2024-2025学年福建省福州八中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州八中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.关于命题：“，”，下列判断正确的是( )
A. 该命题是全称量词命题，且为假命题 B. 该命题是存在量词命题，且为真命题
C. ：， D. ：，
3.若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是( )
A. 在上为增函数 B. 方程的实根为
C. 的值域为 D. 为偶函数
4.已知函数，且的解集为，则函数的图象为( )
A. B.
C. D.
5.已知存在使成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.使成立的一个必要条件是( )
A. B. C. D.
10.设为实数，则下列集合可能是不等式的解集的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且时，当时，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 为上的减函数 D. 为奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，当时，有成立，则不等式的解集为______．
14.已知函数，若当时，，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，或．
求图中阴影部分表示的集合；
已知集合，若，求的取值范围．
16.本小题分
已知，，．
当时，求的最小值；
当时，满足恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数是定义域上的奇函数，且．
求函数的解析式，并判断函数在上的单调性无需证明；
若函数，若对，，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约吨工业废气，这将造成极大的环境污染为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．
经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本元与废气处理量吨之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理吨工业废气可得价值为元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．
若该制药厂每天废气处理量计划定为吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？
若该制药厂每天废气处理量计划定为吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求的取值范围；
若该制药厂每天废气处理量计划定为吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求的值．
19.本小题分
定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点已知函数，．
当，时，求函数的不动点；
若，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
设且的两个不动点为，，且，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，或，
所以，
则图中阴影部分表示．
由题意可知，，，
所以当时，，解得，符合题意；
当时，或者，
此时不等式组无解，
不等式组的解集为，
综上，的取值范围为．
16.解：，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
令，得，解得：舍去或，
，解得，当且仅当，时等号成立，
的最小值是；
当时，，可得．
由得，
又，，，
当且仅当，即时等号成立．
当时，求的最小值是．
则有，解得，即的取值范围为．
17.解：因为函数是定义域上的奇函数，且．
所以，可得，
所以，所以，
又，所以，所以，
所以，
在上单调递减，在上单调递增．
证明如下：
，，且，
则，
因为，所以，，
当时，，则，所以，
即，所以在上的单调递减，
当时，，则，所以，
即，所以在上的单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由题得，，
对，，都有，只需要，
令，则在单调递增，所以，
则，
对称轴，当时，由的单调性可得，
，得，故；
当时，，得，故；
当时，，得，故；
当时，，得，故；
综上：实数的取值范围是．
18.解：由题意可知，当废弃处理量满足时，每天利用设备处理废气的综合成本，
当该制药厂每天废气处理量计划为吨，即时，
每天利用设备处理废气的综合成本为元，
又转化的某种化工产品可得利润为元，
工厂每天需要投入废气处理资金为元；
由题意可知，，
当时，令，解得，
当时，令，即，
，
无解．
综合，的取值范围为，
故当该制药厂每天废气处理量计划为吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量；
当时，投入资金为，
又市政府为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，
当时，不等式恒成立，
即对任意恒成立，
令，
则有，即，即解得，
答：市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金．
19.解：当，时，，
令，即，解得或，
所以的不动点为或．
令，即，
则，，
于是得方程有两个不等实根，
即，则，
由题意知，，不等式恒成立，
所以，整理得，解得，
所以实数的取值范围是．
由知，当时，，，
又，于是得，则，
令，则，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以实数的最小值为．
第1页，共1页