第十八讲 全等三角形
1.(2024·福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案,如图.其中△OAB与△ODC都是等腰三角形,且它们关于直线l对称,点E,F分别是底边AB,CD的中点,OE⊥OF.下列推断错误的是( )
A.OB⊥OD
B.∠BOC=∠AOB
C.OE=OF
D.∠BOC+∠AOD=180°
2.(2024·广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为( )
A.18 B.9 C.9 D.6
3.(2024·云南)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.
求证:△ABC≌△AED.
4.如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.
求证:△ABC≌△DEF.
5.已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证:AD=CF.
6.如图,已知OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD.
求证:△AOB≌△COD.
7.在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在AB边上(不与点A,点B重合),点E在AC边上(不与点A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若 ,求证:BE=CD.注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
8.(2024·内江)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
9.(2024·龙东)已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠MAN=∠BAC,∠MAN在∠BAC的内部,点M,N在BC上,点M在点N的左侧,探究线段BM,NC,MN之间的数量关系.
(1)如图①,当∠BAC=90°时,探究如下:
由∠BAC=90°,AB=AC可知,将△ACN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABP,则CN=BP且∠PBM=90°,连接PM,易证△AMP≌△AMN,可得MP=MN,在Rt△PBM中,BM2+BP2=MP2,则有BM2+NC2=MN2.
(2)当∠BAC=60°时,如图②,当∠BAC=120°时,如图③,分别写出线段BM,NC,MN之间的数量关系,并选择图②或图③进行证明.第十八讲 全等三角形
1.(2024·福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案,如图.其中△OAB与△ODC都是等腰三角形,且它们关于直线l对称,点E,F分别是底边AB,CD的中点,OE⊥OF.下列推断错误的是(B)
A.OB⊥OD
B.∠BOC=∠AOB
C.OE=OF
D.∠BOC+∠AOD=180°
2.(2024·广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为(C)
A.18 B.9 C.9 D.6
3.(2024·云南)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.
求证:△ABC≌△AED.
【证明】∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
即∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中,,
∴△ABC≌△AED(SAS).
4.如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.
求证:△ABC≌△DEF.
【证明】∵AC∥DF,
∴∠CAB=∠FDE(两直线平行,同位角相等),
又∵BC∥EF,
∴∠CBA=∠FED(两直线平行,同位角相等).
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
5.已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证:AD=CF.
【证明】∵AB∥DE,∴∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(AAS).∴AC=DF,
∴AC-DC=DF-DC,即AD=CF.
6.如图,已知OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD.
求证:△AOB≌△COD.
【证明】∵∠AOC=∠BOD,
∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD,
即∠COD=∠AOB,
在△AOB和△COD中,,
∴△AOB≌△COD(SAS).
7.在①AD=AE,②∠ABE=∠ACD,③FB=FC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在AB边上(不与点A,点B重合),点E在AC边上(不与点A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若 ,求证:BE=CD.注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
【解析】选择条件①的证明为:
∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
在△ABE和△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD;
选择条件②的证明为:
∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
在△ABE和△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(ASA),∴BE=CD;
选择条件③的证明为:
∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∵FB=FC,∴∠FBC=∠FCB,
∴∠ABC-∠FBC=∠ACB-∠FCB,即∠ABE=∠ACD,
在△ABE和△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(ASA),∴BE=CD.
8.(2024·内江)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
【解析】(1)∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°,∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
9.(2024·龙东)已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠MAN=∠BAC,∠MAN在∠BAC的内部,点M,N在BC上,点M在点N的左侧,探究线段BM,NC,MN之间的数量关系.
(1)如图①,当∠BAC=90°时,探究如下:
由∠BAC=90°,AB=AC可知,将△ACN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABP,则CN=BP且∠PBM=90°,连接PM,易证△AMP≌△AMN,可得MP=MN,在Rt△PBM中,BM2+BP2=MP2,则有BM2+NC2=MN2.
(2)当∠BAC=60°时,如图②,当∠BAC=120°时,如图③,分别写出线段BM,NC,MN之间的数量关系,并选择图②或图③进行证明.
【解析】题图②的结论是BM2+NC2+BM·NC=MN2.
证明如下:∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.
如图,以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°,在BK上截取BQ=CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥BC,交CB延长线于点H,
∵AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ,
∴△ACN≌△ABQ(SAS),
∴AN=AQ,∠CAN=∠QAB.
又∵∠CAN+∠BAM=30°,∴∠BAM+∠QAB=30°,即∠QAM=∠MAN.
又∵AM=AM,∴△AQM≌△ANM(SAS),∴MN=QM.
∵∠ABQ=60°,∠ABC=60°,
∴∠QBH=60°,∴∠BQH=30°,
∴BH=BQ,QH=BQ,∴HM=BM+BH=BM+BQ.
在Rt△QHM中,可得QH2+HM2=QM2,即(BQ)2+(BM+BQ)2=QM2,
整理得BM2+BQ2+BM·BQ=QM2,
∴BM2+NC2+BM·NC=MN2.
题图③的结论是BM2+NC2-BM·NC=MN2.
证明如下:如图,以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=30°,在BK上截取BQ=CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H.
∵AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ,
∴△ACN≌△ABQ(SAS),
∴AN=AQ,∠CAN=∠QAB.
又∵∠CAN+∠BAM=60°,∴∠BAM+∠QAB=60°,即∠QAM=∠MAN.
又∵AM=AM,
∴△AQM≌△ANM(SAS),∴MN=QM.
在Rt△BQH中,∠QBH=60°,∠BQH=30°,
∴BH=BQ,QH=BQ,HM=BM-BH=BM-BQ,
在Rt△QHM中,可得QH2+HM2=QM2,即(BQ)2+(BM-BQ)2=QM2,
整理得BM2+BQ2-BM·BQ=QM2,
∴BM2+NC2-BM·NC=MN2.
