2023-2024学年福建省福州市福建师大附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建师大附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，若，则( )
A. B. C. 或 D.
2.据统计年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于的概率为( )
附：，，，．
A. B. C. D.
3.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数，，若对，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知变量，的部分数据如下表，由表中数据得，之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为，则( )
A. B. C. D.
6.已知离散型随机变量服从二项分布且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知偶函数的定义域为，，且当时，，则( )
A. B. C. D.
8.现随机安排甲、乙等位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则( )
A. 事件与相互独立 B. 事件与为互斥事件
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于回归分析的说法中正确的是( )
A. 回归直线一定过样本中心
B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
C. 甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好
D. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
10.一个不透明的箱子中装有个小球，其中白球个，红球个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有( )
A. 经过两次试验后，试验者手中恰有个白球的概率为
B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各个的概率为
C. 经过次试验后试验停止的概率为
D. 经过次或次试验后小球全部取出的概率最大
11.已知，的定义域为，若，，且为奇函数，为偶函数，则( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数
C. D. 关于对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量服从正态分布，即，若，则 ______．
13.函数的值域为______．
14.某盒中有个大小相同的球，分别标号为，，，，从盒中任取个球，记为取出的个球的标号之和被除的余数，则随机变量的期望为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断并用定义法证明在上的单调性；
解关于的不等式．
16.本小题分
游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的列联表：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男
女
合计
完成上述列联表，根据以上数据，根据小概率值的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？
某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的个红球和个蓝球，个红球和个蓝球，以及个红球和个蓝球游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取个球，若取出个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔现有名同学参加该游戏，表示名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的数学期望．
附：，其中．
17.本小题分
某小微企业对其产品研发的年投入金额单位：万元与其年销售量单位：万件的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表：
公司拟分别用和两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程；
统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型和的残差的平方和分别为和，请在和中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为万元时的年销售量．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
参考数据：，，．
18.本小题分
某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记分，两个文化节都参加的游客记分假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率．
从年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列；
年的“清明文化节”拟定于月日至月日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复．
求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
求甲第天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在年“清明文化节”的天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数．
19.本小题分
如果三个互不相同的函数，，在区间上恒有或，则称为与在区间上的“分割函数”．
证明：函数为函数与在上的分割函数；
若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数的取值范围；
若，且存在实数，，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
参考答案
1.
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15.解：由题意可得，
即，即，故，，
又，故，即；
在上单调递增，证明如下：
设，
则
，
由，则，，，
故，
故在上单调递增；
由函数为奇函数，故，
又函数在上单调递增，故有，解得．
所以不等式的解集为．
16.解：由题可得列联表如下：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男
女
合计
提出假设：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得
，
因为当成立时，的概率大于，所以没有的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关．
一次游戏中取出个红球的概率，
由题可知，，，，则，
所以．
17.解：由题知，，，
，
所以，
所以，
所以，
所以模型的经验回归方程为，
由，两边取自然对数可得，即，
所以，
所以，
所以模型的经验回归方程为；
因为，即的残差平方和较小，
所以模型的拟合效果更好，
所以当时，，
即当年投入金额为万元时的年销售量的估计值为万件．
18.解：由题意，每位游客得分的概率为，得分的概率为，
随机抽取三人，用随机变量表示三人合计得分，则可能的取值为，，，，
，，，，
所以的分布列为：


第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为，
若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，
若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，
则后一天选择“单车自由行”的概率为，
甲第二天选择“单车自由行”的概率．
甲第天选择“单车自由行”的概率，有，
，，
又，
数列是以为首项，以公比的等比数列，
，
由题意知，，即，，
即，
显然必为奇数，当，，，时，有即可，
时，成立；时，成立；
时，，则时，不成立，
时，不成立．
综上，天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有天．
19.解：证明：设，
则，当时，，在上单调递增，
当时，，在单调递减，
则在处取得极大值，即为最大值，
即，则当时，；
设，则，
当时，，在上单调递咸，
当时，，在上单调递增，
则在处取得极小值，即为最小值，
即，则当时，，
于是当时，，
函数为函数与在上的“分割函数”．
函数为函数与在上的“分割函数”，
对，恒成立，
而，于是函数在处的切线方程为，
函数的图象在处的切线方程也为，又，
则，解得，
于是对恒成立，
即对恒成立，
，解得，
实数的取值范围是．
对于函数，
当和时，，
当和时，，
则为的极小值点，为极大值点，
函数的图象如图，
由函数为函数与在区间上的“分割函数”，
存在，使得直线与函数的图象相切，
且切点的横坐标，
此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，，
则，消去，得，
由韦达定理可得，
，
令，，，
则，
当且仅当时，，
在上单调递减，，
的最大值为，
即的最大值为．
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