第三十讲 相似与位似
1.如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若=,则=(B)
A. B. C. D.1
2.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是(B)
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
3.若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,则=(D)
A. B. C. D.
4.如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为(B)
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
5.若=,则= .
6.(2024·滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 ∠ADE=∠C(答案不唯一) .(写出一种情况即可)
7.如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM= 3 .
8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为(6-2a,-2b).(结果用含a,b的式子表示)
9.如图,在△ABC中,D是边AB上一点,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;
②以点D为圆心,以AM长为半径作弧,交DB于点M';
③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠BAC内部交前面的弧于点N';
④过点N'作射线DN'交BC于点E.
若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21,则的值为 .
10.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形.
(1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;
(2)如图2,作一个多边形,使其为轴对称图形,AB和AC是它的两条边;
(3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.
【解析】(1)如图1,CD为所作;
(2)如图2即为所作(答案不唯一);
(3)如图3,△EDC为所作(答案不唯一).
11.(2024·湖南)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是(D)
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
12.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是(C)
A. B. C. D.
13.如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为(A)
A.(31,34) B.(31,-34)
C.(32,35) D.(32,0)
14.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点E为AD的中点,连接BE交AC于点F,则= .
15.(2024·广元)数学实验,能增加学习数学的乐趣,还能经历知识“再创造”的过程,更是培养动手能力,创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)产生了如下问题,请同学们帮他解决.
在△ABC中,点D为边AB上一点,连接CD.
(1)初步探究
如图2,若∠ACD=∠B,求证:AC2=AD·AB;
(2)尝试应用
如图3,在(1)的条件下,若点D为AB中点,BC=4,求CD的长;
(3)创新提升
如图4,点E为CD中点,连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°,∠ACD=∠EBD,AC=2,求BE的长.
【解析】(1)∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴=,
∴AC2=AD·AB;
(2)∵点D为AB中点,
∴设AD=BD=m,
由(1)知△ACD∽△ABC,
∴AC2=AD·AB=m·2m=2m2,
∴AC=m,
∴△ACD与△ABC的相似比为=,
∴=,
∵BC=4,
∴CD=2;
(3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H,过C作CY⊥AB,如图1所示:
∵点E为CD中点,
∴设CE=DE=a,
∵∠CDB=∠CBD=30°,
∴CB=CD=2a,∠DCB=120°,
在Rt△BCY中,CY=BC=a,
则由勾股定理可得BD=2a,
过点B作BF⊥EC于点F,如图2所示:
∴∠FCB=60°,
∴∠CBF=30°,
∴CF=BC,
∴CF=a,BF=a,
∴EF=2a,
∴BE=a,
∵CH∥BE,点E为CD中点,
∴CH=2BE=2a,DH=2DB=4a,∠EBD=∠H,
又∵∠ACD=∠EBD,
∴∠ACD=∠H,△ACD∽△AHC,
∴====,
又∵AC=2,
∴AD=2,AH=14,
∴DH=12,即4a=12,
∴a=,
∴BE=a=.第三十讲 相似与位似
1.如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若=,则=( )
A. B. C. D.1
2.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
3.若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,则=( )
A. B. C. D.
4.如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为( )
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
5.若=,则= .
6.(2024·滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 .(写出一种情况即可)
7.如图,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM= .
8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为 .(结果用含a,b的式子表示)
9.如图,在△ABC中,D是边AB上一点,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;
②以点D为圆心,以AM长为半径作弧,交DB于点M';
③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠BAC内部交前面的弧于点N';
④过点N'作射线DN'交BC于点E.
若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21,则的值为 .
10.如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形.
(1)如图1,作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;
(2)如图2,作一个多边形,使其为轴对称图形,AB和AC是它的两条边;
(3)如图3,作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.
11.(2024·湖南)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是( )
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
12.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平分△ABC的周长,则BD的长是( )
A. B. C. D.
13.如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,…,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为( )
A.(31,34) B.(31,-34)
C.(32,35) D.(32,0)
14.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点E为AD的中点,连接BE交AC于点F,则= .
15.(2024·广元)数学实验,能增加学习数学的乐趣,还能经历知识“再创造”的过程,更是培养动手能力,创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)产生了如下问题,请同学们帮他解决.
在△ABC中,点D为边AB上一点,连接CD.
(1)初步探究
如图2,若∠ACD=∠B,求证:AC2=AD·AB;
(2)尝试应用
如图3,在(1)的条件下,若点D为AB中点,BC=4,求CD的长;
(3)创新提升
如图4,点E为CD中点,连接BE,若∠CDB=∠CBD=30°,∠ACD=∠EBD,AC=2,求BE的长.
