四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

四川省成都市第七中学 2023-2024 学年高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1 + )2 (1 )2 =( )
A. 0 B. 4 C. 4 D. 4
1
2.把余弦曲线 = 上所有的点向左平移 个单位长度，得到图像对应函数为( )
3
1 1
A. = cos( + ) B. = cos( ) C. = cos( + ) D. = cos( )
3 3 3 3
1
3.若sin cos = , < < ，则 =( )
2 2 2 2
√ 7 √ 7 3 3
A. B. C. D.
4 4 4 4

4.在△ 中， = , = √ 2, = 2，则 大小为( )
6
2 3
A. 或 B. 或 C. D.
3 3 4 4 3 4
5.以下等式错误的是( )
2 2 2 2
A. ( + ) ( ) = B. ( + )2 = + 2 +
2 2 2 2
C. | + || | = | | D. ( )2 = 2 +
6.若长方体的长、宽、高分别为2，2，4，则长方体外接球的表面积为( )
A. 24 B. 2√ 6 C. 48 D. 4√ 6
7.已知 (0,0)， (1, 2)， (3, 1)， (2,1)，则四边形 的面积为( )
A. 5√ 2 B. 5 C. 10√ 2 D. 10
8.如图，正方形 的边长为2， ， ， 分别为边 ， ， 上的点，则以下
错误的是( )
A. 若 ⊥ ， = ，则以 为圆心，半径为1的圆与 相切
6(5+√ 3)
B. 若∠ = 60°， = ，则△ 面积的取值范围是[√ 3, ]
22
C. 若点 与点 重合，△ 周长为4，则∠ = 45°
D. ∠ 不可能小于45°
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数 = ( 1) + ( 2) 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 的值可能是( )
3 4
A. 2 B. C. D. 1
2 3
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10.下列正确的是( )
A. 在任意四边形 中， ， 分别为 ， 的中点，则 + = 2
1+
B. 复数 = ( 是虚数单位)，则 + 2 + 3 + + 2024 = 0
1
C. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D. 直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积
11.△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列命题中正确的有( )
A. 若 = 2√ 2, = 45°, = 3，则三角形唯一确定

B. 若 = = 2,∠ = ，则△ 外接圆面积为
2
C. 若 = 6， = 4， = 2 ，则 = 5
D. 若 2 + 2 2 < 1，则△ 为锐角三角形
12.在直三棱柱 1 1 1中， 1 = 2, = 2, = 3√ 2, = 4，下列说法正确的是( )
A. 直三棱柱体积为3√ 7
B. 直三棱柱侧面积为12 + 6√ 2
C. △ 沿边 旋转一周形成的几何体的体积为6
D. 若 为 1 1的中点， 为 1的中点，过 ， ， 三点作该直三棱柱 1 1 1的截面，则截面面积为
√ 15
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知 = (4, ), = ( , 1)，若 // ，则 的值为______．
1 1
14.已知 , ∈ (0, ), = , = ，则sin( ) = ______．
2 3 2

15.已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 ，则
2
该圆台的体积为______．
16.△ 中，∠ = 150°， 为线段 上一点， = 1，且 = 0，则△ 面积的最小值为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
5
已知函数 ( ) = √ 3 + cos2 + ，在区间[0, ]上的最大值为 ．
2 2
(Ⅰ)求常数 的值；
(Ⅱ)求函数 ( )的最小正周期和单调递减区间．
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18.(本小题12分)
1
如图，正方形 边长为6， 是 的中点， = , 与 交于点 ，记 = ， = ．
3
(Ⅰ)求 与 夹角的余弦值；
(Ⅱ)若 = + ，求 + 的值．
19.(本小题12分)
在复数范围内有关于 的方程 2 + + 1 = 0．
(Ⅰ)求该方程的根；
(Ⅱ)求 ( 1)的值；
1
(Ⅲ)有人观察到( 1)( 2 + + 1) = 0，得 3 = 1，试求( )2024 + ( )2024的值．
+1 +1
20.(本小题12分)
如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2
米．
(Ⅰ)求该漏斗的表面积；
(Ⅱ)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点 ′爬到点 ，求它爬过的最短路径的长；
(Ⅲ)将图中正方形 ′ ′水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段 ′ 的长．
21.(本小题12分)
成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然
成为成都新的城市名片.成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道 一侧规划一
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个三角形区域 做绿化，如图，已知∠ = ，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角
3
形．
(Ⅰ)若 = 100米，求 的长；
(Ⅱ)求绿化区域△ 面积的取值范围；
(Ⅲ)绿化完成后，某游客在绿道 的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从 到 ，再从 到 ，最终

返回 点拍照.已知∠ = ，求游客所走路程的最大值．
3
22.(本小题12分)
边长为4的正方形 的中心为 ，以 为圆心的单位圆 上有两动点 ， 满足 = 0.若点 为正方
形 边 上的一个动点．
(Ⅰ)求 + 的值；
(Ⅱ)求 的最小值；
(Ⅲ)若 + + = 0
+
, ( , , ∈ )，求 的最大值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】±2
1 2√ 6
14.【答案】
6
56√ 15
15.【答案】
3
16.【答案】2√ 3
√ 3 1+ 2 1
17.【答案】解：( )因为 ( ) = √ 3 + cos2 + = 2 + + = sin(2 + ) + + ，
2 2 6 2
7
由0 ≤ ≤ 可得， ≤ 2 + ≤ ，
2 6 6 6
5 3
又 ( )在区间[0, ]上的最大值为 = + ，
2 2 2
所以 = 1；
(Ⅱ)函数 ( )的最小正周期 = ，
3
令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，
2 6 2
2
解得， + ≤ ≤ + ， ∈ ，
6 3
2
故函数 ( )的单调递减区间为[ + , + ]， ∈ ．
6 3
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，| | = | | = 6， = 0，
1
由 是 中点， = ，
3
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可得
1 1
= = + ， = = ，
3 2
1 1
则| | = √ 36 + × 36 = 2√ 10，| | = √ × 36 + 36 = 3√ 5，
9 4
1 2 1 2 1 1
= = × 36 × 36 = 6，
2 3 2 3

6 √ 2
故cos < , >= = = ；
| || | 2√ 10×3√ 5 10
(Ⅱ)由(Ⅰ)及 = + ，
1 1 可得 = ( + ) + ( ) = ( + ) + ( ) ，
3 2 2 3
1
又 = + = + ，
2
1 6
+ = =
所以{ 2 2 ，解得{
7 ，
5
= 1 =
3 7
1
故 + = ．
7
1 3 3
19.【答案】解：(Ⅰ)因为 2 + + 1 = 0，所以( + )2 = = 2，
2 4 4
1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3 1 √ 3
所以 = + 或 = ，所以该方程的根为 + ， .
2 2 2 2 2 2 2 2
(Ⅱ)因为 2 + + 1 = 0，所以 2 = 1，所以 ( 1) = 2 = 2 1，
1 √ 3
当 = + 时， ( 1) = 2 = 2 1 = 1 √ 3 1 = √ 3 ；
2 2
1 √ 3
当 = 时， ( 1) = 2 = 2 1 = √ 3 ，
2 2
故 ( 1)的值为 √ 3 或√ 3 .
(Ⅲ)因为 2 + + 1 = 0，所以 2 + = 1，且 3 = 1，

所以( )2024
1
+ ( )2024 = ( )674×3+2
1
+ ( )674×3+2
+1 +1 +1 +1
1 1
= [( )3]674 ( )2 + [( )3]674 ( )2
+1 +1 +1 +1
3 2 1 1
= [ 3]
674 + ( )674
( +1) 2+2 +1 3+3 2+3 +1 2+2 +1
1 2674 1 674 1= (
3 2
) + (
+3 +3 +1 2+2 +1 3+3 2
) 2 +3 +1 +2 +1
1 2 1 1 2+1
= ( )674 + ( )674 = = = 1．
1 3+1 2+2 +1 1 3+1 2+2 +1 2+2 +1 +2
2
20.【答案】解：(Ⅰ)由题意，该漏斗的表面积 2 √ 3 = 5 × 2 + 4 × × 22 = 20 + 4√ 3(米 )；
4
(Ⅱ)将漏斗表面展开，如图所示：
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由两点间距离最短，可得线段 为蚂蚁爬行最短路径，
过点 作 ⊥ ′交 ′的延长线于点 ，连接 ′ ，
则 = 30° = √ 3， = 30° = 1，
在 △ 中， ′ = √ ′ 2 + 2 = √ (2 + √ 3)2 + 12 = √ 8 + 4√ 3 = √ (√ 6 + √ 2)2 = √ 6 + √ 2，
所以蚂蚁爬过的最短路径的长为√ 6 + √ 2(米)；
(Ⅲ)正方形 ′ ′的斜二测画法有以下两种：
左图情况下，∠ ′ = 45°，在△ ′ 中，由余弦定理可得：
′ = √ ′2 + 2 2 ′ cos∠ ′ = √ 12 + 22 2√ 2 = √ 5 2√ 2，
右图情况下，∠ ′ = 135°，在△ ′ 中，由余弦定理可得：
′ = √ ′2 + 2 2 ′ cos∠ ′ = √ 12 + 22 + 2√ 2 = √ 5 + 2√ 2，
综上所述，线段 ′ 的长为√ 5 2√ 2米或√ 5 + 2√ 2米．
21【. 答案】解：(Ⅰ)在△ 中，由余弦定理知， 2 = 2 + 2 2 ∠ = 2002 + 1002 2 ×
1
200 × 100 × = 30000，
2
所以 = 100√ 3米．
2
(Ⅱ)设∠ = ，则∠ = ，
3
因为△ 为锐角三角形，

0 < <
2
所以{ 2 ，解得 < < ，
0 < < 6 2
3 2
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在△ 中，由正弦定理知， = ，
sin∠ sin∠
200
即 2 = ，
sin( ) sin
3
2 √ 3 1
200 ( ) 200( + )
所以 = 3 = 2 2
100√ 3
= + 100，
sin
√ 3 1
因为 < < ，所以 > ，所以0 < < √ 3，
6 2 3 tan
100√ 3
所以 = + 100 ∈ (100,400)，

1 1 √ 3
所以△ 面积 = ∠ = × 200 × × = 50√ 3 ∈ (5000√ 3, 20000√ 3)，
2 2 2
故△ 面积的取值范围为(5000√ 3, 20000√ 3)平方米．
2 2
(Ⅲ)设∠ = (0 < < )，则∠ = ，
3 3

在△ 中，由正弦定理知， = = ，
sin∠ sin∠ sin∠
200 400
所以 2 = =sin = ， sin( ) sin √ 3
3 3
400 2 400
所以 = sin( )， = ，
√ 3 3 √ 3
400 2 400 400 √ 3 1 400
所以游客所走路程为 + 2 = sin( ) + 2 × = ( + + 2 ) = ×
√ 3 3 √ 3 √ 3 2 2 √ 3
√ 3
√ 7sin( + )，其中 = ，
5
400 400√ 21
当sin( + ) = 1时， + 2 取得最大值 × √ 7 = ，
√ 3 3
400√ 21
故游客所走路程的最大值为 米．
3
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意， 与 的夹角为∠ = 45°， 与 的夹角为∠ = 45°，
∴ +
√ 2 √ 2
= | | | | 45° + | | | | 45° = 4 × 4√ 2 × + 4 × 4√ 2 × = 32 ；
2 2
(Ⅱ)建立如图所示平面直角坐标系，
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∵ = 0，不妨设 ( , )，0 ≤ < 2 ， (cos( + ), sin( + ))， 2 2
则 ( , )，再设 ( , 2)， 2 ≤ ≤ 2，
∴ = ( )( ) + ( 2)( 2)
= 2 + ( ) 2 2 + 4
1 15
= ( + )2 + 2( + ) +
2 2 4
1 15
≥ 2( + ) + ．
2 4
2
令 + = ，则 = √ 2sin( + ) ∈ [ √ 2, √ 2]， 1
4 sin = ， 2
2
设 1 15 1 7 ( ) = 2 + = 2 2 + ， ∈ [ √ 2,√ 2]，
4 4 4 2

则 ( ) = (√ 2) = 4 2√ 2，当 = ， = 0时， 4
的最小值为4 2√ 2；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知， ( 2,2)， (2,2)， (2, 2)， ( , )，0 ≤ < 2 ，
∴ = ( 2 , 2 )， = (2 , 2 )， = (2 , 2 )，
∵ + + = 0 , ( , , ∈ )，
∴ ( 2 ) + (2 ) + (2 ) = 0，
由题意可知 ≠ 0，
+ 2+ 2+4 4
则 = = = 1 + ，
2 cos cos 2 2 cos
+ 4
∴当 = 1，即 = 2 ， ∈ 时， 有最大值为 1 + = 3．
2 1
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