第十四讲 二次函数的图像与性质(二)
1.若抛物线y=x2+x-1与x轴的交点坐标为(m,0),则代数式m2+m+119的值为(C)
A.118 B.119 C.120 D.121
2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是(C)
A.a>0
B.a+b=3
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
3.(2024·广安)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图像与x轴交于点A-,0,对称轴是直线x=-,有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2,则二次函数y=a(x+1)2+k与x轴的交点坐标为(A)
A.(-3,0),(1,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(-1,0),(1,0) D.(-1,0),(3,0)
5.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的不等式ax2-bx-c≥0的解集为(B)
A.-2≤x≤1 B.x≤-2或x≥1
C.1≤x≤4 D.x≤1或x≥4
6.已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图像与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图像对称轴之间的距离为(A)
A.2 B.m2 C.4 D.2m2
7.如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(B)
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
8.在直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0).
(1)若该函数的图像经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的表达式,并写出函数图像的顶点坐标;
(2)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2,求证:P+Q>6.
【解析】(1)由题意得,
解得,
∴该函数表达式为y=x2-2x+1.
并且该函数图像的顶点坐标为(1,0).
(2)由题意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,
∴P+Q=p2+p+1+q2+q+1=p2+q2+4
=(2-q)2+q2+4=2(q-1)2+6≥6,
由条件p≠q,知q≠1.
∴P+Q>6,得证.
9.二次函数y=ax2+bx的图像如图所示,则一次函数y=x+b的图像一定不经过(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知抛物线y=ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:
x … -7.21 -7.20 -7.19 -7.18 -7.17 …
y … -0.04 -0.03 0.01 0.02 0.03 …
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是(B)
A.-7.21B.-7.20C.-7.19D.-7.1812.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分与x轴的一个交点坐标为(3,0),对称轴为直线x=1,结合图像给出下列结论:
①abc>0;②b=2a;③3a+c=0;
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
⑤若点(m,y1),(-m+2,y2)均在该二次函数图像上,则y1=y2.
其中正确结论的个数是(B)
A.4 B.3 C.2 D.1
13.已知二次函数y=x2-4x+3的图像交x轴于A,B两点.若其图像上有且只有P1,P2,P3三点满足===m,则m的值是(B)
A. B.1 C. D.2
14.抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2<0,则直线y=ax+k一定经过(D)
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
15.(2024·龙东)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大 若存在,请直接写出点P坐标和△APC面积的最大值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)将点B(1,0),C(0,3)代入抛物线y=-x2+bx+c中,
,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)令y=0,则0=-x2-2x+3,
解得x1=-3,x2=1,
∴A(-3,0),∴OA=3,
∵C(0,3),∴OC=3,
过点P作PE⊥x轴于点E,
设P(x,-x2-2x+3),且在第二象限内,
∴OE=-x,AE=3+x,
∴S△APC=S△APE+S梯形PCOE-S△AOC=AE·PE+(OC+PE)·OE-OA·OC
=×(3+x)(-x2-2x+3)+(3-x2-2x+3)(-x)-×3×3
=-(x+)2+.
∵-<0,∴当x=-时S△APC有最大值,最大值为,此时点P的坐标为(-,).第十四讲 二次函数的图像与性质(二)
1.若抛物线y=x2+x-1与x轴的交点坐标为(m,0),则代数式m2+m+119的值为( )
A.118 B.119 C.120 D.121
2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是( )
A.a>0
B.a+b=3
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
3.(2024·广安)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图像与x轴交于点A-,0,对称轴是直线x=-,有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2,则二次函数y=a(x+1)2+k与x轴的交点坐标为( )
A.(-3,0),(1,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(-1,0),(1,0) D.(-1,0),(3,0)
5.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的不等式ax2-bx-c≥0的解集为( )
A.-2≤x≤1 B.x≤-2或x≥1
C.1≤x≤4 D.x≤1或x≥4
6.已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图像与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图像对称轴之间的距离为( )
A.2 B.m2 C.4 D.2m2
7.如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
8.在直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0).
(1)若该函数的图像经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的表达式,并写出函数图像的顶点坐标;
(2)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2,求证:P+Q>6.
9.二次函数y=ax2+bx的图像如图所示,则一次函数y=x+b的图像一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知抛物线y=ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:
x … -7.21 -7.20 -7.19 -7.18 -7.17 …
y … -0.04 -0.03 0.01 0.02 0.03 …
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是( )
A.-7.21B.-7.20C.-7.19D.-7.1812.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分与x轴的一个交点坐标为(3,0),对称轴为直线x=1,结合图像给出下列结论:
①abc>0;②b=2a;③3a+c=0;
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
⑤若点(m,y1),(-m+2,y2)均在该二次函数图像上,则y1=y2.
其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
13.已知二次函数y=x2-4x+3的图像交x轴于A,B两点.若其图像上有且只有P1,P2,P3三点满足===m,则m的值是( )
A. B.1 C. D.2
14.抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2<0,则直线y=ax+k一定经过( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
15.(2024·龙东)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大 若存在,请直接写出点P坐标和△APC面积的最大值;若不存在,请说明理由.
