第十一讲 一次函数的实际应用
1.(2024·山西)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如表所示,则y与x之间的关系式为(A)
尾长x(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
2.(2024·上海)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售额1 000万元,当投入90万元时销售额5 000万元.则投入80万元时,销售额为 4 500 万元.
3.小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水,为探究其漏水造成的浪费情况,小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水,每隔一分钟记录量筒中的总水量,但由于操作延误,开始计时的时候量筒中已经有少量水,因而得到如表的一组数据:
时间t (单位:分钟) 1 2 3 4 5 …
总水量y (单位:毫升) 7 12 17 22 27 …
(1)探究:根据上表中的数据,请判断y=和y=kt+b(k,b为常数)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系,并求出y关于t的表达式.
(2)应用:
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升;
②一个人一天大约饮用1 500毫升水,请你估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用多少天.
【解析】(1)根据题表中的数据,y=kt+b(k,b为常数)能正确反映总水量y与时间t的函数关系,
∵当t=1时,y=7,当t=2时,y=12,
∴,∴,
∴y=5t+2;
(2)①当t=20时,y=100+2=102,
即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升;
②当t=24×60=1 440分钟时,y=5×1 440+2=7 202(毫升),
当t=0时,y=2,∴=144(天),
答:估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用144天.
4.Ⅰ号无人机从海拔10 m处出发,以10 m/min的速度匀速上升,Ⅱ号无人机从海拔30 m处同时出发,以a(m/min)的速度匀速上升,经过5 min两架无人机位于同一海拔b(m).无人机海拔y(m)与时间x(min)的关系如图.两架无人机都上升了
15 min.
(1)求b的值及Ⅱ号无人机海拔y(m)与时间x(min)的关系式;
(2)问无人机上升了多少时间,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.
【解析】(1)b=10+10×5=60,设函数的关系式为y=kx+t,将(0,30),(5,60)代入上式得,解得,
故函数关系式为y=6x+30(0≤x≤15);
(2)由题意得:(10x+10)-(6x+30)=28,
解得x=12,故无人机上升12 min,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.
5.有一个装有水的容器,如图所示,容器内的水面高度是10 cm,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以每秒0.2 cm的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是(B)
A.正比例函数关系 B.一次函数关系
C.二次函数关系 D.反比例函数关系
6.(2024·眉山)眉山是“三苏”故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业篷勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A,B文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问:怎样进货才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是多少元
【解析】(1)设A款文创产品每件的进价是a元,则B款文创产品每件的进价是(a-15)元,根据题意得=,
解得a=80,经检验a=80是原分式方程的解,80-15=65(元).
答:A款文创产品每件的进价是80元,B款文创产品每件的进价是65元.
(2)设购进A款文创产品x件,则购进B款文创产品(100-x)件,总利润为W,根据题意得80x+65(100-x)≤7 400,解得x≤60,
∴W=(100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1 500,
∵k=5>0,W随x的增大而增大,
∴当x=60时,利润最大,W最大=5×60+1 500=1 800.
答:购进A款文创产品60件,购进B款文创产品40件,才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是1 800元.
7.如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直线的表达式;
(2)某同学设计了一个动画:
在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,使得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光.求此时整数m的个数.
【解析】(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,
把A(-8,19),B(6,5)代入,得,
解得,
∴直线AB的表达式为y=-x+11;
(2)①由题意知,直线y=mx+n经过点(2,0),
∴2m+n=0;
②∵线段AB上的整数点有15个:(-8,19),(-7,18),(-6,17),(-5,16),(-4,15),(-3,14), (-2,13),(-1,12),(0,11),(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5).
当射线CD经过(2,0),(-7,18)时,y=-2x+4,此时m=-2,符合题意,
当射线CD经过(2,0),(-1,12)时,y=-4x+8,此时m=-4,符合题意,
当射线CD经过(2,0),(1,10)时,y=-10x+20,此时m=-10,符合题意,
当射线CD经过(2,0),(3,8)时,y=8x-16,此时m=8,符合题意,当射线CD经过(2,0),(5,6)时,y=2x-4,此时m=2,符合题意,其他点都不符合题意.综上所述,符合题意的m的值有5个.第十一讲 一次函数的实际应用
1.(2024·山西)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如表所示,则y与x之间的关系式为( )
尾长x(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
2.(2024·上海)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售额1 000万元,当投入90万元时销售额5 000万元.则投入80万元时,销售额为 万元.
3.小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水,为探究其漏水造成的浪费情况,小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水,每隔一分钟记录量筒中的总水量,但由于操作延误,开始计时的时候量筒中已经有少量水,因而得到如表的一组数据:
时间t (单位:分钟) 1 2 3 4 5 …
总水量y (单位:毫升) 7 12 17 22 27 …
(1)探究:根据上表中的数据,请判断y=和y=kt+b(k,b为常数)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系,并求出y关于t的表达式.
(2)应用:
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升;
②一个人一天大约饮用1 500毫升水,请你估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用多少天.
4.Ⅰ号无人机从海拔10 m处出发,以10 m/min的速度匀速上升,Ⅱ号无人机从海拔30 m处同时出发,以a(m/min)的速度匀速上升,经过5 min两架无人机位于同一海拔b(m).无人机海拔y(m)与时间x(min)的关系如图.两架无人机都上升了
15 min.
(1)求b的值及Ⅱ号无人机海拔y(m)与时间x(min)的关系式;
(2)问无人机上升了多少时间,Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米.
5.有一个装有水的容器,如图所示,容器内的水面高度是10 cm,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以每秒0.2 cm的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是( )
A.正比例函数关系 B.一次函数关系
C.二次函数关系 D.反比例函数关系
6.(2024·眉山)眉山是“三苏”故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业篷勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A,B文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问:怎样进货才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是多少元
7.如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直线的表达式;
(2)某同学设计了一个动画:
在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,使得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光.求此时整数m的个数.
