重庆市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·重庆市期中）过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线焦点为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，所以，，
由抛物线焦点弦长公式可得，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，再根据韦达定理和抛物线的焦点弦公式，由二次函数的图象求最值的方法，进而求出的最小值.
2．（2024高二上·重庆市期中）若直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行斜率相等和纵截距不相等，从而得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
3．（2024高二上·重庆市期中）将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）
A．55 B．75 C．111 D．135
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：不妨设第n（）个“拐角数”为，
不难发现，
所以，得，
当时，也符合上式，所以，
所以第7个“拐角数”是，
第8个“拐角数”是，
第9个“拐角数”是，
第10个“拐角数”是，
第11个“拐角数”是，
第12个“拐角数”是.
故答案为：C.
【分析】根据题中规律，再利用累加法和等差数列前n项和公式，从而求出拐弯数的通项公式，即可得出拐角数的选项.
4．（2024高二上·重庆市期中）数列的通项公式为，则当该数列的前n项和取得最小值时n的值为（ ）
A．9 B．8 C．8或9 D．7或8
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵，
∴，公差，且数列单调递增，
∴若数列的前n项和取得最小值，
则 ，即，
解得，
∵，则，
∴数列的前n项和的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，当数列的前n项和取得最小值时，可得，，再结合，从而得出n，进而得出当该数列的前n项和取得最小值时n的值.
5．（2024高二上·重庆市期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：A.
【分析】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积和诱导公式，进而求出直线与平面所成角的正弦值.
6．（2024高二上·重庆市期中）已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：不妨取，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
所以，，
整理可得，解得.
故答案为：C.
【分析】不妨取和等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，以为公比的等比数列，进而确定该数列的首项和公比，则可求出等比数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式可求得的值.
7．（2024高二上·重庆市期中）已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：直线的方程为，即，
圆的方程为，
由题意知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切，
所以，即，
解得：，所以，
又因为，
所以离心率，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切，利用点到直线的距离公式，建立关于的不等式，再根据和椭圆的离心率公式，从而得出椭圆的离心率的取值范围.
8．（2024高二上·重庆市期中）已知数列满足：对任意的成立，令是数列的前n项和，若对任意的恒成立，则整数t的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足：，
∴，∴，∴．
，
∴数列的前项和，
又因为，
则数列单调递增，∴，
若对任意恒成立，∴，即，
则整数的最小值为8．
故答案为：D.
【分析】利用数列满足，从而变形为：，利用等差数列的通项公式可得的通项公式，再利用“裂项求和”的方法和数列数列的单调性，从而得出数列的值域，根据对任意恒成立，从而得出t的取值范围，进而得出整数t的最小值．
9．（2024高二上·重庆市期中）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是椭圆，其离心率为
C．若，则C是双曲线，其焦点在y轴上
D．若，则C是双曲线，其离心率为
【答案】A,D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，，方程是椭圆，其焦点在y轴上，所以A正确；
对于B，，方程是椭圆，其离心率，所以B错误；
对于C，，方程是双曲线，其焦点在x轴上，所以C错误；
对于D，，方程是双曲线，其离心率为，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据给定条件，再利用椭圆、双曲线的焦点的位置和离心率公式，从而求解判断各选项，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高二上·重庆市期中）已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（ ）
A．是等比数列
B．是等差数列
C．
D．存在实数，使得为等比数列
【答案】A,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
因为，所以，故C正确；
因为，
，，
所以数列是等比数列，故B错误；
因为，所以，
设，
则，，，
若是等比数列，则，
即，解得：，
所以，
，，所以数列不是等比数列，
即不存在实数，使数列是等比数列，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据等比数列的定义，则判断出选项A；由等比数列的通项公式得出数列的通项公式，则判断出选项C；代入选项B结合等比数列的定义，则判断出选项B；假设存在，设，则，再求出后验证，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二上·重庆市期中）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ）
A．
B．平面上点的最小值为
C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为
D．过点作，垂足为H，则
【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，设直线的方程为，，
联立方程组，消去整理得，
，
，即，
又因为，所以上式可化简整理得，所以，
所以直线的方程为，即，
所以，因为，所以，故A正确；
对于B，由双曲线定义得，且，
则
所以的最小值为，故B正确；
对于C，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，
因为且，所以，
若，则，
所以直线直线，同理可知，当也可判断直线直线，
所以入射光线与反射光线的夹角为，故C错误；
对于D，如图，
因为为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分，
延长与的延长线交于点，
则垂直平分，即点为的中点，
又因为是的中点，
所以，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设出直线的方程，联立直线与双曲线方程，根据判别式法得出，从而得出直线AP的方程，即可求得，再利用得出的取值范围，则判断出选项A；利用双曲线定义，将转化为，根据几何法和两点距离公式得出的最小值，则可判断选项B；根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，利用且，从而得出的值，进而求出点的坐标，再由数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，则判断出线线垂直，从而得出入射光线与反射光线的夹角，则判断出选项C；根据双曲线的光学性质可推出点为的中点，进而得出，再结合双曲线的定义，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高二上·重庆市期中）已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆上恰有三个点到直线的距离为，且圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，则，
因为，解得.
故答案为：.
【分析】利用圆上恰有三个点到直线的距离为，且圆的半径为，从而得出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，从而可得出正实数的值.
13．（2024高二上·重庆市期中）设等比数列的前项和为，，，则
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，则，①
，②
②①得，整理可得，解得，
故.
故答案为：.
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解方程组得出的值，再根据等比数列的前n项和公式，从而得出的值.
14．（2024高二上·重庆市期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立得，
设、，则，，
，同理可得，
所以，
因为为定值，所以，解得.
故答案为：.
【分析】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，根据韦达定理可得，，从而得到，再根据为定值列方程，从而解方程得出实数m的值.
15．（2024高二上·重庆市期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，．
（1）求公差和；
（2）记，证明：．
【答案】（1）解：因为为等差数列，公差为，其前项和为，
则，
又因为，，则，
因为，即，
可得，解得，故，
所以，，
则，可得，
综上所述，.
（2）证明：由（1）可得，
所以，
因此，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质，可得，由此可得，再利用等比数列的求和公式，可求出的值，即可得出的值，根据等差数列的通项公式计算出的值，再由可得出关于的方程，从而解方程得出的值.
（2）由（1）可得数列的通项公式，根据得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法求出数列的前项和，则根据放缩法证出不等式成立.
（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则，
又因为，，则，
因为，即，可得，解得，故，
所以，，则，可得.
综上所述，.
（2）由（1）可得，
所以，，
因此，
.
16．（2024高二上·重庆市期中）如图，点D在平面内的射影点H在线段上，E为中点，F为中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：在中，由，
得，则，
由点D在平面内的射影点H在线段上，
得平面，平面，则，
因为平面，，则平面，
又因为平面，则，
由E为中点，得，
因为平面，
因此平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2） 解：在平面内，过作，由（1）知，平面，
则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，，则
，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合勾股定理，证得，再利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定定理，从而证出平面平面.
（2）在平面内，过作，由（1）知，平面，则直线两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
（1）在中，由，得，则，
由点D在平面内的射影点H在线段上，得平面，平面，
则，而平面，，于是平面，
又平面，则，由E为中点，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）在平面内过作，由（1）知，平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，，
则，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
17．（2024高二上·重庆市期中）已知数列的前项和满足：，．
（1）求；
（2）若，求的前项和．
【答案】（1）解：因为数列的前项和满足：，
则，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
令，可得，
则，解得，
所以，，且，
所以，数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，故.
（2）解：因为，
对任意的，则，
将问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为
则，
则，
作差得
，
化简得，
因此，.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）令，从而求出的值，当时，由可得，作差可得，利用等比数列的定义，从而判断出数列为等比数列，进而确定该数列的首项和公比，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）对任意的，计算出，将问题转化为求数列的前项和，再利用错位相减法结合分组求和，从而得出.
（1）因为数列的前项和满足：，
则，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
令，可得，则，解得，
所以，，且，
所以，数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，故.
（2）因为，
对任意的，，
问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为，
，
则，
上式下式得
，
化简得，
因此，.
18．（2024高二上·重庆市期中）已知的周长为定值，、、，的最大值为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值．
【答案】（1）解：设，，设，
即，且，
由三角形的三边关系可得，则，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因为余弦函数在上为减函数，且，
故当取最大值时，取最小值，
所以，，解得，
所以，，
因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为，
所以，，
因此，动点的轨迹的方程为.
（2）解：易知点，根据题意，
设直线的方程为，其中，
设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则，
故点，所以，，
线段的中点为，，
所以，线段的中垂线方程为，
同理可得，线段的中垂线方程为，
其中，，
联立，、
可得，
所以，，
要求的最大值，只需考虑即可，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，，设，利用余弦定理结合基本不等式、余弦函数的单调性，可知当时，角取最大值，再结合余弦定理求出的值，分析可知，曲线为椭圆，再求出的值，即可得出曲线的方程.
（2）根据题意，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，再由韦达定理求出点的横坐标以及的值，从而考虑即可，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
（1）设，，设，即，且，
由三角形的三边关系可得，则，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因为余弦函数在上为减函数，且，
故当取最大值时，取最小值，所以，，解得，
所以，，
因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为，
所以，，
因此，动点的轨迹的方程为.
（2）易知点，根据题意，设直线的方程为，其中，
设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则，
故点，所以，，
线段的中点为，，
所以，线段的中垂线方程为，
同理可得，线段的中垂线方程为，
其中，，
联立，可得，
所以，，
要求的最大值，只需考虑即可，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
19．（2024高二上·重庆市期中）双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点，过作直线垂直于轴，交曲线的另外一个点为，过作平行于的直线交曲线的另外一个点为，以此类推，直线垂直于轴，直线平行于，得到点列；记点的坐标为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过双曲线的右焦点，证明直线过定点；
（3）若且为双曲线右顶点，，记，求的值．
【答案】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，即，
则该双曲线的焦点到渐近线的距离为，
又因为，可得，
因此，双曲线的标准方程为.
（2）证明：由（1）可得，则，
若直线与轴重合，则与双曲线的右支只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可知，，
联立可得，
由题意可得，
解得，
由韦达定理可得，，
由对称性知，直线过轴上的定点，
，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，
所以，
，
因此，直线过定点.
（3）解：由题意可知，、、，
由题意可知，直线的方程为，
联立可得
由题意可知，
、为方程的两根，
所以，，可得，
由题意可得，可得，
因为点，记，则，
则
易知点，则，
所以数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线的焦点到渐近线的距离公式求出的值，再结合双曲线的离心率公式可得出的值，由此可得出该双曲线的标准方程.
（2）设直线的方程为，由题意可知，将直线的方程与双曲线方程联立，再由韦达定理和对称性知直线过轴上的定点，从而求出直线的方程，再将点的坐标代入直线的方程，从而求出的值，即可证出直线过定点.
（3）将直线的方程与双曲线的方程联立，再结合韦达定理可得出，再根据，可得，则根据等比数列的定义判断出数列为等比数列，从而确定该数列的首项和公比，则由等比数列的通项公式得出的值.
（1）双曲线的渐近线方程为，即，
则该双曲线的焦点到渐近线的距离为，
又因为，可得，
因此，双曲线的标准方程为.
（2）由（1）可得，则，
若直线与轴重合，则与双曲线的右支只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可知，，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
由对称性知，直线过轴上的定点，
，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，
所以，
，
因此，直线过定点.
（3）由题意可知，、、，
由题意可知，直线的方程为，
联立可得，
由题意可知，、为方程的两根，
所以，，可得，
由题意可得，可得，
因为点，记，则，
则
，
易知点，则，
所以数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
1 / 1重庆市第一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·重庆市期中）过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·重庆市期中）若直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
3．（2024高二上·重庆市期中）将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ）
A．55 B．75 C．111 D．135
4．（2024高二上·重庆市期中）数列的通项公式为，则当该数列的前n项和取得最小值时n的值为（ ）
A．9 B．8 C．8或9 D．7或8
5．（2024高二上·重庆市期中）在四棱锥中，底面，底面是正方形，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·重庆市期中）已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·重庆市期中）已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·重庆市期中）已知数列满足：对任意的成立，令是数列的前n项和，若对任意的恒成立，则整数t的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2024高二上·重庆市期中）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是椭圆，其离心率为
C．若，则C是双曲线，其焦点在y轴上
D．若，则C是双曲线，其离心率为
10．（2024高二上·重庆市期中）已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（ ）
A．是等比数列
B．是等差数列
C．
D．存在实数，使得为等比数列
11．（2024高二上·重庆市期中）双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ）
A．
B．平面上点的最小值为
C．若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为
D．过点作，垂足为H，则
12．（2024高二上·重庆市期中）已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为 ．
13．（2024高二上·重庆市期中）设等比数列的前项和为，，，则
14．（2024高二上·重庆市期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为 ．
15．（2024高二上·重庆市期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，．
（1）求公差和；
（2）记，证明：．
16．（2024高二上·重庆市期中）如图，点D在平面内的射影点H在线段上，E为中点，F为中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17．（2024高二上·重庆市期中）已知数列的前项和满足：，．
（1）求；
（2）若，求的前项和．
18．（2024高二上·重庆市期中）已知的周长为定值，、、，的最大值为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值．
19．（2024高二上·重庆市期中）双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点，过作直线垂直于轴，交曲线的另外一个点为，过作平行于的直线交曲线的另外一个点为，以此类推，直线垂直于轴，直线平行于，得到点列；记点的坐标为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过双曲线的右焦点，证明直线过定点；
（3）若且为双曲线右顶点，，记，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线焦点为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，所以，，
由抛物线焦点弦长公式可得，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，再根据韦达定理和抛物线的焦点弦公式，由二次函数的图象求最值的方法，进而求出的最小值.
2．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行斜率相等和纵截距不相等，从而得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：不妨设第n（）个“拐角数”为，
不难发现，
所以，得，
当时，也符合上式，所以，
所以第7个“拐角数”是，
第8个“拐角数”是，
第9个“拐角数”是，
第10个“拐角数”是，
第11个“拐角数”是，
第12个“拐角数”是.
故答案为：C.
【分析】根据题中规律，再利用累加法和等差数列前n项和公式，从而求出拐弯数的通项公式，即可得出拐角数的选项.
4．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵，
∴，公差，且数列单调递增，
∴若数列的前n项和取得最小值，
则 ，即，
解得，
∵，则，
∴数列的前n项和的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，当数列的前n项和取得最小值时，可得，，再结合，从而得出n，进而得出当该数列的前n项和取得最小值时n的值.
5．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：A.
【分析】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积和诱导公式，进而求出直线与平面所成角的正弦值.
6．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：不妨取，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
所以，，
整理可得，解得.
故答案为：C.
【分析】不妨取和等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，以为公比的等比数列，进而确定该数列的首项和公比，则可求出等比数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式可求得的值.
7．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：直线的方程为，即，
圆的方程为，
由题意知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切，
所以，即，
解得：，所以，
又因为，
所以离心率，
又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切，利用点到直线的距离公式，建立关于的不等式，再根据和椭圆的离心率公式，从而得出椭圆的离心率的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足：，
∴，∴，∴．
，
∴数列的前项和，
又因为，
则数列单调递增，∴，
若对任意恒成立，∴，即，
则整数的最小值为8．
故答案为：D.
【分析】利用数列满足，从而变形为：，利用等差数列的通项公式可得的通项公式，再利用“裂项求和”的方法和数列数列的单调性，从而得出数列的值域，根据对任意恒成立，从而得出t的取值范围，进而得出整数t的最小值．
9．【答案】A,D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，，方程是椭圆，其焦点在y轴上，所以A正确；
对于B，，方程是椭圆，其离心率，所以B错误；
对于C，，方程是双曲线，其焦点在x轴上，所以C错误；
对于D，，方程是双曲线，其离心率为，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据给定条件，再利用椭圆、双曲线的焦点的位置和离心率公式，从而求解判断各选项，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
因为，所以，故C正确；
因为，
，，
所以数列是等比数列，故B错误；
因为，所以，
设，
则，，，
若是等比数列，则，
即，解得：，
所以，
，，所以数列不是等比数列，
即不存在实数，使数列是等比数列，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据等比数列的定义，则判断出选项A；由等比数列的通项公式得出数列的通项公式，则判断出选项C；代入选项B结合等比数列的定义，则判断出选项B；假设存在，设，则，再求出后验证，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，设直线的方程为，，
联立方程组，消去整理得，
，
，即，
又因为，所以上式可化简整理得，所以，
所以直线的方程为，即，
所以，因为，所以，故A正确；
对于B，由双曲线定义得，且，
则
所以的最小值为，故B正确；
对于C，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，
因为且，所以，
若，则，
所以直线直线，同理可知，当也可判断直线直线，
所以入射光线与反射光线的夹角为，故C错误；
对于D，如图，
因为为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分，
延长与的延长线交于点，
则垂直平分，即点为的中点，
又因为是的中点，
所以，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设出直线的方程，联立直线与双曲线方程，根据判别式法得出，从而得出直线AP的方程，即可求得，再利用得出的取值范围，则判断出选项A；利用双曲线定义，将转化为，根据几何法和两点距离公式得出的最小值，则可判断选项B；根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线，利用且，从而得出的值，进而求出点的坐标，再由数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，则判断出线线垂直，从而得出入射光线与反射光线的夹角，则判断出选项C；根据双曲线的光学性质可推出点为的中点，进而得出，再结合双曲线的定义，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆上恰有三个点到直线的距离为，且圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，则，
因为，解得.
故答案为：.
【分析】利用圆上恰有三个点到直线的距离为，且圆的半径为，从而得出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，从而可得出正实数的值.
13．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，则，①
，②
②①得，整理可得，解得，
故.
故答案为：.
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解方程组得出的值，再根据等比数列的前n项和公式，从而得出的值.
14．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立得，
设、，则，，
，同理可得，
所以，
因为为定值，所以，解得.
故答案为：.
【分析】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，根据韦达定理可得，，从而得到，再根据为定值列方程，从而解方程得出实数m的值.
15．【答案】（1）解：因为为等差数列，公差为，其前项和为，
则，
又因为，，则，
因为，即，
可得，解得，故，
所以，，
则，可得，
综上所述，.
（2）证明：由（1）可得，
所以，
因此，
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质，可得，由此可得，再利用等比数列的求和公式，可求出的值，即可得出的值，根据等差数列的通项公式计算出的值，再由可得出关于的方程，从而解方程得出的值.
（2）由（1）可得数列的通项公式，根据得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法求出数列的前项和，则根据放缩法证出不等式成立.
（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则，
又因为，，则，
因为，即，可得，解得，故，
所以，，则，可得.
综上所述，.
（2）由（1）可得，
所以，，
因此，
.
16．【答案】（1）证明：在中，由，
得，则，
由点D在平面内的射影点H在线段上，
得平面，平面，则，
因为平面，，则平面，
又因为平面，则，
由E为中点，得，
因为平面，
因此平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2） 解：在平面内，过作，由（1）知，平面，
则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，，则
，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合勾股定理，证得，再利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定定理，从而证出平面平面.
（2）在平面内，过作，由（1）知，平面，则直线两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
（1）在中，由，得，则，
由点D在平面内的射影点H在线段上，得平面，平面，
则，而平面，，于是平面，
又平面，则，由E为中点，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）在平面内过作，由（1）知，平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，，
则，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
17．【答案】（1）解：因为数列的前项和满足：，
则，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
令，可得，
则，解得，
所以，，且，
所以，数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，故.
（2）解：因为，
对任意的，则，
将问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为
则，
则，
作差得
，
化简得，
因此，.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）令，从而求出的值，当时，由可得，作差可得，利用等比数列的定义，从而判断出数列为等比数列，进而确定该数列的首项和公比，再根据等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）对任意的，计算出，将问题转化为求数列的前项和，再利用错位相减法结合分组求和，从而得出.
（1）因为数列的前项和满足：，
则，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
令，可得，则，解得，
所以，，且，
所以，数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，故.
（2）因为，
对任意的，，
问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为，
，
则，
上式下式得
，
化简得，
因此，.
18．【答案】（1）解：设，，设，
即，且，
由三角形的三边关系可得，则，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因为余弦函数在上为减函数，且，
故当取最大值时，取最小值，
所以，，解得，
所以，，
因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为，
所以，，
因此，动点的轨迹的方程为.
（2）解：易知点，根据题意，
设直线的方程为，其中，
设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则，
故点，所以，，
线段的中点为，，
所以，线段的中垂线方程为，
同理可得，线段的中垂线方程为，
其中，，
联立，、
可得，
所以，，
要求的最大值，只需考虑即可，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，，设，利用余弦定理结合基本不等式、余弦函数的单调性，可知当时，角取最大值，再结合余弦定理求出的值，分析可知，曲线为椭圆，再求出的值，即可得出曲线的方程.
（2）根据题意，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，再由韦达定理求出点的横坐标以及的值，从而考虑即可，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
（1）设，，设，即，且，
由三角形的三边关系可得，则，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因为余弦函数在上为减函数，且，
故当取最大值时，取最小值，所以，，解得，
所以，，
因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为，
所以，，
因此，动点的轨迹的方程为.
（2）易知点，根据题意，设直线的方程为，其中，
设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则，
故点，所以，，
线段的中点为，，
所以，线段的中垂线方程为，
同理可得，线段的中垂线方程为，
其中，，
联立，可得，
所以，，
要求的最大值，只需考虑即可，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
19．【答案】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，即，
则该双曲线的焦点到渐近线的距离为，
又因为，可得，
因此，双曲线的标准方程为.
（2）证明：由（1）可得，则，
若直线与轴重合，则与双曲线的右支只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可知，，
联立可得，
由题意可得，
解得，
由韦达定理可得，，
由对称性知，直线过轴上的定点，
，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，
所以，
，
因此，直线过定点.
（3）解：由题意可知，、、，
由题意可知，直线的方程为，
联立可得
由题意可知，
、为方程的两根，
所以，，可得，
由题意可得，可得，
因为点，记，则，
则
易知点，则，
所以数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线的焦点到渐近线的距离公式求出的值，再结合双曲线的离心率公式可得出的值，由此可得出该双曲线的标准方程.
（2）设直线的方程为，由题意可知，将直线的方程与双曲线方程联立，再由韦达定理和对称性知直线过轴上的定点，从而求出直线的方程，再将点的坐标代入直线的方程，从而求出的值，即可证出直线过定点.
（3）将直线的方程与双曲线的方程联立，再结合韦达定理可得出，再根据，可得，则根据等比数列的定义判断出数列为等比数列，从而确定该数列的首项和公比，则由等比数列的通项公式得出的值.
（1）双曲线的渐近线方程为，即，
则该双曲线的焦点到渐近线的距离为，
又因为，可得，
因此，双曲线的标准方程为.
（2）由（1）可得，则，
若直线与轴重合，则与双曲线的右支只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可知，，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
由对称性知，直线过轴上的定点，
，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，
所以，
，
因此，直线过定点.
（3）由题意可知，、、，
由题意可知，直线的方程为，
联立可得，
由题意可知，、为方程的两根，
所以，，可得，
由题意可得，可得，
因为点，记，则，
则
，
易知点，则，
所以数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
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