2023-2024学年广东省揭阳市揭东县高二（上）期末数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年广东省揭阳市揭东县高二（上）期末数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-07 22:05:02 | ||
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文档简介
2023-2024学年广东省揭阳市揭东县高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
4.圆：和圆：的位置关系是( )
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含
5.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更最多相差一两天”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 点到直线的距离为
10.人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一在国家统计局的官网上可以查询到我国年至年人均国内生产总值单位：元的数据，如图所示，则( )
A. 年至年人均国内生产总值逐年递增
B. 年至年人均国内生产总值的极差为
C. 这年的人均国内生产总值的分位数是
D. 这年的人均国内生产总值的增长量最小的是年
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若为锐角三角形，则
D. 若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为
12.如图，在正方体中，点在线段上运动，则( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数列满足，则其通项公式 ______．
14.已知，，且，则的值是______．
15.求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程 ．
16.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是递增的等差数列，，若，，成等比数列．
求数列的通项公式；
求数列的前项和为．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，，求的面积．
19.本小题分
已知，是椭圆的两个焦点，，为上一点．
求椭圆的标准方程；
若为上一点，且，求的面积．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点，分别为，的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知直线：，圆：．
若，求直线被圆截得的弦长；
当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及的方程．
22.本小题分
已知抛物线：经过点．
求抛物线的方程及其准线方程；
设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于、两点，直线分别交直线，于点和点，求证：以为直径的圆经过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，
14.
15.
16.
17.解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，
，．
由可得，
，
则
．
18.解：因为，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，故，所以．
由余弦定理得，所以，
故．
19.解：不妨设椭圆的焦距为，
因为，
所以，
解得，
即，，
此时，，
由椭圆的定义可得，
则，
故椭圆的标准方程为；
因为，
所以，
解得，
则．
20.Ⅰ证明：底面，，
又为正方形，，
由，，可得平面，
，
又，点为的中点，
由，，可得平面，．
同理可得，，平面．
Ⅱ解：如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，
建立空间直角坐标系，设，则，，，
，，．
由Ⅰ可知是平面的一个法向量，记为，
又平面的一个法向量为．
，
平面与平面夹角的余弦值等于．
21.解：若，直线的方程为，
由圆：可得圆心，半径，
所心圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为；
直线方程变形为，
由，得，所以直线恒过定点，
当时，所截得的弦长最短，此时有，
而，于是，解得，
直线的方程为，即．
22.解：因为已知抛物线：经过点，
所以，
解得，
则抛物线的方程为，其准线方程为；
证明：由知抛物线的焦点为，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，
由韦达定理得，
易知直线的方程为，
不妨，
解得，
同理，
若以为直径的圆经过定点，
此时以为直径的圆与轴一定有交点，
所以定点在轴上，
不妨设，
此时
，
不妨令，
解得或，
综上，以为直径的圆经过轴上的定点和．
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
4.圆：和圆：的位置关系是( )
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含
5.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更最多相差一两天”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 点到直线的距离为
10.人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一在国家统计局的官网上可以查询到我国年至年人均国内生产总值单位：元的数据，如图所示，则( )
A. 年至年人均国内生产总值逐年递增
B. 年至年人均国内生产总值的极差为
C. 这年的人均国内生产总值的分位数是
D. 这年的人均国内生产总值的增长量最小的是年
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若为锐角三角形，则
D. 若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为
12.如图，在正方体中，点在线段上运动，则( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数列满足，则其通项公式 ______．
14.已知，，且，则的值是______．
15.求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程 ．
16.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是递增的等差数列，，若，，成等比数列．
求数列的通项公式；
求数列的前项和为．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，，求的面积．
19.本小题分
已知，是椭圆的两个焦点，，为上一点．
求椭圆的标准方程；
若为上一点，且，求的面积．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点，分别为，的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知直线：，圆：．
若，求直线被圆截得的弦长；
当直线被圆截得的弦长最短时，求的值及的方程．
22.本小题分
已知抛物线：经过点．
求抛物线的方程及其准线方程；
设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于、两点，直线分别交直线，于点和点，求证：以为直径的圆经过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.，
14.
15.
16.
17.解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，
，．
由可得，
，
则
．
18.解：因为，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，故，所以．
由余弦定理得，所以，
故．
19.解：不妨设椭圆的焦距为，
因为，
所以，
解得，
即，，
此时，，
由椭圆的定义可得，
则，
故椭圆的标准方程为；
因为，
所以，
解得，
则．
20.Ⅰ证明：底面，，
又为正方形，，
由，，可得平面，
，
又，点为的中点，
由，，可得平面，．
同理可得，，平面．
Ⅱ解：如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，
建立空间直角坐标系，设，则，，，
，，．
由Ⅰ可知是平面的一个法向量，记为，
又平面的一个法向量为．
，
平面与平面夹角的余弦值等于．
21.解：若，直线的方程为，
由圆：可得圆心，半径，
所心圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为；
直线方程变形为，
由，得，所以直线恒过定点，
当时，所截得的弦长最短，此时有，
而，于是，解得，
直线的方程为，即．
22.解：因为已知抛物线：经过点，
所以，
解得，
则抛物线的方程为，其准线方程为；
证明：由知抛物线的焦点为，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，
由韦达定理得，
易知直线的方程为，
不妨，
解得，
同理，
若以为直径的圆经过定点，
此时以为直径的圆与轴一定有交点，
所以定点在轴上，
不妨设，
此时
，
不妨令，
解得或，
综上，以为直径的圆经过轴上的定点和．
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