2024-2025学年云南省保山市腾冲八中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省保山市腾冲八中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则集合的真子集有个．
A. B. C. D.
2.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 是奇函数 D. 是偶函数
3.幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是( )
A. B. 或
C. D. 或
4.已知条件：，条件：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知在上满足，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
8.如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 不等式的解集是
C. 命题“，”的否定是“，或”
D. 已知集合，，若，则实数的集合为
10.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知实数，满足，下列判断正确的是( )
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象经过点，则 ．
13.若在上的值域为，则的取值范围是______．
14.已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
写出函数的定义域及奇偶性；
请判断函数在上的单调性，并用定义证明；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
计算；
计算．
17.本小题分
随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品已知生产该产品的年固定成本为万元，最大产能为台每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
写出年利润万元关于年产量台的函数解析式利润销售收入成本；
当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
求在上的解析式；
判断的单调性，并解不等式．
19.本小题分
已知函数．
证明：函数是奇函数；
用定义证明：函数在上是增函数；
若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：函数的定义域为，
且，
为奇函数．
函数在上单调递增，证明：任取，
，
，，，，
，即，
函数在上单调递增．
，变形为，即，
由知，在上单调递增，，
，即的取值范围是
16.解：原式
．
．
17.解：由题意可得，当时，，
当时，，
所以；
当时，，
所以当时，，
当时，，当且仅当，即时，等号成立，
即当时，，
因为，
所以当该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元．
18.解：函数是定义在上的奇函数，，
，
；
设，，
又当时，．
，
，
，
当时，，
；
由可知，函数在上单调递增，
．
，
，
或，
不等式的解集为或．
19.解：证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数；
证明：当时，
，
任取，，且，
可得
，
因为，，且，
可得，，
所以，
即，
所以函数在上是增函数；
因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，
所以函数在上是增函数，
又由，
可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即为恒成立，符合题意；
当时，则满足，
解得，
综上可得，，
即实数的取值范围．
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