第二十一讲 解直角三角形
1.已知∠α为锐角,且sin α=,则∠α=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图,从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A.∠BAD B.∠ACB
C.∠BAC D.∠DAC
3.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为( )
A.3 B.3 C.3 D.6
4.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos ∠ABC的值为( )
A. B. C. D.
5.爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,若某人爬了
1 000 m,该坡角为30°,则他耗能约为(参考数据:≈1.732,≈1.414)( )
A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J
6.(2024·深圳)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度约为( )
(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
A.22.7 m B.22.4 m
C.21.2 m D.23.0 m
7.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 海里.
8.为弘扬革命传统精神,清明期间,某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼,想知道纪念碑的高度CD(碑顶到水平地面的距离),于是师生组成综合实践小组进行测量.他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°,在B点处测得碑顶D的仰角为60°,已知AB=35 m,测角仪的高度是1.5 m(A,B,C在同一直线上),根据以上数据求烈士纪念碑的高度CD.(≈1.732,结果保留一位小数)
9. (2024·达州)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,
∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan ∠BCD的值为( )
A.2 B.2 C. D.3
10.为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路AB.如图,经勘测,AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,则改造后公路AB的长是 千米.(精确到0.1千米;参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
tan 37°≈0.75,≈1.73).
11.(2024·内江)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan ∠EFC= .
12.(2024·盐城)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为 m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
13.如图,海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上;航行12 n mile到达C点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是 n mile.(≈1.73,结果用四舍五入法精确到0.1)
14.(2024·苏州)图①是某种可调节支撑架,BC为水平固定杆,竖直固定杆AB⊥BC,活动杆AD可绕点A旋转,CD为液压可伸缩支撑杆,已知AB=10 cm,BC=20 cm,
AD=50 cm.
(1)如图②,当活动杆AD处于水平状态时,求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号);
(2)如图③,当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α,且tan α=(α为锐角),求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号).第二十一讲 解直角三角形
1.已知∠α为锐角,且sin α=,则∠α=(A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.如图,从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(D)
A.∠BAD B.∠ACB
C.∠BAC D.∠DAC
3.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为(D)
A.3 B.3 C.3 D.6
4.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos ∠ABC的值为(B)
A. B. C. D.
5.爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,若某人爬了
1 000 m,该坡角为30°,则他耗能约为(参考数据:≈1.732,≈1.414)(B)
A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J
6.(2024·深圳)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度约为(A)
(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
A.22.7 m B.22.4 m
C.21.2 m D.23.0 m
7.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 6(+1) 海里.
8.为弘扬革命传统精神,清明期间,某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼,想知道纪念碑的高度CD(碑顶到水平地面的距离),于是师生组成综合实践小组进行测量.他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°,在B点处测得碑顶D的仰角为60°,已知AB=35 m,测角仪的高度是1.5 m(A,B,C在同一直线上),根据以上数据求烈士纪念碑的高度CD.(≈1.732,结果保留一位小数)
【解析】由题意得,AM=BN=CE=1.5 m,AB=MN=35 m,
∠DEM=90°,∠DNE=60°,∠DME=30°,
∵∠DNE是△DMN的外角,
∴∠MDN=∠DNE-∠DMN=30°,
∴∠DMN=∠MDN=30°,
∴DN=MN=35 m,
在Rt△DNE中,DE=DN·sin 60°=35×=(m),
∴DC=DE+CE=+1.5≈+1.5≈31.8(m).
答:烈士纪念碑的高度CD约为31.8 m.
9. (2024·达州)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,
∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan ∠BCD的值为(B)
A.2 B.2 C. D.3
10.为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路AB.如图,经勘测,AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,则改造后公路AB的长是 9.9 千米.(精确到0.1千米;参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
tan 37°≈0.75,≈1.73).
11.(2024·内江)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan ∠EFC= .
12.(2024·盐城)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为 17 m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
13.如图,海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上;航行12 n mile到达C点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是 10.4 n mile.(≈1.73,结果用四舍五入法精确到0.1)
14.(2024·苏州)图①是某种可调节支撑架,BC为水平固定杆,竖直固定杆AB⊥BC,活动杆AD可绕点A旋转,CD为液压可伸缩支撑杆,已知AB=10 cm,BC=20 cm,
AD=50 cm.
(1)如图②,当活动杆AD处于水平状态时,求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号);
(2)如图③,当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α,且tan α=(α为锐角),求此时可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号).
【解析】(1)过点C作CE⊥AD,垂足为点E,
由题意得:AB=CE=10 cm,BC=AE=20 cm,
∵AD=50 cm,
∴ED=AD-AE=50-20=30(cm).
在Rt△CED中,CD===10(cm),
∴可伸缩支撑杆CD的长度为10 cm.
(2)过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于点G,
由题意得:AB=FG=10 cm,AG=BF,∠AGD=90°,
在Rt△ADG中,tan α==,
∴设DG=3x cm,则AG=4x cm,
∴AD===5x(cm).
∵AD=50 cm,∴5x=50,解得x=10,
∴AG=40 cm,DG=30 cm,
∴DF=DG+FG=30+10=40(cm),
BF=AG=40 cm.
∵BC=20 cm,
∴CF=BF-BC=40-20=20(cm).
在Rt△CFD中,CD===20(cm),
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 cm.
