(共48张PPT)
微专题3 成对数据的统计分析
大题考法1
PART
01
第一部分
大题考法1 回归分析及预测
(2024·济南三模)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适合作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)
【解】 由题中散点图的变化趋势，知y＝c＋dx2适合作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程模型．
(2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)非线性回归问题的求解关键：①转化：通过取对数、取倒数、平方(开方)等，把非线性经验回归方程转化成线性经验回归方程；②判断：通过计算样本相关系数或决定系数，判断拟合效果．
(2024·苏州模拟)某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y(单位：cm)与父亲身高x(单位：cm)之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
父亲身高x 160 170 175 185 190
儿子身高y 170 174 175 180 186
(1)根据表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并利用经验回归方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
大题考法2
PART
02
第二部分
大题考法2 独立性检验
(2024·湘潭模拟)2024年8月8日是我国第16个“全民健身日”，设立全民健身日(Fitness Day)是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要．某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加．
性别 跑步项目 长跑 短跑
男同学 30 10
女同学 a 10
若采用分层随机抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名．
(1)求a的值以及该班同学选择长跑的概率；
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
【解】 依题意，得到如下列联表，
单位：名
性别 跑步项目 合计
长跑 短跑 男 30 10 40
女 10 10 20
合计 40 20 60
独立性检验的步骤
(1)分析数据：根据条件中提供的数据准确分析数据，绘制2×2列联表，并提出零假设H0.
(2)准确计算：计算χ2的值，确保计算准确．
(3)作出结论：将χ2的值与临界值xα进行对比，当χ2≥xα时，推断H0不成立，即“有关”；当χ2(1)求P(A)和P(A|B)；
(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据α＝0.005的独立性检验判断学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关；
单位：名
个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格 建立
未建立
合计
解：由题完成列联表：
单位：名
个性化 错题本 期末统考中的数学成绩 合计
及格 不及格 建立 20 4 24
未建立 4 8 12
合计 24 12 36
α 0.01 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
大题考法3
PART
03
第三部分
大题考法3 成对数据分析与概率统计的综合
(2024·保定二模)某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图．
(1)根据图中数据，估计强化训练后的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)与成绩的中位数；
【解】 强化训练后的平均成绩约为55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋85×0.32＋95×0.28＝81.4.
由于0.04＋0.16＋0.2＝0.4，
所以设中位数为80＋x，则0.032x＝0.1，
解得x＝3.125，所以中位数约为83.125.
(2)若规定得分80分(含80分)以上的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．
单位：人
强化训练 成绩 合计
优秀 非优秀 前
后
合计
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】 补充完整的表格为
单位：人
强化训练 成绩 合计
优秀 非优秀 前 40 60 100
后 60 40 100
合计 100 100 200
解决成对数据分析与概率统计的综合问题的策略
(1)从已知数表中获取关键信息，厘清数据及事件之间的关系．
(2)建立适当的数学模型，转化成各种概型或随机变量的分布、回归分析、独立性检验等问题．
(3)求解数学模型再回到实际问题.
近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等．以下为2024年某纺织厂生产“新中式”面料其中5个月的利润y(单位：万元)的统计表．
月份 5月 6月 7月 8月 9月
月份编号x 1 2 3 4 5
利润y/万元 27 23 20 17 13
(1)根据统计表，试求y与x之间的样本相关系数r(精确到0.001)，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；(若|r|>0.75，则认为两个变量具有较强的线性相关性)；(共41张PPT)
微专题3 导数与不等式
大题考法1
PART
01
第一部分
【解】 f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数；
当a>0时，令f′(x)>0，得x>－ln a，
令f′(x)<0，得x<－ln a，
所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数；
当a>0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增．
等价转化法证明不等式的常见思路
已知函数f(x)＝－xeax＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数y＝f(x)存在两个不同的极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＞0.
(3)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数．
(2)证明：x1x2>e2.
大题考法2
PART
02
第二部分
(2)若f(x)＋ae3x＋ln a≥0，求实数a的取值范围．
【解】 f(x)＋ae3x＋ln a≥0 2x－ln x＋ae3x＋ln a≥0 ae3x＋3x＋ln a≥x＋ln x e3x＋ln a＋3x＋ln a≥eln x＋ln x.
设g(x)＝ex＋x，则g(3x＋ln a)≥g(ln x).
因为g′(x)＝ex＋1>0，所以g(x)在定义域R上为增函数，
所以3x＋ln a≥ln x，即ln a≥ln x－3x.
设h(x)＝ln x－3x(x>0)，则ln a≥h(x)max.
不等式恒成立能成立问题的区别与联系
类别 区别 联系
不等式问题 等价转化方式 不等式恒成立问题 a≥f(x)在x∈D上恒成立 a≥f(x)max，x∈D 对于单变量不等式，无论是恒成立问题还是有解(能成立)问题，都需要用分离参数法或者构造函数法，转化为最值问题进行解决
a≤f(x)在x∈D上恒成立 a≤f(x)min，x∈D 不等式能成立问题 a≥f(x)在x∈D上能成立 a≥f(x)min，x∈D a≤f(x)在x∈D上能成立 a≤f(x)max，x∈D 双变量不等式问题的解题策略
(1)观察两个变量，一般两个变量的地位相同，取值独立，可将其转化为一个变量．
(2)构造函数，将问题转化为判断函数的单调性问题或求函数的最值问题．
已知函数f(x)＝ex－a－ln x.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在x0∈[e，＋∞)，使f(x0)＜0成立，求实数a的取值范围．(共41张PPT)
微专题3 三角函数与解三角形
大题考法1
PART
01
第一部分
三角形中边角互化的基本原则
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”．
(2)若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”．
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”．
(4)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解．
大题考法2
PART
02
第二部分
三角形中的证明问题有两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可以利用正、余弦定理转化为边的关系，证明时可从复杂的一边入手，证明两边相等，也可用比较法：左边－右边＝0.
大题考法3
PART
03
第三部分
(2)求△ABC周长的取值范围．
解三角形中的最值、范围问题的一般步骤
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
大题考法4
PART
04
第四部分
(2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长．
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
正确分析题意，利用正弦定理、余弦
建立模型
定理将问题转化为代数函数或三角
函数的最值问题
利用基本不等式或函数单调性等求
解代数函数最值，利用辅助角公式
求解模型
或函数单调性求解三角函数最值，
注意函数的定义域
回到要求解的解三角形问题，按题
回归作答
目要求作答
正确分析题意，提炼相关等式，利用等
转化
式的边角关系合理地将问题转化为三角
函数的问题
用定理、
利用正弦定理、余弦定理、二倍角公
公式、
式、辅助角公式等进行三角形中边角
性质
关系的互化
利用二角函数诱导公式、三角形内角和
得结论
定理等知识求函数解析式、角、二角函
数值，或讨论三角函数的基本性质等(共50张PPT)
微专题3 圆锥曲线中的定点、定值与证明
大题考法1
PART
01
第一部分
大题考法1 证明问题
[核心提炼]
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系证明和数量关系证明，位置关系证明有相切、垂直、过定点等；数量关系证明有存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．解题策略为：
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
圆锥曲线中证明问题的求解策略
处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决．
(2024·江门二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且|AB|＝10.
(1)求C的方程；
(2)P是异于点B的动点且BP与x轴平行，过点F作AP的平行线交C于M，N两点，证明：|PA|2＝|MN|·|AB|.
大题考法2
PART
02
第二部分
大题考法2 定值问题
[核心提炼]
定值问题，其本质为求值，若求值过程中含有参数，则利用等量代换、约分等，使得代数式计算结果不含参数，为一个常量．也可以赋予参数特殊值，先得到定值，再进行计算验证．解题步骤为：
求解定值问题的途径
(1)途径一：首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值，即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．
(2)途径二：先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
大题考法3
PART
03
第三部分
大题考法3 定点问题
[核心提炼]
定点问题，其本质为求直(曲)线的方程，所求的方程一般含有参数，通过归类整理，运用恒成立问题的解法即可求得定点坐标．也可以先研究特殊情况得到定点，再在一般情况下求解．这类问题的求解一般可分为以下三步：
(2)设点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，过点F的直线l交椭圆C于点M，N，直线AM，AN分别交直线x＝1于点P，Q，求以线段PQ为直径的圆所过的定点．
曲线过定点问题的求解思路
一是“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；
二是“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝1.证明：直线l过定点．
因式分解得，(m－2k－3)(m＋4k－3)＝0，
所以m＝2k＋3或m＝－4k＋3.
若m＝2k＋3，则直线l的方程为y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，则直线l过定点(－2，3)；
若m＝－4k＋3，则直线l的方程为y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过点P，不合题意，舍去．
综上所述，直线l过定点，定点为(－2，3).
