第十七讲 三角形
1.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠5
2.如图,△ABC中,∠B=55°,∠C=40°,则△ABC的外角∠DAC等于( )
A.100° B.95° C.85° D.75°
3.空调安装在墙上时,一般都会采用如图的方法固定,这种方法应用的几何原理是( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
4.如图,小英在池塘一侧选取了点O,测得OA=8 m,OB=5 m,那么池塘两岸A,B间的距离可能是( )
A.10 m B.3 m C.14 m D.13 m
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= .
7.下列说法正确的是( )
A.三角形的角平分线是射线
B.连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线
C.三角形的高都在三角形的内部
D.直角三角形的三条高线交于直角顶点处
8.如图,AB∥CD,AD,BC相交于点O,下列两个三角形的面积不一定相等的是( )
A.△ABC和△ABD
B.△ACD和△BCD
C.△AOC和△BOD
D.△AOB和△COD
9.(2024·宿迁)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于BE的长为半径画弧,两弧在
∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF= °.
10.在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为 .
11.如图,在△ABC中,AB=4,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长;
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连接EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数;
②如图3,连接AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
12.阅读下列材料,回答问题.
我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°,我们是通过度量或剪拼得出这一结论的.但是,这种“验证”不是“数学证明”;所以,需要通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和一定等于180°.
探究:在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,就得到一个平角.如图两种方法.
欣欣同学受到图1的启发,证明了三角形的内角和等于180°.
证明过程如下:
已知:△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图3,过点A作DE∥BC,
∵DE∥BC,∴∠B=∠BAD( ),
同理∠C=∠CAE,
∵∠BAC+∠BAD+∠CAE=180°( ),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°( ),
(1)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”.这些根据,可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定理等,请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据;
(2)由图2启发,可以得到证明三角形的内角和等于180°的另一种证法,请你完成.第十七讲 三角形
1.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是(A)
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠1>∠4+∠5 D.∠2<∠5
2.如图,△ABC中,∠B=55°,∠C=40°,则△ABC的外角∠DAC等于(B)
A.100° B.95° C.85° D.75°
3.空调安装在墙上时,一般都会采用如图的方法固定,这种方法应用的几何原理是(C)
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
4.如图,小英在池塘一侧选取了点O,测得OA=8 m,OB=5 m,那么池塘两岸A,B间的距离可能是(A)
A.10 m B.3 m C.14 m D.13 m
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为(A)
A.10° B.20° C.30° D.40°
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= 5 .
7.下列说法正确的是(D)
A.三角形的角平分线是射线
B.连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线
C.三角形的高都在三角形的内部
D.直角三角形的三条高线交于直角顶点处
8.如图,AB∥CD,AD,BC相交于点O,下列两个三角形的面积不一定相等的是(D)
A.△ABC和△ABD
B.△ACD和△BCD
C.△AOC和△BOD
D.△AOB和△COD
9.(2024·宿迁)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交AC于点E,再分别以B,E为圆心,大于BE的长为半径画弧,两弧在
∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF= 10 °.
10.在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为 60°或10° .
11.如图,在△ABC中,AB=4,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长;
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连接EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数;
②如图3,连接AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
【解析】(1)如图1中,过点A作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,AD=AB·sin 45°=4×=4.
(2)①如图2中,
∵△AEF≌△PEF,
∴AE=EP,
∵AE=EB,∴BE=EP,
∴∠EPB=∠B=45°,
∴∠PEB=90°,
∴∠AEP=180°-90°=90°.
②如图3中,
易得AC==,
∵PF⊥AC,∴∠PFA=90°,
∵△AEF≌△PEF,
∴∠AFE=∠PFE=45°,
∴∠AFE=∠B,
∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,
∴=,即=,
∴AF=2,
在Rt△AFP中,AF=FP,
∴AP=AF=2.
12.阅读下列材料,回答问题.
我们在小学就已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°,我们是通过度量或剪拼得出这一结论的.但是,这种“验证”不是“数学证明”;所以,需要通过推理的方法去证明:任意一个三角形的内角和一定等于180°.
探究:在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,就得到一个平角.如图两种方法.
欣欣同学受到图1的启发,证明了三角形的内角和等于180°.
证明过程如下:
已知:△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图3,过点A作DE∥BC,
∵DE∥BC,∴∠B=∠BAD( ),
同理∠C=∠CAE,
∵∠BAC+∠BAD+∠CAE=180°( ),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°( ),
(1)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”.这些根据,可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定理等,请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据;
(2)由图2启发,可以得到证明三角形的内角和等于180°的另一种证法,请你完成.
【解析】(1)已知:△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图3,过点A作DE∥BC,
∵DE∥BC,
∴∠B=∠BAD(两直线平行,内错角相等),
同理∠C=∠CAE,
∵∠BAC+∠BAD+∠CAE=180°(平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
答案:两直线平行,内错角相等 平角的定义
等量代换
(2)延长BC到M,过点C作CN∥AB,如图4所示:
∴∠A=∠ACN(两直线平行,内错角相等),
∠B=∠MCN(两直线平行,同位角相等),
∵∠ACN+∠MCN+∠ACB=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
