FAE=∠AEF.
∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角,
∴∠FAE=∠BCE.
∵∠AEF=∠CEB,∴∠CEB=∠BCE.
∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°,
∴∠CDE=90°,∴CD⊥AB.
(2)由(1)知,∠BEC=∠BCE,∴BE=BC.
∵AF=EF,FM⊥AB,
∴MA=ME=2,AE=4,
∴圆的半径OA=OB=AE-OE=3,
∴BC=BE=OB-OE=2.
在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°,
∴AC===4.
16.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与边BC相交于点F,与△ABC的外接圆交于点D.
(1)求证:S△ABF∶S△ACF=AB∶AC;
(2)求证:AB∶AC=BF∶CF;
(3)求证:AF2=AB·AC-BF·CF;
(4)猜想:线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系.(直接写出,不需要证明.)
【解析】(1)过点F作FH⊥AC,FG⊥AB,垂足分别为H,G,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴AD是∠BAC的平分线,
∵FH⊥AC,FG⊥AB,
∴FG=FH,
∵S△ABF=·AB·FG,S△ACF=·AC·FH,
∴S△ABF∶S△ACF=AB∶AC;
(2)过点A作AM⊥BC于点M,如图,
∵S△ABF=BF·AM,S△ACF=FC·AM,
∴S△ABF∶S△ACF=BF∶FC,
由(1)可得S△ABF∶S△ACF=AB∶AC.
∴AB∶AC=BF∶FC;
(3)连接DB,DC,如图,
∵=,=,
∴∠ACF=∠BDF,∠FAC=∠FBD,
∴△BFD∽△AFC,
∴BF·CF=AF·DF,
∵=,
∴∠FBA=∠ADC,
又∠BAD=∠DAC,
∴△ABF∽△ADC,
∴=,
∴AB·AC=AD·AF,
∴AB·AC=(AF+DF)·AF=AF2+AF·DF,
∴AF2=AB·AC-BF·CF;
(4)连接BE,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠FBE,
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD,∠ADB=∠BDF,
∴△ABD∽△BFD,
∴=,
∴DB2=DA·DF,
∵∠BED=∠BAE+∠ABE=∠BAC+∠ABC,
∠DBE=∠DBC+∠FBE=∠DAC+∠FBE=∠BAC+∠ABC,
∴∠BED=∠DBE,
∴DB=DE,∴DE2=DA·DF.
