第十五讲 二次函数的应用
1.如图,在正方形ABCD中,AB=4,动点M,N分别从点A,B同时出发,沿射线AB,射线BC的方向匀速运动,且速度的大小相等,连接DM,MN,ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4),△DMN的面积为S,下列图像中能反映S与x之间函数关系的是(A)
2.汽车刹车后行驶的距离s(单位:米)关于行驶时间t(单位:秒)的函数关系式是s=15t-6t2.则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25 秒.
3.(2024·自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,
OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地的最大面积是 46.4 m2.
4.从喷水池喷头喷出的水柱,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水柱的竖直高度y(单位: m)与它距离喷头的水平距离x(单位: m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,喷出水柱的最大高度是 3 m.
5.(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,请问这天售出了多少辆轮椅
【解析】(1)y=(200-x) (60+4×)
=-0.4x2+20x+12 000
=-0.4(x2-50x+625)+12 250
=-0.4(x-25)2+12 250.
∵200-x≥180,∴x≤20,∴当x=20时,利润最大,最大利润为-0.4(20-25)2+12 250=
12 240(元).
答:y与x的函数关系式为y=-0.4x2+20x+12 000;每辆轮椅降价20元时,每天的销售利润最大,最大利润为12 240元.
(2)12 160=-0.4(x-25)2+12 250,
0.4(x-25)2=12 250-12 160,
0.4(x-25)2=90,
(x-25)2=225,
解得x1=40(不符合题意,舍去),x2=10.
∴售出轮椅的辆数为60+4×=64.
答:售出了64辆轮椅.
6.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
7.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为 3.75 min.
8.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值;
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
【解析】(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2,
∴C1的最高点坐标为(3,2),
∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上,∴1=a(6-3)2+2,
∴a=-,∴抛物线C1:y=-(x-3)2+2,
当x=0时,c=1;
(2)∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,
∴此时,嘉嘉的坐标范围是(5,1)~(7,1),
当经过(5,1)时,1=-×25+×5+1+1,
解得n=,
当经过(7,1)时,1=-×49+×7+1+1,
解得n=,
∴≤n≤,
∵n为整数,
∴符合条件的n的整数值为4和5.
9.(2024·青海)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点A(3,)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求抛物线最高点的坐标;
(3)斜坡上点B处有一棵树,点B是OA的三等分点,小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度.
【解析】(1)由题意得,点A(3,)是抛物线y=-x2+bx上的一点,
∴-32+3b=.
∴-9+3b=,∴b=.
∴抛物线的表达式为y=-x2+x.
(2)∵抛物线的表达式为y=-x2+x=-(x-)2+,
∴抛物线最高点的坐标为(,).
(3)如图,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别是点E,D.
又∵∠BOD=∠AOE,∠BDO=∠AEO,
∴△OBD∽△OAE,∴==,
又∵点B是OA的三等分点,∴=,
∵A(3,),
∴AE=,OE=3,∴==,
∴BD=AE=.
∵==,∴OD=OE=1.
∴点C的横坐标为1.
将x=1代入y=-x2+x中,∴y=-12+×1=.
∴点C的坐标为(1,),∴CD=.
∴CB=CD-BD=-=2.
答:这棵树的高度是2.
10.公路上正在行驶的甲车,发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程s(单位:m)、速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图像如图所示.
(1)当甲车减速至9 m/s时,它行驶的路程是多少
(2)若乙车以10 m/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近,最近距离是多少
【解析】(1)由题图可知:二次函数图像经过原点,
设二次函数表达式为s=at2+bt,一次函数表达式为v=kt+c,
∵一次函数图像经过(0,16),(8,8),
则,解得:,
∴一次函数表达式为v=-t+16,令v=9,则t=7,
∴当t=7时,速度为9 m/s,
∵二次函数图像经过(2,30),(4,56),
则,解得:,
∴二次函数表达式为y=-t2+16t,
令t=7,则s=-+16×7=87.5,
∴当甲车减速至9 m/s时,它行驶的路程是87.5 m;
(2)∵当t=0时,甲车的速度为16 m/s,
∴当10
当0∴当v=10 m/s时,两车之间距离最小,
将v=10代入v=-t+16中,得t=6,
将t=6代入s=-t2+16t中,得s=78,
此时两车之间的距离为:10×6+20-78=2 m,
∴6 s时两车相距最近,最近距离是2 m.
11.(2024·武汉)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,
①直接写出a,b的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
【解析】(1)①∵y=ax2+x经过点(9,3.6),
∴81a+9=3.6,解得a=-.
∵y=-x+b经过点(9,3.6),
∴3.6=-×9+b,解得b=8.1.
②由①得y=-x2+x
=-(x2-15x+)+
=-(x-)2+(0≤x≤9),
∴火箭运行的最高点是 km.
∴-1.35=2.4(km).
∴2.4=-x2+x,
整理得x2-15x+36=0.
解得x1=12>9(不符合题意,舍去),x2=3.
由①得y=-x+8.1(x>9),
∴2.4=-x+8.1,解得x=11.4.
∴11.4-3=8.4(km).
答:这两个位置之间的距离为8.4 km;
(2)∵当x=9时,y=81a+9,∴火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a+9).
设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km,
∴y=-x+b经过点(9,81a+9),(15,0),
∴,解得.
∴当-12.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图像.发现:如图1所示,该类型图像上任意一点M到定点F的距离MF,始终等于它到定直线l:y=-的距离MN(该结论不需要证明),他们称:定点F为图像的焦点,定直线l为图像的准线,y=-叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点,FH=2OF=.
例如:抛物线y=x2,其焦点坐标为F0,,准线方程为l:y=-.其中MF=MN,FH=2OH=1.
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线l的方程: , .
【技能训练】
(2)如图2所示,已知抛物线y=x2上一点P到准线l的距离为6,求点P的坐标;
【能力提升】
(3)如图3所示,已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A,B,C.若BC=2BF,AF=4,求a的值;
【拓展升华】
(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项,即满足:==.后人把这个数称为“黄金分割”数,把点C称为线段AB的“黄金分割”点.
如图4所示,抛物线y=x2的焦点F(0,1),准线l与y轴交于点H(0,-1),E为线段HF的“黄金分割”点,点M为y轴左侧的抛物线上一点.当=时,请直接写出△HME的面积值.
【解析】(1)∵a=2,∴=.
答案: y=-
(2)∵a=,∴-=-2,
∴准线为y=-2,
∴点P的纵坐标为4,
∴x2=4,
∴x=±4,∴P(4,4)或(-4,4);
(3)如图,
作AG⊥l于点G,作BK⊥l于点K,
∴AG=AF=4,BK=BF,FH=,
∵BK∥FH∥AG,
∴△CBK∽△CFH,△CBK∽△CAG,
∴=,=,
∴==,=,
∴a=;
(4)设点M,
∵=,∴=2,
∴=2,∴m1=-2,m2=2(舍去),∴M(-2,1),∵E为线段HF的黄金分割点,∴EH=FH=-1或EH=2-(-1)=3-,
当EH=-1时,S△HME=EH·|xM|=×2×(-1)=-1,
当EH=3-时,S△HME=3-,
∴△HME的面积是-1或3-.第十五讲 二次函数的应用
1.如图,在正方形ABCD中,AB=4,动点M,N分别从点A,B同时出发,沿射线AB,射线BC的方向匀速运动,且速度的大小相等,连接DM,MN,ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4),△DMN的面积为S,下列图像中能反映S与x之间函数关系的是( )
2.汽车刹车后行驶的距离s(单位:米)关于行驶时间t(单位:秒)的函数关系式是s=15t-6t2.则汽车从刹车到停止所用时间为 秒.
3.(2024·自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,
OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地的最大面积是 m2.
4.从喷水池喷头喷出的水柱,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水柱的竖直高度y(单位: m)与它距离喷头的水平距离x(单位: m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,喷出水柱的最大高度是 m.
5.(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,请问这天售出了多少辆轮椅
6.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为 min.
8.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值;
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
9.(2024·青海)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点A(3,)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求抛物线最高点的坐标;
(3)斜坡上点B处有一棵树,点B是OA的三等分点,小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度.
10.公路上正在行驶的甲车,发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程s(单位:m)、速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图像如图所示.
(1)当甲车减速至9 m/s时,它行驶的路程是多少
(2)若乙车以10 m/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近,最近距离是多少
11.(2024·武汉)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,
①直接写出a,b的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
12.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图像.发现:如图1所示,该类型图像上任意一点M到定点F的距离MF,始终等于它到定直线l:y=-的距离MN(该结论不需要证明),他们称:定点F为图像的焦点,定直线l为图像的准线,y=-叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点,FH=2OF=.
例如:抛物线y=x2,其焦点坐标为F0,,准线方程为l:y=-.其中MF=MN,FH=2OH=1.
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线l的方程: , .
【技能训练】
(2)如图2所示,已知抛物线y=x2上一点P到准线l的距离为6,求点P的坐标;
【能力提升】
(3)如图3所示,已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A,B,C.若BC=2BF,AF=4,求a的值;
【拓展升华】
(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项,即满足:==.后人把这个数称为“黄金分割”数,把点C称为线段AB的“黄金分割”点.
如图4所示,抛物线y=x2的焦点F(0,1),准线l与y轴交于点H(0,-1),E为线段HF的“黄金分割”点,点M为y轴左侧的抛物线上一点.当=时,请直接写出△HME的面积值.