19.3.3 正方形
学习目标
1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理；(重点)
2．会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明．(证明)
学习过程
一、情境导入
如图①所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状．
如图②所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状．
图①中图形的变化可判断矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图②中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？
引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
二、合作探究
探究点一：正方形的性质
【类型一】 利用正方形的性质求角度
四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．
解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】 利用正方形的性质求线段长
如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解析：线段BE是Rt△ABE的一边 ( http: / / www.21cnjy.com )，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易求解．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝(cm)，
∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，
∴BE＝(－1)cm.
方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等
如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.求证：AP＝EF.
解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP.
证明：连接AC，PC.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD垂直平分AC，
∴AP＝CP.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∴AP＝EF.
方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
探究点二：正方形的判定
【类型一】 先证明是矩形再证明是正方形
已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．
证明：过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DFC＝∠DEC＝90°.
又∵∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF＝DG.
同理可得DE＝DG，∴DE＝DF.
∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．
方法总结：正方形的判定方法有很多 ( http: / / www.21cnjy.com )，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 先证明是菱形再证明是正方形
如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形．
解析：已知EG⊥FH，要证四边形E ( http: / / www.21cnjy.com )FGH为正方形，则只需要证四边形的对角线EG，HF互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证OE＝OH＝OG＝OF.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH.
∵EG⊥FH，
∴∠BOE＋∠BOH＝90°，
∴∠COH＝∠BOE，
∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH.
同理可证：OE＝OF＝OG，
∴OE＝OF＝OG＝OH.
又∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH为菱形．
∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF，
∴四边形EFGH为正方形．
方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
探究点三：正方形的性质和判定的综合运用
已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.
求证：(1)EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)四边形EFPQ是正方形．
解析：(1)证明△APF≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证得EF＝FP＝PQ＝QE；(2)由EF＝FP＝PQ＝QE，可判定四边形EFPQ是菱形．又由△APF≌△BQP，易得∠FPQ＝90°，即可证得四边形EFPQ是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP.在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，
∴EF＝FP＝PQ＝QE；
(2)∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EF ( http: / / www.21cnjy.com )PQ是菱形．∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.∵∠AFP＋∠APF＝90°，∴∠APF＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．
方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题的关键是证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.
探究点四：正方形、菱形、矩形与平行四边形的综合运用
如图，△ABC中，点P是AC边上一个动点，过P作直线EF∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD平分线于点F.
(1)请说明：PE＝PF；
(2)当点P在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？
(3)在(2)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
(4)当点P在边AC上运动时，四边形BEFC可能是菱形吗？请说明理由．
解：(1)∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.∵EF∥BC，∴∠E＝∠1，∴∠E＝∠2，∴EP＝PC.同理PF＝PC，∴EP＝PF；
(2)当点P在AC中点时，四边形AE ( http: / / www.21cnjy.com )CF是矩形．∵PA＝PC，PE＝PF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝∠BCD＝90°，∴平行四边形AECF是矩形；
(3)当∠ACB＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形AECF是正方形．∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵EF∥BC，∴AC⊥EF，∴平行四边形AECF是正方形；
(4)四边形BECF不可能是菱形．∵∠ECF＝90°，∴EF>CF，∴四边形BECF不可能是菱形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题19.3.2 菱形
第1课时 菱形的性质
学习目标
一、情境导入
请看演示：(可用事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，改变平行四边形的边，使一组邻边相等，从而引出菱形概念．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
二、合作探究
探究点一：菱形的性质
【类型一】 菱形的四条边相等
如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( )
A．10
B．12
C．15
D．20
解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，再根据AB＝5求出△ABD的周长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.
又∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴△ABD的周长＝3AB＝15.
故选C.
方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 菱形的对角线互相垂直
如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长 ( http: / / www.21cnjy.com )就要先求出其边长．由菱形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算．
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
AO＝AC，BO＝BD.
因为AC＝6cm，BD＝12cm，
所以AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AB＝＝＝3(cm)．
所以菱形的周长＝4AB＝4×3＝12(cm)．
方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型三】 菱形是轴对称图形
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.求证：AE＝AF.
解析：要证明AE＝AF，需要先证明△ACE≌△ACF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
在△ACE和△ACF中，
∴△ACE≌△ACF，
∴AE＝AF.
方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：菱形的面积的计算方法
如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解析：先利用菱形的面积等于两条对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．
解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，
即S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，
所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
所以13h＝120，得h＝.
方法总结：菱形的面积计算有如下方法：( ( http: / / www.21cnjy.com )1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
第2课时 菱形的判定
学习目标
1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点)
2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)
教学过程
一、情境导入
木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一 ( http: / / www.21cnjy.com )样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形．
二、合作探究
探究点一：四边相等的四边形是菱形
如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
解析：根据平移的性质可得CF＝AD ( http: / / www.21cnjy.com )＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据“四边相等的四边形是菱形”得到结论．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，
BC＝8cm，
∴AC＝＝＝10(cm)，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
如图所示， ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形．
解析：本题首先应用到平行四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC.
∴∠FDO＝∠EBO.
又∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD.
在△DOF和△BOE中，
∴△DOF≌△BOE(ASA)．
∴OF＝OE.
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
探究点三：菱形的判定和性质的综合运用
如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形BCFE的边长为4，高为2，∴S菱形BCFE＝4×2＝8.
方法总结：判定一个四边形是 ( http: / / www.21cnjy.com )菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．19.3.1 矩形
第1课时 矩形的性质
学习目标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点)
2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点)
教学过程
一、情境导入
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么(动画演示拉动过程如图)
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．
二、合作探究
探究点一：矩形的性质
【类型一】 矩形的四个角都是直角
如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为( )
A．15
B．30
C．45
D．60
解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，
∴EF＝BE＝4，
∴S△AEC＝AC·EF＝×15×4＝30.故选B.
方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 矩形的对角线相等
如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是( )
A．2
B．4
C．2
D．4
解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长．故选B.
方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等 ( http: / / www.21cnjy.com )，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，可以利用等边三角形的性质解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝BC，DG＝BC，
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
探究点三：矩形的性质的运用
【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度
如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32cm列方程求出AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED＋∠ECD＝90°.
又∵EF⊥EC，
∴∠AEF＋∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD.
而EF＝EC，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE＝CD.
设AE＝xcm，
∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm，
则有2(x＋4＋x)＝32，解得x＝6.
即AE的长为6cm.
方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，
AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°，
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积
如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )
A. B. C. D.
解析：由四边形ABCD为矩形，易证得△BE ( http: / / www.21cnjy.com )O≌△DFO，则阴影部分的面积等于△AOB的面积，而△AOB的面积为矩形ABCD面积的，故阴影部分的面积为矩形面积的.故选B.
方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
【类型四】 矩形中的折叠问题
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形 ( http: / / www.21cnjy.com )全等，从而得△BCD≌△BC′D，则易得BE＝DE.在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求出BE的长，即可求得△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知△BC′D≌△BCD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.
即DE＝5.
∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
第2课时 矩形的判定
学习目标
1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)
2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)
教学过程
一、情境导入
小明想要做一个矩形相框送给 ( http: / / www.21cnjy.com )妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！
二、合作探究
探究点一：矩形的判定
【类型一】 对角线相等的平行四边形是矩形
如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．
解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AM＝BP＝CN＝DQ，
∴OM＝OP＝ON＝OQ.
∴四边形MPNQ是平行四边形．
又∵OM＋ON＝OQ＋OP，
∴MN＝PQ.
∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 有三个角是直角的四边形是矩形
如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线．求证：四边形ADBC是矩形．
解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．
证明：∵GE∥HF，
∴∠GAB＋∠ABH＝180°.
∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，
∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH，
∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝×180°＝90°，
∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.
同理可得∠ACB＝90°.
又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，
∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA，
∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝×180°＝90°，即∠DBC＝90°.
∴四边形ADBC是矩形．
方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．
【类型三】 有一个角是直角的平行四边形是矩形
如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
解析：(1)根据“两直线平行，内错角相 ( http: / / www.21cnjy.com )等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形“三线合一”的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.
解：(1)BD＝CD.理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)．
∴AF＝CD.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有“一个角是直角的平行四边形是矩形”是解本题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
探究点二：矩形的性质和判定的综合运用
如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；
(2)解：∵G是OC的中点，∴GO ( http: / / www.21cnjy.com )＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4cm，∴S矩形ABCD＝4×4＝16(cm2)．
方法总结：首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
