上海市金山中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试题

金山中学2015学年第二学期高二年级第一次段考
数学试卷
（考试时间：120分钟　满分：150分　命题人：李永兰 审核人：袁祎）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．设复数（为虚数单位），则______.
2．圆锥的母线长为，底面直径为，则圆锥的高为______.
3．正方体中，异面直线与所成的角的大小为______.
4．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则此正三棱锥的高为______.
5．实系数一元二次方程的一个虚根的模是，则实数______.
6．已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的______条件
7．若四面体的四个面都是等边三角形，则与平面所成角的大小为______.
8．关于的方程的两个根为且，则实数的值______.
9．已知正四棱柱，，为的中点，则直线与平面的距离为______.
10．用一张长、宽分别为和的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长______.
11．有根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为______.
12．下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是______. (写出所有真命题的编号)．
13．长方体中，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行
到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为______.
14．如图，在四棱锥中，⊥底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足_______时，平面⊥平面 (只要填写一个你认为正确的条件即可)．
（第14题图）
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有 ( http: / / www.21cnjy.com )4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15．下面是关于复数的四个命题：
　　①；　②；　③的共轭复数为；　④的虚部为．
其中正确的命题…………………………………………………………………（　）
A．②③ B．①② C．②④ D．③④
16．已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是……（　）
A. B.
C. D.
17．在长方体中，，若棱上存在一点，使得⊥，则棱的长的取值范围是………………………………………………（　）
A． B． C． D．
18．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是………………………………………………（　）
A．点是的垂心 B．垂直于平面
C．延长线经过点 D．直线和所成角为;
（第18题图）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点.
（1）若，求异面直线和所成角的正切值；
（2）若，求证平面.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
已知，且满足．
（1）求；
（2）若，，求证：．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.
（1）求直线与底面所成的角的大小；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题8分。
如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）.平面交于点，于点.
（1）设，将长表示为的函数；
（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
23．（本题满分18分）第1小题满分为6分，第2小题①满分为6分，第2小题②满分为6分。
如图，正三角形的边长为，、、分别为各边的中点，将△沿、、折叠，使、、三点重合，构成三棱锥．
（1)求平面与底面所成二面角的余弦值；
(2)设点、分别在、上， (为变量) ；
①当为何值时，为异面直线与的公垂线段 请证明你的结论
②设异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，试求的值．
金山中学2015学年第二学期高二年级段考试卷
（考试时间：120分钟　满分：150分　命题人：李永兰 审核人：袁祎）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．设复数（为虚数单位），则______.
2．圆锥的母线长为，底面直径为，则圆锥的高为______.
3．正方体中，异面直线与所成的角的大小为______.
4．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则此正三棱锥的高为______.
5．实系数一元二次方程的一个虚根的模是，则实数______.
6．已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的______条件 充分不必要
7．若四面体的四个面都是等边三角形，则与平面所成角的大小为______.
8．关于的方程的两个根为且，则实数的值______.
9．已知正四棱柱，，为的中点，则直线与平面的距离为______.1
10．用一张长、宽分别为和的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长______.或
11．有根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为______.
12．下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是______. (写出所有真命题的编号)．②④
13．长方体中，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行
到点，蚂蚁爬行的最短路线的长为______.
14．如图，在四棱锥中，⊥底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足_______时，平面⊥平面 (只要填写一个你认为正确的条件即可)． DM⊥PC(或BM⊥PC)
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4 ( http: / / www.21cnjy.com )题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15．下面是关于复数的四个命题：
　　①；　②；　③的共轭复数为；　④的虚部为．
其中正确的命题…………………………………………………………………（C　）
A．②③ B．①② C．②④ D．③④
16．已知是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是……（　C）
A. B.
C. D.
17．在长方体中，，若棱上存在一点，使得⊥，则棱的长的取值范围是………………………………………………（D　）
A． B． C． D．
18．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是………………………………………………（D　）
A．点是的垂心 B．垂直于平面
C．延长线经过点 D．直线和所成角为;
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点.
（1）若，求异面直线和所成角的正切值；
（2）若，求证平面.
19. 解:（1）由题意，，，得………… 1分
，所以异面直线和所成角即为和所成角 ………… 3分
长方体中，，面，
，故可得为锐角且…………………… 6分
（2）由题意，，，
，，即 ……………………………… 8分
又由面可得 ………………………………………… 10分
故平面. ………………………………………………………………12分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
已知，且满足．
（1）求；
（2）若，，求证：．
20．解：（1）设，则， …………2分
由
得 ……………………………4分
解得 或 ……………………………… 5分
∴或……………………………… 7分
（2）当时，
…………………… 10分
当时，
………………………13分
∴ ……………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.
（1）求直线与底面所成的角的大小；
（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
21．解：（1） ……7分
（2）连结、、，则，
所以或其补角为异面直线与所成的角. ……9分
在中，，
，………………………………………………12分
因为，
所以.
所以，异面直线与所成的角的大小为.……14分
22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题8分。
如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）.平面交于点，于点.
（1）设，将长表示为的函数；
（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
22．解：（1）在△中，，； ………………………（ 3分）
其中； ………………………（ 4分）
在△中，， …………………………（ 6分）
在△中，，……………………………（ 8分）
（2）当时，最小，此时．……………………………（10分）
因为在底面中，，所以，又，为异面直线与所成角的平面角，…………………（ 13分）
在△中，为直角，，所以，
异面直线与所成角的大小（或等）……………（ 16分）
23．（本题满分18分）第1小题满分为6分，第2小题①满分为6分，第2小题②满分为6分。
如图，正三角形的边长为，、、分别为各边的中点，将△沿、、折叠，使、、三点重合，构成三棱锥．
（1)求平面与底面所成二面角的余弦值；
(2)设点、分别在、上， (为变量) ；
①当为何值时，为异面直线与的公垂线段 请证明你的结论
②设异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，试求的值．
23．解：（1）如图，取DE的中点G，连接AG、FG
由题意AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，
∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角
由题意得AG=FG=．在△AGF中，
∴平面ADF与底面DEF所成二面角的余弦值为
（2）①λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段
当λ=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，
则由题意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF
∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段．
②过点M作MH∥DF，交AF于点H，则∠HMN为异面直线 MN与DF所成的角 ．
由MH∥DF，得 ，∴
∴HN//AE，∠MNH为异面直线 MN与AE所成的角 ．
∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN
由题意得，三棱锤A—DEF是正棱锤，则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，记为O．
∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF， ∴AE⊥DF
又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH= ，∴
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
M
N
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
M
N