第十九讲 等腰三角形
1.如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,下列结论中不正确的是(D)
A.AB=AC B.AD⊥BC
C.BD=CD D.AD=BC
2.若一个等腰三角形的两边长分别为4和10,则这个三角形的周长为(C)
A.18 B.22
C.24 D.18或24
3.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,下列结论:①BD平分∠ABC;②AD=BD=BC;③△BDC的周长等于AB+BC;④D是AC中点.其中正确的是(B)
A.①② B.①②③
C.③④ D.①②③④
4.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为(D)
A.(1,1) B.(,1)
C.(,) D.(1,)
5.如图,a∥b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC,若∠CDA=34°,则∠CAB的度数为 56° .
6.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= 52 °.
7.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C= 40 °.
8.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是 10°或100° .
9.(2024·宜宾)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
【证明】∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC.
在△ABD和△BCE中,,
∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是(C)
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
11.如图,在△ABC中,AB=BC=,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为(D)
A.6 B.9 C.6 D.3
12.(2024·德阳)如图,四边形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,点F是GD的中点,点P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 2 .
13.如图,∠AOB=60°,点C在OB上,OC=2,P为∠AOB内一点.根据图中尺规作图痕迹推断,点P到OA的距离为 1 .
14.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30°,
tan ∠EAC=,则BD= 3- .
15.(2024·滨州)【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:
①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;
②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗
基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法.
小军 小民
证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 证明:∵AD⊥BC, ∴△ADB与△ADC均为直角三角形, 根据勾股定理,得……
【问题解决】
(1)完成①的证明;
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.
【解析】(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB和△ADC中,,
∴△ADB≌△ADC(SAS),∴∠B=∠C.
(2)小军的证明过程:
分别延长DB,DC至E,F两点,使得BE=BA,CF=CA,如图所示,
∵AB+BD=AC+CD,∴BE+BD=CF+CD,∴DE=DF.
∵AD⊥BC,∴∠ADE=∠ADF=90°.
在△ADE和△ADF中,,
∴△ADE≌△ADF(SAS),∴∠E=∠F.
∵BE=BA,CF=CA,
∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF.
∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF,∴∠ABC=∠ACB.
小民的证明过程:
∵AD⊥BC,
∴△ADB与△ADC均为直角三角形,
根据勾股定理,得AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2,
∴AB2-BD2=AC2-CD2,
∴AB2+CD2=AC2+BD2,
∵AB+BD=AC+CD,
∴AB-CD=AC-BD,
∴(AB-CD)2=(AC-BD)2,
∴AB2-2AB·CD+CD2=AC2-2AC·BD+BD2,
∴AB·CD=AC·BD,∴=.
又∵∠ADB=∠ADC,∴△ADB∽△ADC,
∴∠B=∠C.第十九讲 等腰三角形
1.如图,△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,下列结论中不正确的是( )
A.AB=AC B.AD⊥BC
C.BD=CD D.AD=BC
2.若一个等腰三角形的两边长分别为4和10,则这个三角形的周长为( )
A.18 B.22
C.24 D.18或24
3.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,下列结论:①BD平分∠ABC;②AD=BD=BC;③△BDC的周长等于AB+BC;④D是AC中点.其中正确的是( )
A.①② B.①②③
C.③④ D.①②③④
4.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )
A.(1,1) B.(,1)
C.(,) D.(1,)
5.如图,a∥b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC,若∠CDA=34°,则∠CAB的度数为 .
6.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C= °.
7.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°,则∠C= °.
8.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是 .
9.(2024·宜宾)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
11.如图,在△ABC中,AB=BC=,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.9 C.6 D.3
12.(2024·德阳)如图,四边形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,点F是GD的中点,点P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 .
13.如图,∠AOB=60°,点C在OB上,OC=2,P为∠AOB内一点.根据图中尺规作图痕迹推断,点P到OA的距离为 .
14.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若∠DAE=30°,
tan ∠EAC=,则BD= .
15.(2024·滨州)【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:
①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;
②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗
基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法.
小军 小民
证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 证明:∵AD⊥BC, ∴△ADB与△ADC均为直角三角形, 根据勾股定理,得……
【问题解决】
(1)完成①的证明;
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.
