2024-2025学年贵州省遵义市高二（上）联考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年贵州省遵义市高二（上）联考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下关于复数的四个命题中，错误的是( )
A. B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
C. 复数的共轭复数 D. 复数的虚部为
2.在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.命题“，，使得”的否定是( )
A. ，，使得 B. ，，使得
C. ，，使得 D. ，，使得
4.如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
5.过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6.经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的倍的直线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有( )
A. 两个圆心所在直线的斜率为
B. 两圆恰有条公切线
C. 两圆公共弦所在直线的方程为
D. 的最小值为
8.已知函数的定义域为，当时，，则的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，则以下命题正确的有( )
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
D. 若方程在上有两个不等实数根，，则
10.已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列选项正确的有( )
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若与不垂直，则垂直于内无数条直线
11.定义域为的函数对任意的非零实数，都满足当时，下列结论正确的是( )
A. B. 满足
C. D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，则的值为______．
13.如图，在四面体中，，，点，分别在，上，且，，则 ______．
14.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．
16.本小题分
年月日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号遵义市某中学的同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城至岁的市民是否会弹吉他进行调查若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”同学们随机抽取人进行调查，统计后发现“吉他达人”有人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图：
根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；
若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取人参加“吉他音乐节”表演，再从这人中随机选取人作为领队，求位领队来自同一组的概率．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求；
若，求面积的最大值．
18.本小题分
已知，是圆的一条直径的两个端点，为圆上任意一点，直线分别与轴、轴交于，两点角的终边与单位圆交于点．
求圆在点处的切线方程；
求面积的最大值；
求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，．
证明：平面平面．
若，求点到平面的距离．
求满足题设条件的所有几何体中，与平面所成角的正弦值的最大值．
参考答案
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15.解：由，解得，
所以直线和的交点是，
因为直线与直线垂直，所以设：，
将代入，可得，解得，所以：．
若直线与直线关于点对称，
则直线、互相平行，且点到它们的距离相等．
设经过点与平行的直线为，则到直线、的距离相等，
因此设：，结合直线：，即，
可得，解得不符合题意，舍去．
所以直线的方程为．
16.解：根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数为：
；
由，的频率为，可得两组人数比为：，
故人中，来自，的人数分别为和，
所以从这人中随机选取人作为领队，这位领队来自同一组的概率为．
17.解：在中，角，，的对边分别为，，，且满足，
因为，根据正弦定理可得，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以；
因为，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为．
18.解：由题设，是圆的一条直径的两个端点，
且圆的半径为，则圆：，
为圆上任意一点，直线分别与轴、轴交于，两点．角的终边与单位圆交于点，
又，即，显然点在圆上，
则，
圆在点处的切线的斜率为，所求切线为，
整理得．
圆在点处的切线方程：．
由题设，，，则，
到的距离，则到最大距离为，
面积的最大值为；
面积的最大值．
设是的中点，则，且，故，
由，，且，
，，
，
对于，当同向共线时最大，反向共线时最小，
，
综上，．
19.解：证明：由平面，平面，则，
又，都在面内，，平面，
则面，又面，
所以平面平面；
由可得：，又，过作于，
由面面，面面，面，
可得面，过作，易知，
故可构建如下图示空间直角坐标系，
又，，，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，则，
所以点到平面的距离；
同构建空间直角坐标系，易知是与面所成角的平面角，
显然在以为直径的圆上，令，
显然，可得或，
当时，，，
则，
所以，此时最大值为；
当时，，，
则，
所以，此时最大值为；
综上，与平面所成角的正弦值的最大值为．
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