重庆市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·重庆市期中）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·重庆市期中）若为函数的零点，则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·重庆市期中）已知p：函数 为增函数，q： ，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一上·重庆市期中）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
5．（2024高一上·重庆市期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·重庆市期中）已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·重庆市期中）已知函数，若且，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8．（2024高一上·重庆市期中）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·重庆市期中）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．的值域为 D．的解集为
10．（2024高一上·重庆市期中）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．当时，，上的值域为，则的取值范围是
D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是
11．（2024高一上·重庆市期中）已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（ ）
A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质
B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质
C．若，，则集合A具有性质
D．若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质
12．（2024高一上·重庆市期中）已知幂函数在上是减函数，则实数的值为 .
13．（2024高一上·重庆市期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
14．（2024高一上·重庆市期中）定义在上的函数满足，，若，则 .
15．（2024高一上·重庆市期中）求值：
（1）；
（2）.
16．（2024高一上·重庆市期中）已知集合，集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2024高一上·重庆市期中）已知函数为奇函数，且.
（1）求实数，的值；
（2）判断在定义域内的单调性，并说明理由（不需要证明）；
（3）解不等式.
18．（2024高一上·重庆市期中）已知函数，，函数.
（1）当时，求在区间上的值域；
（2）若，都，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设，问是否存在实数，使得函数图象上存在两个不同的点关于对称？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
19．（2024高一上·重庆市期中）已知函数.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数有3个不相等的零点，在此条件下无论取何值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图知，阴影部分所表示的集合为，
又因为，，
所以图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】由图可知阴影部分所表示的集合为，再结合已知条件，从而利用交集和补集的运算法则，从而得出图中阴影部分所表示的集合.
2．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为函数为上的增函数，
又因为，且，
因为，
所以所在区间为.
故答案为：B.
【分析】根据零点存在性定理，即可得出所在的区间.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由函数 为增函数，得 ，即 ，所以命题 ；
由 ， ，可得 ，所以 ；
由 能推出 ；由 不能推出 ；
所以p是q的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用指数函数的单调性限制底数求出命题p，再由函数的单调性求出a的取值范围进而得出命题q，由充分不必要条件的定义即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设植物原来长度m，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，
故，即，即，
24天后该植物的长度是，即为原来的倍，
则，
即24天后该植物的长度是原来的倍，
故答案为：C.
【分析】设植物原来长度m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，从而得出，再结合指数幂的运算法则，即可求得24天后该植物的长度是原来的倍数.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
所以函数为奇函数，故排除选项A和选项C；
当时，，故函数图象在第一象限，故排除选项B.
故答案为：D.
【分析】根据奇函数的图象的对称性和给定区间函数的值域，则由排除法找出函数的大致图象.
6．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为函数是偶函数，所以，
则函数的图象关于直线对称，则，
又因为，且时，恒成立，
所以函数在上为单调递减函数，
且，即，则.
故答案为：B.
【分析】由题意可知函数关于直线对称，且在区间上为单调递减函数，再利用函数的单调性和对称性求解即可.
7．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由可知，
函数的定义域为，且
，
所以为奇函数，
又因为在上单调递增，
则在上单调递增，
因为函数为奇函数，则函数在上单调递增，
又因为且，，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以.
故答案为：C.
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，再根据单调性和奇偶性得出，然后平方结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
8．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题知，，
当时，；
当时，，
则；
当时，，
则，
的部分图象如下，
所以，当时，令，解得或，
则对任意，都有，
可得，即m的最大值为.
故答案为：D.
【分析】先求出分段函数中几个区间的函数的解析式，进而得出几个区间的函数的最值，再根据分段函数的部分图象，从而解方程得出方程的解，根据任意，都有，从而由不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围，则得出实数m的最大值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；不等式的解集
【解析】【解答】解：对于A，由题意得，即，解得，
经检验，当时，为奇函数，所以，故A不正确；
对于B，，
因为在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，故B正确；
对于C，当时，，∴，
故，，
由为奇函数，故时，，
又因为，故函数的值域为，故C正确；
对于D，由，，解得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据奇函数的性质得出k的值，则判断出选项A；利用减函数的定义判断出函数的单调性，则判断出选项B；利用函数的单调性求出函数的值域，则判断出选项C；利用分式不等式求解方法和指数函数的单调性，从而得出不等式的解集，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的值域；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为的解集是，所以，所以A错误；
因为－2，3是关于x的方程的两个根，且，
于是得，，即，
不等式化为：，解得，所以B正确；
当时，因为，所以，
则，，
依题意，，由得，或，
因为函数在上的最小值为，
从而得出，或，，
则两种情况均有，所以C正确；
因为，令，由对勾函数得在上单调递增，
则，因为有解，
则，解得或，所以D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据一元二次不等式的解集，则可判断选项A；由一元二次不等式解集和根与系数的关系，得到，，则将化为，从而解一元二次不等式求出不等式的解集，则判断出选项B； 利用二次函数求值域的方法，先确定，从而求出当或时，，进而可求出的取值范围，则判断出选项C；先求出，再根据不等式有解得到，从而解一元二次不等式得出实数的取值范围，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：对于A，显然，，且，
所以A正确；
对于B，，，
但A中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误；
对于C，因为，，是中元素的最小者，
可知集合中一定有这些元素，且，
则集合A具有性质，所以C正确；
对于D，因为，且为奇数，是中元素的最小者，
可知集合A中一定有这些元素，且，
则集合A具有性质，是中元素的第二小者，
若，因为，则，所以集合A具有性质；
若，则A集合中一定有这些元素，
且，则集合A具有性质，
综上所述：集合A具有性质.
因为为奇数，则，
①若，则，此时；
②若，则，此时，
综上所述：集合不具有性质，所以D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据集合A具有性质的定义，则判断出选项A、选项B、选项C；结合选项C判断性质，分和两种情况，则判断出，分和两种情况，则判断出，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得.
故答案为：.
【分析】根据幂函数的定义和幂函数的单调性，从而得出实数m的值.
13．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题知，因为函数在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则，解得.
故答案为：.
【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则，从而得出实数a的取值范围.
14．【答案】
【知识点】函数的周期性；图形的对称性
【解析】【解答】解：，，
，则，
所以是以4为周期的周期函数，
因为，故，
所以，关于对称，
，
由，所以，，，
所以
.
故答案为：.
【分析】根据函数的图象的对称性和周期函数的定义，则可得函数的周期，再求出、、、的值，从而由函数的周期性得出的值.
15．【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式 .
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化公式和指数幂的运算法则，从而化简求值．
（2）利用对数运算法则和换底公式，从而化简求值．
（1）原式；
（2）原式
16．【答案】（1）解：由题意可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得（舍去）或.
（2）解：因为方程在区间上有个不等根，
所以，，
解得，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知，方程有两个不等根、，由题意结合判别式法得出实数m的取值范围，再利用韦达定理结合，从而得出实数的值.
（2）利用已知条件可知，方程在区间上有个不等根，再根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.
（1）由题意可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得（舍去）或.
（2）方程在区间上有个不等根，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
17．【答案】（1）解：由，
奇函数定义域关于原点对称，故，
由，得，，
此时的定义域为，且，
故为奇函数，所以.
（2）解：因为的定义域为，
设，则，
因为在单调递增，
所以在单调递增，
故在单调递增.
（3）解：因为为奇函数且在单调递增，
若，则，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和函数的定义域可知，再结合，从而得出实数a，b的值.
（2）根据题意结合复合函数单调性，从而判断并证出函数在定义域内的单调性.
（3）根据奇函数的性质和函数的单调性，从而可得，进而解不等式组得出不等式的解集.
（1）由，奇函数定义域关于原点对称，故，
由，得，，
此时的定义域为，且，故为奇函数，
所以.
（2）因为的定义域为，
设，则，
因为在单调递增，在单调递增，
故在单调递增.
（3）因为为奇函数且在单调递增，
若，则，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：当时，，
则在单调递增；在单调递减，
则，
又因为，所以的值域为.
（2）解：由题意可知，，
即在上恒成立.
分离参数可得：，
由，知，则.
（3）解：由，
若函数图象上存在两个不同点关于对称，
则存在实数，使，
即方程有解，
化简可得：有解，
分离参数可得：，
设，，
则，由在上单调递增，
故，则，
所以.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；图形的对称性
【解析】【分析】（1）当时，，再利用一元二次函数的开口方向和对称性，从而判断出二次函数的单调性，从而得出区间上的值域.
（2）由题意可知，，利用分离参数求最值的方法，从而将问题转化为在上恒成立，再利用的取值范围求得，从而求出实数的取值范围.
（3）利用已知条件，将问题转化为方程有解，并分离参数可得，从而求出的取值范围，进而得出实数的取值范围.
（1）当时，，
则在单调递增；在单调递减；
则，
又，所以的值域为.
（2）由题意可知，，即在上恒成立.
分离参数可得：，
由，知，则.
（3）由，
若函数图象上存在两个不同点关于对称，
则存在实数，使，
即方程有解，
化简可得：有解，
分离参数可得：，
设，，
则，由在上单调递增，
故，则，
所以.
19．【答案】（1）解：当时，，
作图如下：
则在区间，上单调递增.
（2）解：当时，，
可知在上单调递增，要使在上单调递增，
只需在单调递增，故.
（3）解：当时，由（2）可知，
在上单调递增，有1个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，至多1个零点；
当时，，至多1个零点，
故在至多2个零点，不合题意，
当时，，
在区间，上单调递增，在上单调递减，
因为有3个不相等的零点，故，
则，易知当时，有1个零点，
当时，有2个零点，
由对称性知：，故恒成立，
当时，即时，，是方程的较小根，
故在单调递增，则
当，即当时，
是方程的较大根，
故，
在单调递减，则，
综上所述，当时，.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据题意去绝对值，从而化简函数解析式，再结合分段函数图象，从而判断出函数的单调区间.
（2）根据题意去绝对值，从而化简函数解析式，可知在单调递增，要使在上单调递增，只需在单调递增，再结合二次函数的单调性，从而得出实数的取值范围.
（3）利用已知条件可知，，从而可得，再结合二次方程的根的分布分析，则由函数的零点个数、函数图象的对称性、函数的单调性，从而得出函数的最值，进而由不等式恒成立问题求出实数的取值范围.
（1）当时，，
则在区间，上单调递增.
（2）当时，，
可知在上单调递增，要使在上单调递增，
只需在单调递增，故.
（3）当时，由（2）可知，在上单调递增，有1个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，至多1个零点，
时，，至多1个零点，
故在至多2个零点，不合题意；
当时，，
在区间，上单调递增，在上单调递减，
因为有3个不相等的零点，故，则.
易知当时，有1个零点，
当时，有2个零点，
由对称性知：，故恒成立.
当即时，，是方程的较小根，
故在单调递增，则
当，即时，是方程的较大根，
故，
在单调递减，则，
综上，故.
1 / 1重庆市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·重庆市期中）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图知，阴影部分所表示的集合为，
又因为，，
所以图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】由图可知阴影部分所表示的集合为，再结合已知条件，从而利用交集和补集的运算法则，从而得出图中阴影部分所表示的集合.
2．（2024高一上·重庆市期中）若为函数的零点，则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为函数为上的增函数，
又因为，且，
因为，
所以所在区间为.
故答案为：B.
【分析】根据零点存在性定理，即可得出所在的区间.
3．（2024高一上·重庆市期中）已知p：函数 为增函数，q： ，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由函数 为增函数，得 ，即 ，所以命题 ；
由 ， ，可得 ，所以 ；
由 能推出 ；由 不能推出 ；
所以p是q的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用指数函数的单调性限制底数求出命题p，再由函数的单调性求出a的取值范围进而得出命题q，由充分不必要条件的定义即可得出答案。
4．（2024高一上·重庆市期中）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设植物原来长度m，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，
故，即，即，
24天后该植物的长度是，即为原来的倍，
则，
即24天后该植物的长度是原来的倍，
故答案为：C.
【分析】设植物原来长度m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，从而得出，再结合指数幂的运算法则，即可求得24天后该植物的长度是原来的倍数.
5．（2024高一上·重庆市期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为的定义域为，且，
所以函数为奇函数，故排除选项A和选项C；
当时，，故函数图象在第一象限，故排除选项B.
故答案为：D.
【分析】根据奇函数的图象的对称性和给定区间函数的值域，则由排除法找出函数的大致图象.
6．（2024高一上·重庆市期中）已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为函数是偶函数，所以，
则函数的图象关于直线对称，则，
又因为，且时，恒成立，
所以函数在上为单调递减函数，
且，即，则.
故答案为：B.
【分析】由题意可知函数关于直线对称，且在区间上为单调递减函数，再利用函数的单调性和对称性求解即可.
7．（2024高一上·重庆市期中）已知函数，若且，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由可知，
函数的定义域为，且
，
所以为奇函数，
又因为在上单调递增，
则在上单调递增，
因为函数为奇函数，则函数在上单调递增，
又因为且，，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以.
故答案为：C.
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，再根据单调性和奇偶性得出，然后平方结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
8．（2024高一上·重庆市期中）函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题知，，
当时，；
当时，，
则；
当时，，
则，
的部分图象如下，
所以，当时，令，解得或，
则对任意，都有，
可得，即m的最大值为.
故答案为：D.
【分析】先求出分段函数中几个区间的函数的解析式，进而得出几个区间的函数的最值，再根据分段函数的部分图象，从而解方程得出方程的解，根据任意，都有，从而由不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数m的取值范围，则得出实数m的最大值.
9．（2024高一上·重庆市期中）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．的值域为 D．的解集为
【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；不等式的解集
【解析】【解答】解：对于A，由题意得，即，解得，
经检验，当时，为奇函数，所以，故A不正确；
对于B，，
因为在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，故B正确；
对于C，当时，，∴，
故，，
由为奇函数，故时，，
又因为，故函数的值域为，故C正确；
对于D，由，，解得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据奇函数的性质得出k的值，则判断出选项A；利用减函数的定义判断出函数的单调性，则判断出选项B；利用函数的单调性求出函数的值域，则判断出选项C；利用分式不等式求解方法和指数函数的单调性，从而得出不等式的解集，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高一上·重庆市期中）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．当时，，上的值域为，则的取值范围是
D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是
【答案】B,C
【知识点】函数的值域；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为的解集是，所以，所以A错误；
因为－2，3是关于x的方程的两个根，且，
于是得，，即，
不等式化为：，解得，所以B正确；
当时，因为，所以，
则，，
依题意，，由得，或，
因为函数在上的最小值为，
从而得出，或，，
则两种情况均有，所以C正确；
因为，令，由对勾函数得在上单调递增，
则，因为有解，
则，解得或，所以D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据一元二次不等式的解集，则可判断选项A；由一元二次不等式解集和根与系数的关系，得到，，则将化为，从而解一元二次不等式求出不等式的解集，则判断出选项B； 利用二次函数求值域的方法，先确定，从而求出当或时，，进而可求出的取值范围，则判断出选项C；先求出，再根据不等式有解得到，从而解一元二次不等式得出实数的取值范围，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2024高一上·重庆市期中）已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（ ）
A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质
B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质
C．若，，则集合A具有性质
D．若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质
【答案】A,C,D
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】解：对于A，显然，，且，
所以A正确；
对于B，，，
但A中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误；
对于C，因为，，是中元素的最小者，
可知集合中一定有这些元素，且，
则集合A具有性质，所以C正确；
对于D，因为，且为奇数，是中元素的最小者，
可知集合A中一定有这些元素，且，
则集合A具有性质，是中元素的第二小者，
若，因为，则，所以集合A具有性质；
若，则A集合中一定有这些元素，
且，则集合A具有性质，
综上所述：集合A具有性质.
因为为奇数，则，
①若，则，此时；
②若，则，此时，
综上所述：集合不具有性质，所以D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据集合A具有性质的定义，则判断出选项A、选项B、选项C；结合选项C判断性质，分和两种情况，则判断出，分和两种情况，则判断出，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高一上·重庆市期中）已知幂函数在上是减函数，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得.
故答案为：.
【分析】根据幂函数的定义和幂函数的单调性，从而得出实数m的值.
13．（2024高一上·重庆市期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题知，因为函数在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则，解得.
故答案为：.
【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则，从而得出实数a的取值范围.
14．（2024高一上·重庆市期中）定义在上的函数满足，，若，则 .
【答案】
【知识点】函数的周期性；图形的对称性
【解析】【解答】解：，，
，则，
所以是以4为周期的周期函数，
因为，故，
所以，关于对称，
，
由，所以，，，
所以
.
故答案为：.
【分析】根据函数的图象的对称性和周期函数的定义，则可得函数的周期，再求出、、、的值，从而由函数的周期性得出的值.
15．（2024高一上·重庆市期中）求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式 .
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）利用根式与分数指数幂的互化公式和指数幂的运算法则，从而化简求值．
（2）利用对数运算法则和换底公式，从而化简求值．
（1）原式；
（2）原式
16．（2024高一上·重庆市期中）已知集合，集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得（舍去）或.
（2）解：因为方程在区间上有个不等根，
所以，，
解得，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知，方程有两个不等根、，由题意结合判别式法得出实数m的取值范围，再利用韦达定理结合，从而得出实数的值.
（2）利用已知条件可知，方程在区间上有个不等根，再根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.
（1）由题意可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得（舍去）或.
（2）方程在区间上有个不等根，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
17．（2024高一上·重庆市期中）已知函数为奇函数，且.
（1）求实数，的值；
（2）判断在定义域内的单调性，并说明理由（不需要证明）；
（3）解不等式.
【答案】（1）解：由，
奇函数定义域关于原点对称，故，
由，得，，
此时的定义域为，且，
故为奇函数，所以.
（2）解：因为的定义域为，
设，则，
因为在单调递增，
所以在单调递增，
故在单调递增.
（3）解：因为为奇函数且在单调递增，
若，则，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和函数的定义域可知，再结合，从而得出实数a，b的值.
（2）根据题意结合复合函数单调性，从而判断并证出函数在定义域内的单调性.
（3）根据奇函数的性质和函数的单调性，从而可得，进而解不等式组得出不等式的解集.
（1）由，奇函数定义域关于原点对称，故，
由，得，，
此时的定义域为，且，故为奇函数，
所以.
（2）因为的定义域为，
设，则，
因为在单调递增，在单调递增，
故在单调递增.
（3）因为为奇函数且在单调递增，
若，则，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
18．（2024高一上·重庆市期中）已知函数，，函数.
（1）当时，求在区间上的值域；
（2）若，都，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设，问是否存在实数，使得函数图象上存在两个不同的点关于对称？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，，
则在单调递增；在单调递减，
则，
又因为，所以的值域为.
（2）解：由题意可知，，
即在上恒成立.
分离参数可得：，
由，知，则.
（3）解：由，
若函数图象上存在两个不同点关于对称，
则存在实数，使，
即方程有解，
化简可得：有解，
分离参数可得：，
设，，
则，由在上单调递增，
故，则，
所以.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；图形的对称性
【解析】【分析】（1）当时，，再利用一元二次函数的开口方向和对称性，从而判断出二次函数的单调性，从而得出区间上的值域.
（2）由题意可知，，利用分离参数求最值的方法，从而将问题转化为在上恒成立，再利用的取值范围求得，从而求出实数的取值范围.
（3）利用已知条件，将问题转化为方程有解，并分离参数可得，从而求出的取值范围，进而得出实数的取值范围.
（1）当时，，
则在单调递增；在单调递减；
则，
又，所以的值域为.
（2）由题意可知，，即在上恒成立.
分离参数可得：，
由，知，则.
（3）由，
若函数图象上存在两个不同点关于对称，
则存在实数，使，
即方程有解，
化简可得：有解，
分离参数可得：，
设，，
则，由在上单调递增，
故，则，
所以.
19．（2024高一上·重庆市期中）已知函数.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数有3个不相等的零点，在此条件下无论取何值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
作图如下：
则在区间，上单调递增.
（2）解：当时，，
可知在上单调递增，要使在上单调递增，
只需在单调递增，故.
（3）解：当时，由（2）可知，
在上单调递增，有1个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，至多1个零点；
当时，，至多1个零点，
故在至多2个零点，不合题意，
当时，，
在区间，上单调递增，在上单调递减，
因为有3个不相等的零点，故，
则，易知当时，有1个零点，
当时，有2个零点，
由对称性知：，故恒成立，
当时，即时，，是方程的较小根，
故在单调递增，则
当，即当时，
是方程的较大根，
故，
在单调递减，则，
综上所述，当时，.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据题意去绝对值，从而化简函数解析式，再结合分段函数图象，从而判断出函数的单调区间.
（2）根据题意去绝对值，从而化简函数解析式，可知在单调递增，要使在上单调递增，只需在单调递增，再结合二次函数的单调性，从而得出实数的取值范围.
（3）利用已知条件可知，，从而可得，再结合二次方程的根的分布分析，则由函数的零点个数、函数图象的对称性、函数的单调性，从而得出函数的最值，进而由不等式恒成立问题求出实数的取值范围.
（1）当时，，
则在区间，上单调递增.
（2）当时，，
可知在上单调递增，要使在上单调递增，
只需在单调递增，故.
（3）当时，由（2）可知，在上单调递增，有1个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，至多1个零点，
时，，至多1个零点，
故在至多2个零点，不合题意；
当时，，
在区间，上单调递增，在上单调递减，
因为有3个不相等的零点，故，则.
易知当时，有1个零点，
当时，有2个零点，
由对称性知：，故恒成立.
当即时，，是方程的较小根，
故在单调递增，则
当，即时，是方程的较大根，
故，
在单调递减，则，
综上，故.
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