2024-2025学年河北省承德市双桥卉原中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省承德市双桥卉原中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数为幂函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知，若，则( )
A. B. C. D.
5.若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设集合，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数是偶函数，，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.若，，且，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
10.已知，则下列不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则( )
A. 是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
13.某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为元，每天需要房租水电等费用元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是______．
14.已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
当时，求，；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知幂函数的图象过点．
求的值；
求在区间上的最大值；
设函数，判断的奇偶性．
17.本小题分
已知关于的一元二次方程．
当时，设方程的两个实根分别为，，求代数式的值；
若该方程有两个异号实根，求实数的取值范围．
18.本小题分
二次函数满足对任意的，恒成立．
求证：为定值；
若，求二次函数的表达式；
求的取值范围．
19.本小题分
若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数．
求证：(ⅰ)函数为奇函数；
(ⅱ)函数在定义域上单调递增；
若在区间上；在上的图象关于点对称求函数和函数在区间上的解析式．
参考答案
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15.解：由题设，则，
或，则．
由，
若时，，满足；
若时，；
综上，的取值范围是
16.解：设幂函数，的图象过点，
，．
，
在区间上单调递增．
在区间上的最大值为．
函数，
．
的定义域为，关于原点对称
．
为奇函数．
17.解：因为当时，方程的两个实根分别为，，所以，，
所以；
因为方程的两个异号实根，则，
所以，
所以实数的取值范围为．
18.解：证明：对任意的，恒成立，则，
所以，为定值．
由知，，由，得，则，，
不等式可化为，即，
依题意，一元二次不等式恒成立，则，
解得，
此时，恒成立，
所以．
由知，，，
不等式可化为，
依题意，一元二次不等式恒成立，则，且方程有相等的实数根，
因此，，
不等式，
同理，且方程有相等的实数根，
因此，，
从而，，，，
所以的取值范围是．
19.解：在定义域上满足，
时，，定义域为的为偶函数，
证明：令，可得，
令，可得，即，
故函数为奇函数．
任取，，且，则，
因为时，，，
由
，
可得，
故函数在上单调递增．
因是定义在上的偶函数，
由时，，
可得，
由，可得，即，
由，可得，即，
因时，，则当时，，
由可得，
当时，，故．
综上，可知当时，都有．
又因时，，且在上的图象关于点对称，
则当时，，，
又是定义在上的偶函数，
故时，，．
综上，．
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