2024-2025学年河北省承德市承德县六沟高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省承德市承德县六沟高级中学高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数与是同一个函数的是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数在定义域内是增函数的是( )
A. B. C. D.
4.若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.是函数在上是减函数的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如果函数那么( )
A. B. C. D.
8.给定函数，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.设集合，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若，则实数的取值范围为______．
13.已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围______．
14.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点．
求的解析式；
求．
16.本小题分
已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：．
若为真命题，求实数的取值范围；
若，中一真一假，求实数的取值范围．
17.本小题分
某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从年起全面发售经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为万元．
求企业获得年利润万元关于年产量百台的函数关系式；
当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
18.本小题分
已知函数经过，两点．
求函数的解析式；
判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
当时，，求实数的最小值．
19.本小题分
已知函数的定义域为，对任意的，，都有当时，．
求的值，并证明：当时，；
判断的单调性，并证明你的结论；
若，求不等式的解集．
参考答案
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15.解：依题意可得，解得，
所以；
因为，
所以，，
所以．
16.解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，解得，
为真命题时，的取值范围为；
，一真一假，
真假时，，解得；
假真时，，解得，
的取值范围为，．
17.解：当，时，
，
当，时，
，
综上所述，；
由可知，，
当，时，，
故当百台时，取得最大值，最大值为万元，
当，时，
万元，
当且仅当，即时，等号成立，
由于，
故当年产量为万台时，企业所获年利润最大，最大利润为万元．
18.解：根据题意，函数经过，两点，
则，，
即，解得，
故；
在上单调递减，
证明如下：，
则，
又由，，且，
则，，
则有，即，
所以函数在上单调递减．
由知在上单调递减，
则函数在上的最大值为，
由知，，
所以的最小值为．
19.解：函数的定义域为，
对任意的，，都有当时，．
因为，，都有，
所以令，得，则，
证明：因为时，，
所以当时，，则，
令，，得，
所以．
在上单调递减，证明如下：
不妨设，则，，
令，，则，
所以，
即，所以在上单调递减；
因为，令，，
则，即，
由，得，即，
由知在上单调递减，
所以，所以，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为．
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