2024-2025学年山东省青岛二中高一（上）段考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年山东省青岛二中高一（上）段考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
3.函数的定义域为( )
A. B. ，且
C. D. ，且
4.已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点( )
A. B. C. D.
5.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若：：，，则扇环的面积为．
A. B. C. D.
6.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则( )
A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数在上单调递减
C. 若，则 D. 函数有两个零点
8.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数，为自然对数的底数，，则函数的值域为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，其中错误的是( )
A. 已知，则
B. 若角为锐角，则角为钝角
C. 函数的值域为，则实数的取值范围是
D. 正数，满足，则的最大值为
10.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱原点对称函数”已知函数是定义域内的“弱原点对称函数”，则实数的可能取值有( )
A. B. C. D.
11.已知连续函数满足：
，，都有；
当时，恒有；
．
则以下说法正确的是( )
A.
B.
C. 函数在区间上的最大值为
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，的值域是______．
13.不等式的解集为______．
14.已知函数，，若有个零点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算的值；
已知点在函数的图象上，求的解集．
16.本小题分
伴随着天气转凉，进入到秋冬季传染病高发期，学校购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度单位：毫克立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用．
若一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？
若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值．
17.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求实数的值；
判断函数的单调性无需证明，并求函数的值域；
不等式对恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”．
若函数，判断函数是否为“伴随函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“伴随函数”，求的值；
已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：
；
因为点在函数的图象上，
所以，即，
则可化为，
当时，解得，
当时，，
当时，解得或，
当时，可化为，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
故时，解集为，
当时，解集为或，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为
16.解：当时，为增函数，
当时，为减函数，
当一次喷洒个单位的消毒剂，
设或，
解得：或，
即，
又，
即有效杀灭时间最长可达小时；
设从第一次喷洒起，经过小时后浓度为：
，
因为，所以，所以，
即，当且仅当，即时取等号；
又因为，所以，满足，等号成立；
所以，即，设，则，
不等式化为，解得，即，解得；
综上，的取值范围是，即的最小值是．
17.解：是定义在上的奇函数，
，得，经检验，当时，是定义在上的奇函数，；
在上单调递增，
由知，，
，，
的值域为；
是奇函数，
可化为，
又单调递增，
对恒成立，
即对恒成立，令，，
则，
令，，
则恒成立，
又在上单调递减，在上单调递增，
故时，取得最大值，
故，
故的范围为
18.解：不是伴随函数，理由如下：
令，，
所以不存在，使得成立，
所以不是伴随函数；
因为函数在定义域上单调递增且为“伴随函数”，
则存在，使得成立，
若，则；
根据题意，存在，使得成立，
若，则，矛盾，
故，，，
所以，；
若，
则当时，，
此时不存在，使成立，
即此时不是伴随函数．
所以，
则在上单调递增，
，，
由知，
又因为，
所以，得．
所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，恒有，
所以，
即，
整理得，
所以，
令，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以．
所以实数的取值范围为．
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