安徽省江南十校2024-2025学年高一上学期12月份分科诊断考试 数学（含答案）

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绝密★启用前
2024年“江南十校”高一12月份分科诊断联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知命题，则它的否定为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数，若，则实数的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 已知幂函数（为常数）具有性质：（1）定义域为，（2）图象关于y轴对称，则的可能取值为（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 已知且，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A B. C. D.
10. 德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. 的值域为 D. 是函数的一条对称轴
11. 已知函数若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 任意直线都与函数的图象有交点
C. 当时，取值范围为
D. 当时，的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 化简：_______．
13. 函数的单调递减区间是_______．
14. 记中的最大者为，则的最小值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数定义域为A，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
16. 已知函数．
（1）若函数具有奇偶性，试求实数的值；
（2）若函数为奇函数，判断函数单调性，并证明．
17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润．
18. 已知二次函数图象经过，且不等式的解集为，
（1）求函数的表达式；
（2）若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
19. 如果函数的每一个函数值y都有唯一的自变量x和它对应，则函数有反函数，记为．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“a和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“a积性质”．
温馨提示：如何求函数的反函数，可参考函数的反函数求解过程．令，则，解得，即．又函数的值域为R，故其反函数为．
（1）求函数的反函数；
（2）判断函数是否满足“积性质”，并说明理由；
（3）求所有满足“2025和性质”的一次函数．
2024年“江南十校”高一12月份分科诊断联考
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】B
6.
【答案】C
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】AC
10.
【答案】BD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】18
13.【答案】
14.【答案】3
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解】
【分析】（1）由对数函数定义域可得集合A，然后由交集定义可得答案；
（2）由题可得，讨论a的取值，可得相应集合A，即可得答案.
【小问1详解】
由可得．
当时，，故；
【小问2详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，所以．
当时，，此时，
则满足题意；
当时，，
要使得，则，解得；
当时，，
要使得，则，解得．
综上：.
16.
【解】
【分析】（1）根据奇偶函数定义，列式求解；
（2）根据函数单调性定义判断证明.
【小问1详解】
若函数为偶函数，则，即，
即恒成立，则；
若函数为奇函数，则，即，
即恒成立，则．
综上知，函数具有奇偶性时，．
小问2详解】
函数为奇函数时，是R上的增函数，证明如下：
由（1）知函数奇函数时，，此时．
设，
则，
，则，
故，即，
故是上的增函数．
17.
【解】
【分析】（1）由结合解析式可得答案；
（2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得
表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案.
【小问1详解】
由，
可得，解得
故；
小问2详解】
设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，
则
，其中.
则
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立.
所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元．
18.
【解】
【分析】（1）根据不等式的解集为，可设，再由二次函数图象经过，求出的值,得到的解析式;
（2）由解析式，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，求出的值域，再由，求出参数的范围.
【小问1详解】
由题知不等式的解集为，
可设，，
即．
又，解得
故．
【小问2详解】
由（1）知，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，，
因此函数的值域为．
不等式可化，
而，
故恒成立恒成立．
令，
则，
函数在区间上单调递增，而，所以，
故实数的取值范围为．
19.
【解】
【分析】（1）由题意中反函数的求解方法可得；
（2）先求的反函数，再验证“积性质”即可；
（3）设函数满足“2025和性质”，先求其反函数，再利用“和性质”定义求出即可；
【小问1详解】
令，可知函数在区间上单调递增，故，
又，则，即．
故函数的反函数为
【小问2详解】
由，得，则函数的反函数为，
因此．
再令，可得，
因此函数的反函数为，与是同一函数，
故函数满足“积性质”．
【小问3详解】
设函数
由，得，则，
而，得反函数，
由“和性质”定义可知对恒成立．
，即所求一次函数．
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