2024-2025学年天津市和平区双菱中学高二（上）第三次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市和平区双菱中学高二（上）第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线过点，，则此直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.圆与圆的公切线的条数是( )
A. B. C. D.
3.“”是“椭圆的离心率为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.中国当代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地，则最后一天走了( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
5.已知直线与圆：交于，两点，且，则( )
A. B. C. D.
6.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为( )
A. B. C. D.
7.设是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
8.双曲线：的左焦点为，过原点作一条直线分别交的左右两支于，两点，若，，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆，其左、右焦点分别为，，离心率为，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.抛物线的准线方程为______．
11.在等差数列中，，则______．
12.过点作圆的切线，则切线方程为______．
13.已知数列的前项和，则的通项公式是______．
14.直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为______．
15.若、是椭圆：的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，则下列说法中正确的是______填序号
椭圆的离心率为；
存在点使得；
若，则；
面积的最大值为．
三、解答题：本题共4小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知椭圆的与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点．
求：的标准方程；
设直线与交于，两点在的右侧，为原点，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，点是线段中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知各项都为正数的等差数列的前项和为，且，且，，构成等比数列．
求数列的通项公式．
设，求：数列的前项和．
若，求：数列的前项和．
19.本小题分
已知椭圆：经过点，且短轴长为．
求椭圆的标准方程；
若过椭圆的右焦点且斜率不为的直线与椭圆交于，两点，点与点关于坐标原点对称，求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：因为椭圆，
所以，
设椭圆的标准方程为，
因为椭圆过点，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为；
联立，消去并整理得，
解得，，
所以，
则．
17.解：证明：取的中点，连接，，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以，，
又因为，，所以，，
即四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，，
所以平面．
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，即，
平面的法向量为．
所以，
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
平面的法向量为，，
设点到平面的距离为，则．
18.解：设等差数列的公差为，，
，，解得，
，，构成等比数列，
，即，
化简得，
解得舍去，或，
数列的通项公式为；
，
可得数列的前项和为；
由可知，，
则，
，
由，得，
．
19.解：因为椭圆经过点，且短轴长为，
所以，
解得，，，
则椭圆的标准方程为；
易知椭圆的右焦点，
当直线的斜率不存在时，
此时，，，
所以；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
又点到直线的距离，
因为点与点关于坐标原点对称，
所以点是线段的中点，
所以点到直线的距离为，
则
．
综上所述，面积的最大值为．
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