2023-2024学年云南省曲靖市沾益一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年云南省曲靖市沾益一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.两平行直线：和：之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.等比数列的前项和为，若，则公比( )
A. B. C. 或 D.
6.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
8.在平面直角坐标系中，已知圆：，，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线平面，且直线不平行于平面，给出下列结论正确的是( )
A. 内的所有直线与异面 B. 内存在直线与相交
C. 内存在唯一的直线与平行 D. 内不存在与平行的直线
10.在等差数列中，其前的和是，若，，则( )
A. 是递增数列 B. 其通项公式是
C. 当取最小值时，的值只能是 D. 的最小值是
11.设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
12.已知抛物线：，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 若，则的面积为
C. 的最大值为
D. 的周长的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设为单位向量，且，则______________．
14.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______．
15.已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______．
16.已知各项均为正数的递增等差数列，其前项和为，公差为，若数列也是等差数列，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知圆：，直线：，：，且直线和均平分圆．
求圆的标准方程；
直线与圆相交于，两点，且，求实数的值．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，且满足．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ求的最大值．
20.本小题分
已知双曲线：，直线与双曲线交于，两点．
若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
若点的坐标为，直线的斜率等于，且，求双曲线的离心率．
21.本小题分
如图，在长方体中，，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
已知椭圆：的短轴长和焦距相等，长轴长是．
求椭圆的标准方程；
直线与椭圆相交于，两点，原点到直线的距离为点在椭圆上，且满足，求直线的方程．
参考答案
1.
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13.
14.或
15.
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17.解：由题知，等差数列的前项和为，，，
所以，即，
解得，
所以，
所以的通项公式为；
由得，，
所以，
所以，
所以数列的前项和．
18.解：因为直线和均平分圆，所以两条直线都过圆心，
因为，解得，所以直线和的交点坐标为，
所以圆心的坐标为，
因为圆：，所以圆心坐标为，
所以，解得，
所以圆的方程为，即；
由得圆的标准方程为，圆心，半径，
因为，且为等腰三角形，所以，
因为，所以圆心到直线的距离，
根据点到直线的距离公式，
解得或，
所以实数的值为或．
19.解：，所以，
故，又因为，所以．
，
当，时，有最大值，
故的最大值为．
20.解：点是双曲线的一个焦点，，
又且，解得，
双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为；
设直线的方程为且，
联立，可得，
，，
，
，
解得，即由可得，
故双曲线的离心率为．
21.解：证明：在长方体中，建系如图：
则，，，，
，，，
，，，
，，
，，又，，平面，
平面；
设平面的法向量为，又，，
则，取，又，
直线与平面所成的角的正弦值为：
，．
22.解：设椭圆的焦距为，
因为椭圆：的短轴长和焦距相等，长轴长是，
所以，解得，，，
故椭圆的标准方程为．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时满足的点显然不在椭圆上，可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，，
联立方程，消去后整理为，
可得，，
由，可得，
又由，可得，，
将点的坐标代入椭圆的方程，有，所以，
又由原点到直线的距离为，可得，
联立方程，可得，
解得或或或，
又由，
可得直线的方程为或或或．
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