第十三讲 反比例函数与一次函数的综合
1.一次函数y=ax+1与反比例函数y=-在同一坐标系中的大致图像是( )
2.已知反比例函数y=(k≠0)的图像与正比例函数y=ax(a≠0)的图像相交于A,B两点,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标是( )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(2,1)
3.在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC平行于x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1,若反比例函数y=(x>0)的图像经过点B,D,则k的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.
4.如图,点M是函数y=x与y=的图像在第一象限内的交点,OM=4,则k的值为 .
5.如图,正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=(k2≠0)的图像相交于A,B两点,其中点A的横坐标为1.当k1x<时,x的取值范围是 .
已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图像上,点A'与点A关于y轴对称.若点A'在正比例函数y=x的图像上,则这个反比例函数的表达式为 .
7.如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+b与双曲线y2=(其中k1·k2≠0)相交于A(-2,3),B(m,-2)两点,过点B作BP∥x轴,交y轴于点P,连接AP,则△ABP的面积是
.
8.(2024·内江)如图,一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-2,3),点B的坐标为(3,n).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)根据图像,直接写出关于x的不等式ax+b<的解集.
9.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图像是( )
10.已知点A在反比例函数y=(x>0)的图像上,点B在x轴正半轴上,若△OAB为等腰三角形,且腰长为5,则AB的长为 .
11.如图,点A(2,2)在双曲线y=(x>0)上,将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B,交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标是 .
12.(2024·南充)如图,直线y=kx+b经过A(0,-2),B(-1,0)两点,与双曲线y=(x<0)交于点C(a,2).
(1)求直线和双曲线的表达式.
(2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x轴上,若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似,直接写出点P的坐标.
13.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m与直线y=2x相交于点A(2,a),与x轴交于点B(b,0),点C在反比例函数y=(k<0)图像上.
(1)求a,b,m的值;
(2)若以O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形,求点C的坐标和k的值;
(3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,求k的值.第十三讲 反比例函数与一次函数的综合
1.一次函数y=ax+1与反比例函数y=-在同一坐标系中的大致图像是(B)
2.已知反比例函数y=(k≠0)的图像与正比例函数y=ax(a≠0)的图像相交于A,B两点,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标是(C)
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(2,1)
3.在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC平行于x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1,若反比例函数y=(x>0)的图像经过点B,D,则k的值是(C)
A.1 B.2 C.3 D.
4.如图,点M是函数y=x与y=的图像在第一象限内的交点,OM=4,则k的值为 4 .
5.如图,正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=(k2≠0)的图像相交于A,B两点,其中点A的横坐标为1.当k1x<时,x的取值范围是 06.已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图像上,点A'与点A关于y轴对称.若点A'在正比例函数y=x的图像上,则这个反比例函数的表达式为 y=- .
7.如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+b与双曲线y2=(其中k1·k2≠0)相交于A(-2,3),B(m,-2)两点,过点B作BP∥x轴,交y轴于点P,连接AP,则△ABP的面积是 .
8.(2024·内江)如图,一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-2,3),点B的坐标为(3,n).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)根据图像,直接写出关于x的不等式ax+b<的解集.
【解析】(1)∵一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=的图像相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-2,3),点B的坐标为(3,n),
∴k=-2×3=3×n,∴k=-6,n=-2,
∴反比例函数的表达式为y=-.
∵A(-2,3),B(3,-2)在一次函数y=ax+b的图像上,
∴,解得,
∴一次函数表达式为y=-x+1.
(2)由图像可知,关于x的不等式ax+b<的解集为-23.
9.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图像是(A)
10.已知点A在反比例函数y=(x>0)的图像上,点B在x轴正半轴上,若△OAB为等腰三角形,且腰长为5,则AB的长为 5或2或 .
11.如图,点A(2,2)在双曲线y=(x>0)上,将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B,交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标是 (,2) .
12.(2024·南充)如图,直线y=kx+b经过A(0,-2),B(-1,0)两点,与双曲线y=(x<0)交于点C(a,2).
(1)求直线和双曲线的表达式.
(2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x轴上,若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似,直接写出点P的坐标.
【解析】(1)∵点A(0,-2),B(-1,0)在直线y=kx+b上,
∴,解得,
∴直线表达式为y=-2x-2.
∵点C(a,2)在直线y=-2x-2上,
∴-2a-2=2,∴a=-2,即点C为(-2,2).
∵双曲线y=过点C(-2,2),∴m=-4,
∴双曲线表达式为y=-(x<0).
(2)∵CD⊥x轴,C(-2,2),
∴D(-2,0),CD=2,
∵B(-1,0),∴BD=1.
∵A(0,-2),∴OA=2.
若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似,OP=1或4,
∵点P在x轴上,∴点P的坐标为(-4,0)或(-1,0)或(1,0)或(4,0).
13.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m与直线y=2x相交于点A(2,a),与x轴交于点B(b,0),点C在反比例函数y=(k<0)图像上.
(1)求a,b,m的值;
(2)若以O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形,求点C的坐标和k的值;
(3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,求k的值.
【解析】(1)把A(2,a)代入y=2x得a=2×2=4,∴A(2,4).
把A(2,4)代入y=-x+m得4=-2+m,
∴m=6,∴直线y=-x+m为y=-x+6.
把B(b,0)代入y=-x+6得0=-b+6,
∴b=6.
∴a的值为4,m的值为6,b的值为6.
(2)设C(t,),
由(1)知A(2,4),B(6,0),O(0,0),
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,
∴,
解得,
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
∴,
解得,
经检验,t=-4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(-4,4);
③当CO,AB为对角线时,CO,AB的中点重合,
∴,
解得.
∵k=32>0,∴这种情况不符合题意.
综上所述,点C的坐标为(4,-4)或(-4,4),k的值为-16.
(3)如图:
设直线AC的表达式为y=px+q,把A(2,4)代入得4=2p+q,
∴q=4-2p,
∴直线AC的表达式为y=px+4-2p,
在y=px+4-2p中,令y=0得x=,∴D(,0),
∵点E与点D关于y轴对称,
∴E(,0),
∵B(6,0),
∴BE=6-=,BD=6-=,
∵△ABD与△ABE相似,
∴E只能在B左侧,
∵∠ABE=∠DBA,
∴要使△ABD与△ABE相似,只需=即可,即BE·BD=AB2,
∵A(2,4),B(6,0),
∴AB2=32,∴×=32,
解得p=1,
经检验,p=1满足题意,
∴直线AC的表达式为y=x+2,
∵有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似,
∴直线AC与反比例函数y=(k<0)图像只有一个交点,
∴x+2=只有一个解,即x2+2x-k=0有两个相等实数根,
∴22+4k=0,
解得k=-1,
∴k的值为-1.
