(共54张PPT)
板块四 概率与统计
微专题1 概率与统计中的简单计算
小题考法1
PART
01
第一部分
2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即为众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
√
√
(2)(多选)(2024·茂名一模)某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是( )
A．样本的众数为75
B．样本的71%分位数为75
C．样本的平均数为68.5
D．该校学生中得分低于60分的约占20%
√
√
【解析】 依题意，(0.015＋0.025＋0.035＋0.005＋2a)×10＝1，解得a＝0.010，
选项A，因为最高小矩形底边中点的横坐标为75，所以众数为75，故A正确；
选项B，设样本的71%分位数为x，又10×(0.010＋0.015＋0.025)＝0.5，0.5＋0.035×10＝0.85，所以0.5＋(x－70)×0.035＝0.71，解得x＝76，故B错误；
选项C，平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5，故C正确；
选项D，样本中得分低于60分的占(0.010＋0.015)×10×100%＝25%，所以该校学生中得分低于60分的约占25%，故D错误．
(1)数字特征的意义
平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有重要的实际意义．平均数、中位数、众数、百分位数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小．
1．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050)
频数 6 12 18
亩产量 [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200)
频数 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
√
2．(多选)(2024·保定二模)下图是2024年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温(单位：℃)的折线图，则下列结论正确的是( )
A．这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为7 ℃
B．这5天的最低气温的极差为3 ℃
C．这5天的最高气温的众数是26 ℃
D．这5天的最低气温的第40百分位数是16 ℃
√
√
√
小题考法2
PART
02
第二部分
√
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).
则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________．
【解析】 因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.
若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3－2，5－4，7－6，1－8.
若甲的总得分为2，有以下三类情况：
第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3－2，5－4，1－6，7－8；
求古典概型概率的注意点
(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时要做到不重不漏．
(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．
√
解析：画出树状图：
√
(2)甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制(先胜三场者获胜，比赛结束)，根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“客客主主客”，设甲队主场取胜的概率为0.5，客场取胜的概率为0.4，且各场比赛相互独立，则甲队在0∶1落后的情况下最后获胜的概率为( )
A．0.24 B．0.25
C．0.2 D．0.3
√
【解析】 由题意可知，甲队在第一场比赛输了，若甲队在0∶1落后的情况下最后获胜，分以下四种情况讨论：
①甲队在第二、三、四场比赛都获胜，概率P1＝0.4×0.52＝0.1；
②甲队在第二场比赛输了，在第三、四、五场比赛获胜，概率P2＝0.6×0.52×0.4＝0.06；
③甲队在第二、四、五场比赛获胜，在第三场比赛输了，概率P3＝0.4×0.52×0.4＝0.04；
④甲队在第二、三、五场比赛获胜，在第四场比赛输了，概率P4＝0.4×0.52×0.4＝0.04.
综上所述，所求概率P＝P1＋P2＋P3＋P4＝0.1＋0.06＋0.04×2＝0.24.故选A.
求相互独立事件的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较复杂(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可计算其对立事件．
√
√
(2)若有三个箱子，编号分别为1，2，3.1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一
箱，从中任意摸出一个球，取得红球的概率为________．
应用全概率公式求概率的步骤
(1)根据题意找出完整的事件组，即满足全概率公式的Ω的一个划分A1，A2，A3，…，An.
(2)用Ai(i＝1，2，3，…，n)来表示待求的事件．
(3)代入全概率公式求解．
√
小题考法3
PART
03
第三部分
(多选)某地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高X(单位：cm)的情况，得出X～N(100，102)，则下列说法正确的是( )
A．该绿色植被株高的均值为100
B．该绿色植被株高的方差为10
C．若P(X>m)＝P(X<2m－7)，则m＝69
D．随机测量一株该绿色植被，其株高在120 cm以上的概率与株高在70 cm以下的概率一样
√
√
对于D，根据正态曲线的对称性(图象略)，知对称轴方程为x＝100，株高
x＝120到对称轴的距离比株高x＝70到对称轴的距离近，所以其株高在
120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大， 故D错误．
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的区域的面积为1，注意下面三个结论的灵活运用：
(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).
(2)P(X(3)P(a√
1．(2024·合肥三模)为弘扬我国优秀传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩(单位：分)近似服从正态分布N(70，64)，据此估计测试成绩高于94分的学生所占的百分比为( )
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3
A．0.135% B．0.27%
C．2.275% D．3.173%
2．(2024·广东一模)已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X≥70)＝P(X≤90)且P(72≤X≤80)＝0.3，则随机变量X的第80百分位数是________．
解析：因为随机变量X～N(μ，σ2)，又P(X≥70)＝P(X≤90)，则μ＝80，因此P(80≤X≤88)＝P(72≤X≤80)＝0.3，则P(X≤88)＝0.5＋P(80≤X≤88)＝0.8，所以随机变量X的第80百分位数是88.
88(共49张PPT)
板块六 函数与导数
微专题1 函数的图象与性质
小题考法1
PART
01
第一部分
小题考法1 函数的图象
[核心提炼]
(1)作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
√
√
寻找函数图象与解析式对应关系的方法
知式选图 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复
知图选式 (1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性
√
√
√
得|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，由图可知0＜k＜1.
(1)利用函数的图象研究方程或不等式
当方程或不等式不能用代数法求解，但与函数有关时，常转化为两函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解．
(2)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出解析式在给定区间上的图象的函数，其性质常借助图象研究．
①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
√
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，则函数f(x)的大致图象如图所示，根据函数图象可得不等式xf(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
小题考法2
PART
02
第二部分
小题考法2 函数的性质
[核心提炼]
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数＝偶函数).
√
√
√
【解析】 由f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，得f(x＋1)＋f(x＋3)＝f(－2)，
则f(x－1)＝f(x＋3)，即f(x)＝f(x＋4)，因此f(x)是周期为4的周期函数，C正确；
在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)中，令x＝－1，得f(－2)＋f(0)＝f(－2)，
则f(0)＝0，因此f(2 024)＝f(0)＝0，A错误；
由f(x＋6)＝f(－x)，得f(－x)＝f[(x－12)＋6]＝f(x－6)，因此f(x)的图象关于直线x＝－3对称，B正确；
(2)(2024·武汉模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝________．
【解析】 因为g(x＋1)是偶函数，且g(x＋1)＝xf(x＋1)，其中y＝x为奇函数，所以y＝f(x＋1)必为奇函数，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即有f(－x)＝－f(x＋2)，
又因为f(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期为4.
由函数g(x＋1)是偶函数，
可得g(－x＋1)＝xf(x＋1)，
所以g(－0.5)＝g(－1.5＋1)＝1.5 f(2.5)＝1.5 f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.
6
函数的奇偶性、周期性及对称性
(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f(x)＝f(|x|).
(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解．
(3)对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题背景，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题．
√
【解析】 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1，0].
b＞a＞c
【解析】 由题意知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称．
因为当x1＜x2＜2时，x2－x1＞0，
由(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＞0，
得f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，
则f(x)在(2，＋∞)上单调递减．
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使抽象函数转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域．
(3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．
(4)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
√
1．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
√
√
3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是( )
A．f(10)>100
B．f(20)>1 000
C．f(10)<1 000
D．f(20)<10 000
解析：f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，
则当x∈[3，4)时，f(x)>x－1＋x－2＝2x－3，所以f(3)>3；
当x∈[4，5)时，f(x)>2(x－1)－3＋x－2＝3x－7，所以f(4)>5；
当x∈[5，6)时，f(x)>3(x－1)－7＋2(x－2)－3＝5x－17，所以f(5)>8；
……
发现1，2及当x≥3且x∈N*时，f(x)大于的数字构成斐波那契数列(去掉第1项)1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，
所以f(10)>89，A错误；f(20)>f(16)>1 597>1 000，B正确；f(x)没有上界，所以C，D错误．
小题考法3
PART
03
第三部分
小题考法3 函数与方程
[核心提炼]
1．函数的零点与方程解的联系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标，所以方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
2．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
5
(2)(2024·全国甲卷)当x>0时，曲线y＝x3－3x与曲线y＝－(x－1)2＋a有两个交点，则a的取值范围是___________．
【解析】 令x3－3x＝－(x－1)2＋a，则a＝x3－3x＋(x－1)2，设h(x)＝x3－3x＋(x－1)2，则h′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1)，因为x>0，所以3x＋5>0，当01时，h′(x)>0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，h(0)＝1，h(1)＝－2，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以a的取值范围为(－2，1).
(－2，1)
(1)判断函数零点个数的方法
①利用零点存在定理判断；
②代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
③几何法：对于不易求解的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．
(2)利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
√
1．已知实数a>1，0A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
(0，1](共56张PPT)
板块三 立体几何
微专题1 立体几何初步
小题考法1
PART
01
第一部分
小题考法1 空间几何体的表面积和体积
[核心提炼]
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长).
(3)S圆台侧＝π(r＋r′)l，S圆台表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长).
(4)S球表＝4πR2(R为球的半径).
命题角度 空间几何体的表面积
(1)(2024·菏泽三模)已知圆台O1O2的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面的周长为16，则该圆台的表面积为( )
A．24π B．25π
C．26π D．27π
√
【解析】 如图，作出圆台的轴截面ABDC，设上底面圆O1的半径为r，则下底面圆O2的半径是3r，故轴截面的周长为
16＝4＋4＋2r＋6r，解得r＝1，所以上、下底面圆的面积分别为π，9π，圆台的侧面积S侧＝π(1＋3)×4＝16π，
所以圆台的表面积为π＋9π＋16π＝26π.
(2)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．
破解空间几何体的表面积问题的关键
(1)会转化：将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化．
(2)会分类：能识别所给的几何体是规则的几何体，还是不规则的几何体，还是简单的组合体．
(3)用公式：对于规则的几何体或简单的组合体，只需利用公式即可求解，需注意所求的是表面积还是侧面积；对于不规则的几何体，将所给几何体割补成柱体、锥体、台体，先求出这些柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积．
√
√
√
(2)(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积
之比为_____________．
破解空间几何体的体积问题的常用方法
(1)公式法：对于规则几何体，可以直接利用公式求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割(补)成规则的图形，便于计算其体积．
(3)等体积法：当一个几何体的底面积和高较难求解时，可以用等体积法求解．等体积法通过选择合适的底面来求几何体的体积，多用来求锥体的体积．
√
2．某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为27 cm3的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为________ cm3.
12
小题考法2
PART
02
第二部分
√
空间几何体与球的切、接问题的求解策略
定球心 弄清球的半径(直径)与几何体的位置关系和数量关系，从而确定球心的位置
作截面 过球心及切、接点作截面，把空间问题转化为平面问题
求半径 借助平面图形与圆的切、接等平面几何知识寻找几何元素之间的关系，求出球的半径
[注意] 如果所给空间几何体是不规则图形，可以先割补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．
√
2．(2024·威海二模)已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当
该圆锥的侧面积最大时，它的体积为________．
小题考法3
PART
03
第三部分
小题考法3 空间点、线、面的位置关系
[核心提炼]
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
命题角度 位置关系的判断
(1)(多选)(2024·江苏二模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的有( )
A.若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若α∥β，m α，n⊥β，则m⊥n
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
√
√
√
【解析】 对于A，若m⊥n，m α，n β，不能推出m⊥β或n⊥α，则不能推出α⊥β，故A错误；
对于B，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，故B正确；
对于C，若α∥β，n⊥β，则n⊥α，又m α，所以m⊥n，故C正确；
对于D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，说明α和β的法向量互相垂直，则α⊥β，故D正确．
【解析】 由题意可知AD2＋AC2＝DC2，所以∠DAC＝90°，又AD＝AC，所以∠ACD＝45°.
又易证△AGF≌△CGE，
所以GF＝GE＝1，△ADC折起后得到△AD1C，如图所示，
判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定、性质、定义进行判断．
(2)借助反证法，当从正面入手较难时，可以利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
(3)借助空间几何模型，例如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．
√
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)作：在空间几何体中利用平移直线法找(或作)角．
(2)证：对所找(或作)的角进行证明，证明所得的角就是所求的空间角．
(3)求：把角放在三角形中，通过解三角形求空间角．
√
1．(2024·全国甲卷)设α，β为两个平面，m，n为两条直线，且α∩β＝m.下述四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β，则m∥n
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是( )
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
2．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为DD1的中点，O是AC与BD的交点，则以下结论正确的是( )
A．BC1∥平面AEC
B．B1O⊥平面AEC
C．DB1⊥平面AEC
D．直线A1B与直线AE所成的角是60°
√
解析：方法一：对于A，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，对角面ABC1D1是矩形，则BC1∥AD1，
因为直线AD1与平面AEC相交，所以BC1与平面AEC不平行，故A错误；
对于B，连接B1D1，由正方体的结构特征可知B1B⊥平面ABCD，
又因为AC 平面ABCD，
所以B1B⊥AC，
又因为AC⊥BD，B1B∩BD＝B，B1B，BD 平面BB1D1D，
所以AC⊥平面BB1D1D，又因为B1O 平面BB1D1D，
所以B1E2＝OE2＋B1O2，
所以B1O⊥OE，又因为AC∩OE＝O，AC，OE 平面AEC，所以B1O⊥平面AEC，故B正确；
对于C，由B可知B1O⊥平面AEC，而DB1与B1O不平行，
所以DB1与平面AEC不垂直，故C错误；
对于D，取CC1的中点G，连接EG，BG，A1G，
因为EG∥AB，EG＝AB，
所以四边形ABGE为平行四边形，所以AE∥BG，
所以∠A1BG即为直线A1B与直线AE所成的角，(共60张PPT)
第一部分 板块突破篇
板块一 三角函数与平面向量
微专题1 三角函数的图象与性质
小题考法1
PART
01
第一部分
小题考法1 三角恒等变换
[核心提炼]
1．和差角公式变形
sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan (α±β)·(1 tan αtan β).
√
(1)利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤为去负—脱周—化锐，特别要注意函数名称和符号的确定．
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
(2)三角函数恒等变换的“四大策略”
①常数值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．
②项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
④弦、切互化：一般是切化弦．
√
√
√
小题考法2
PART
02
第二部分
小题考法2 三角函数的图象
[核心提炼]
三角函数图象的两种变换
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．
√
由图可知，这两个图象共有6个交点．
2cos 2x(x∈R)
三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强，在解题时容易出现错误，破解此类问题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象．
(2)变同名：变换前后函数的名称要一样．
(3)选方法：选择变换方法要注意对于函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，向左平移φ(φ>0)个单位长度得到的是函数y＝sin [ω(x＋φ)]的图象，而不是函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．
√
√
√
小题考法3
PART
03
第三部分
√
求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得；
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
[注意] 求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，若ω＜0，则要先将ω转化为正数．
√
√
√
√
(1)判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点、对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质，通过检验对应函数值进行判断．
√
√
√
√
√
√
√(共37张PPT)
板块二 数 列
微专题1 数列的基本运算
小题考法1
PART
01
第一部分
小题考法1 等差、等比数列基本量的运算
[核心提炼]
1．通项公式
等差数列：an＝a1＋(n－1)d；
等比数列：an＝a1qn－1(q≠0).
√
√
数列基本量运算的解题策略
(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．
(2)在进行等差(比)数列的项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可转化成关于a1和d(q)的方程(组)求解，但要注意使用消元法及整体计算，以减少计算量．
[注意] 在等比数列的前n项和公式中，若不确定q是否等于1，应注意分q＝1和q≠1两种情况讨论．
√
小题考法2
PART
02
第二部分
(1)(2024·北京模拟)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a4＝b4＝4，则( )
A．b3b5≥a3a5 B．b3＋b5≥a3＋a5
C．b3b5≤a3a5 D．b3＋b5≤a3＋a5
√
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
95
等差、等比数列的性质问题的求解策略
抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解
用性质 数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题
√
1．已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a1＝4，S3＝84，则log2(a1a2a3·…·a8)＝( )
A．70 B．72
C．74 D．76
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}的各项均为正数，所以q>0.因为a1＝4，S3＝84，所以a1＋a2＋a3＝4＋4q＋4q2＝84，即q2＋q－20＝0，因为q>0，所以q＝4，则an＝4n.所以a1a2a3·…·a8＝(a1a8)4＝(4×48)4＝(49)4＝436＝(22)36＝272，所以log2(a1a2a3·…·a8)＝log2272＝72，故选B.
√
√
√
小题考法3
PART
03
第三部分
√
(2)(2024·四川三模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝_______________.
(n＋1)·2n－2
[注意] 由Sn求an时，一定要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，最后验证两者能否合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示．
√
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的
通项公式为_________________________．(共49张PPT)
板块五 解析几何
微专题1 直线与圆
小题考法1
PART
01
第一部分
小题考法1 直线的方程
[核心提炼]
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0; l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
√
(1)若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a＝( )
A．－1 B．－2
C．－2或0 D．0
【解析】 易得(a＋1)×[－(a＋1)]＋1＝0，即(a＋1)2＝1，解得a＝－2或a＝0，又－3(a＋1)－3≠0，所以a≠－2.故a＝0符合题意．故选D.
√
(1)两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2均存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
(2)解决对称问题的方法
点关于直线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在且不为0的情况，斜率不存在或斜率为0时较简单).
特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于直线y＝x的对称问题采用代入法，如(1，3)关于直线y＝x＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2，2).
1．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为________________________．
y＝2或4x－3y＋2＝0
2．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为________________．
x－8y＋20＝0
小题考法2
PART
02
第二部分
√
√
√
【解析】 当x>0，y>0时，曲线E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；
当x>0，y<0时，曲线E：(x－1)2＋(y＋1)2＝2；
当x<0，y>0时，曲线E：(x＋1)2＋(y－1)2＝2；
当x<0，y<0时，曲线E：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当x＝0，y＝0时，曲线E为原点．
(2)已知点A(2，－1)，B(4，3)，C(－1，2)，其中一点在圆内，一点在圆上，一点在圆外，则此圆的方程可能是_________________________________．
(x＋1)2＋(y－2)2＝18(答案不唯一)
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．
(x－4)2＋(y－2)2＝20
小题考法3
PART
03
第三部分
小题考法3 直线与圆的位置关系
[核心提炼]
1．直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr 相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0 相交；Δ＝0 相切；Δ<0 相离．
√
√
√
小题考法4
PART
04
第四部分
√
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到动点P的轨迹方程．
(2)代入法(相关点法)：如果动点P的运动是由另外某一点P′的运动引发的，而该点的运动规律已知(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出P(x，y)，用(x，y)表示出相关点P′的坐标，然后把P′的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．
(3)定义法：如果动点P的运动规律符合我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件和待定方程中的常数，即可得到轨迹方程(有时需注意x，y的范围和杂点).
√
√
√
2．已知直线l：x－y＋4＝0上的动点P，过P点作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为C，D，记M是CD的中点，则直线CD过定点________________，
点M的轨迹方程为_____________________．
(－1，1)
