2024-2025学年河南省天一大联考高二年级12月阶段性测试（二）数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省天一大联考高二年级12月阶段性测试（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，则该数列的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2.已知三个向量，，共面，则( )
A. B. C. D.
3.在某种药物的临床试验中，每天对患者的某项生理指标进行一次测量第一天该项指标的值为，第五天该项指标的值为，且每天的值依次构成等差数列，则该等差数列的公差为( )
A. B. C. D.
4.已知在四面体中，是棱的中点，点满足，点满足记，，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知，分别为双曲线的左、右焦点，为上的一点，且，，，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知点在圆上运动，点，是的中点，记点的轨迹为曲线若直线过定点，且与曲线有且仅有一个公共点，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，过的中点作另一条直线交轴于点，若，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知直线过定点，圆的方程为，若是直线与圆的一个交点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 圆关于直线对称
C. 若直线被圆截得的弦长为，则
D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则
10.设正项等比数列的前项和为，前项积为，已知，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是的最大值
D. 对任意，
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则( )
A. B. 的面积等于
C. 的斜率为 D. 的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，已知，，则 ．
13.如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 ．
14.把正奇数按下表排列，则在表中是第 行第 列
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记等差数列的前项和为，已知，．
Ⅰ求的通项公式
Ⅱ求满足的最小正整数．
16.本小题分
已知双曲线的焦距为，且经过点．
Ⅰ求的方程
Ⅱ已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于，两点，若的中点在直线上，求的值．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，且，，为棱的中点．
Ⅰ证明：平面
Ⅱ若点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，上、下顶点，和左、右焦点，形成的四边形的面积为．
Ⅰ求的方程
Ⅱ设是上任意一点，线段上一点满足，求的取值范围
Ⅲ经过的直线与交于，两点，与的内切圆半径分别为，，当时，求的方程．
19.本小题分
已知数列和满足，，．
Ⅰ证明：是等比数列
Ⅱ设，求数列的前项和
Ⅲ证明：．
参考答案
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15.解析设的公差为因为，，
所以
解得
所以．
Ⅱ由可知．
由，得，
即，
解得或，
又为正整数，所以满足条件的最小正整数．
16.解：Ⅰ设的半焦距为．
由题意知，，故．
将代入中，得，，
又，，
联立，解得，．
所以的方程为．
Ⅱ设的方程为，，，中点的坐标为
联立得，
由题意得，，
且．
所以，．
由题意知，即，
又，所以．


17.解：Ⅰ因为底面，且平面，所以，
因为，，，平面，所以平面又平面，所以．
因为，且为棱的中点，所以，又，，平面，所以平面．
Ⅱ由已知可得，，由三角形相似可得，所以，所以．
以为原点，以过点且平行于的直线为轴，，所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．
所以，，
设平面的法向量为，
则令，可得．
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
可得，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：Ⅰ设的半焦距为，
因为的离心率为，所以，即，
由，得，
又，
所以，，．
所以的方程为．
Ⅱ如图，由题意知，．
设，即，，
所以，可得．
所以
又因为，即，
所以，即的取值范围是
Ⅲ如图，由Ⅰ可知，显然的斜率不为，
设，，
由整理得，
所以，．
依题意有，得
同理可得
因为，所以，
又，所以，
所以，
解得，，
代入中，
得，
解得，即，
所以的方程为或．
19.解：Ⅰ由题意知，，
所以，
即，又，所以是首项为，公比为的等比数列．
Ⅱ由知，所以，
所以
．
Ⅲ由知，所以．
当为偶数时，
．
所以
当为奇数时，，
而，所以．
综上可知原命题成立．
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