2024-2025学年广东省惠州市华罗庚中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省惠州市华罗庚中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合满足，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列四个函数中，在上是增函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 为偶函数 D. 为减函数
7.若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. ，或 B.
C. ，或 D.
8.某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数，若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是小时．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个选项能推出的有( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 幂函数为奇函数
C. 的单调减区间为
D. 函数的图象与轴的交点至多有个
11.已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有( )
A. B.
C. D. 有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则实数______．
13.若函数是奇函数，，，则 ______．
14.已知函数满足，对任意的，都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共100分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列各式的值式中字母均正数，写出化简步骤．
；
．
16.本小题分
设集合，，．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
17.本小题分
如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为试求函数的解析式，并画出函数的图象．
18.本小题分
已知函数对于任意实数，，恒有，且当时，，又．
判断的奇偶性并证明；
利用单调性求在区间上的最小值．
19.本小题分
若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．
函数；；，其中函数_____是在上的“美好函数”；填序号
已知函数：．
函数是在上的“美好函数”，求的值；
当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
已知函数：，若函数是在为整数上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：
；
．
16.解：由题意知当时，，故或，
而，故A；
由“”是“”的充分不必要条件，可得，
又，故需满足且，中等号不能同时取得，
解得：，
综上所述：的取值范围为．
17.解：当时，
如图，设直线与分别交于、两点，则，
又，，
当时，
如图，设直线与分别交于、两点，则，
又，
当时，
综上所述

18.解：为奇函数，现由如下：
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
恒有
令得，解得，
令得，
对任意恒成立，为奇函数．
任取，，且，则．
当时，，，为奇函数．
，
即，在上单调递增，
在区间的最小值为，
，令，得，
令，得，
在区间的最小值为．
19.解：对于，
当时，，当时，，
，符合题意；
对于，
当时，，当时，，
，不符合题意；
对于，
当时，，当时，，
，不符合题意；
故答案为：；
二次函数：对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，则当时，随的增大而增大，
，
，
当时，则当时，随的增大而减小，
，
，
综上所述，或；
二次函数：为，对称轴为直线，
当，，
当时，，
当时，．
若，则，解得舍去；
若，则，解得舍去，；
若，则，解得，舍去；
若，则，解得舍去．
综上所述，或；
由可知，二次函数：对称轴为直线，
又，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
，为整数，且，
，即的值为，
又，
，
．
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