云南省昆明市盘龙区2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

云南省昆明市盘龙区 2023-2024 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 4}， = { | = 2 , ∈ }，则 ∩ =( )
A. {2,4} B. {0,2} C. {0,2,4} D. { 1,0,2,4}
2.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴非负半轴重合，终边经过点( 4,3)，则 =( )
4 3 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
3.在等比数列{ }中，已知 2 = 1， 5 = 27，则 4 =( )
A. 1 B. 3 C. 9 D. 27

4.已知两个单位向量 1与 2的夹角为 ，若 = 1 + 2， = 1 + 2，且 ⊥ ，则实数 =( ) 3
1 1
A. B. C. 1 D. 1
2 2
2 1
5.函数 ( ) = 的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.直线 + = 0与曲线 = √ 1 2有公共点，则实数 的取值范围( )
A. [1, √ 2] B. [ 1,√ 2] C. [ √ 2, √ 2] D. [ √ 2, 1]

7.要得到函数 = cos(2 )的图象，只需将函数 = 2 的图象( )
3

A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
6 12
5 11
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
6 12
8.已知正三棱柱的底面边长为4√ 3，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，
如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球 的球面上，则球 的体积为( )
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4√ 5 80√ 5 160√ 5
A. 80 B. C. D.
3 3 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4 2
9.已知复数 = ，则下列说法正确的是( )
3+
A. 的虚部为 B. 复数 在复平面内对应的点位于第二象限

C. 的共轭复数 = 1 + D. | | = √ 2
10.多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的
得0分.小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错误选项 A，于是她选择在 、 、 三个选
项中随机填涂答案提交，若该题在 、 、 中只有两个选项正确，则( )
1
A. 若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为
3
1
B. 若小乐随机填涂一个选项，则该题得0分的概率为
3
1
C. 若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为
3
1
D. 若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为
3
2 2
11.已知 1、 2分别为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 1、 2作渐近线 = 的垂线，
√ 3
垂足分别为 、 ，若sin∠ 1 = ，则下列选项正确的是( ) 3
A. | | = 2 B. △ 1 的面积为2
C. 的渐近线方程为 = ±√ 2 D. 的离心率为√ 3
12.已知 > 0， > 0， + + = 3，则( )
1 1
A. + ≥ 2 B. ≤ 1 C. 2 + 2 ≥ 4 D. + ≥ 2

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若 是 ：| | > 1的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个 为______．
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1 2 2
14.把离心率为 的椭圆称为“正椭圆”.已知 1、 2为“正椭圆” ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，2
过 1的直线交椭圆于 、 两点，若△ 2周长为16，则“正椭圆” 方程为______．

15.函数 ( ) = sin( + )( > 0)在区间[0, ]上单调递增，则 的取值范围为______．
3 2

16.如图，公园要在一块圆心角为3，半径为10 的扇形草坪 中修建一个
内接矩形文化景观区域 ，若 // ，则文化景观区域 面积的最
大值为______ 2．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记 为等差数列{ }的前 项和，已知 5 = 9， 10 = 80．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求 20．
18.(本小题12分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 2( )．
(1)求 ；
(2)已知△ 的面积为2√ 3， 为 的中点， = √ 7，求 ．
19.(本小题12分)
某市为了解高三数学复习备考情况，该市教研部门组织了一次检测考试，随机抽取100名学生的检测成绩(满
分：150分)，并以此为样本绘制了如下频率分布直方图：
(1)估计该市高三年级检测成绩的第80百分位数；
(2)为进一步了解市内学生数学学习情况，由频率分布直方图，成绩在[50,70)和[70,90)的两组中，用分层抽
样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生恰有1人成绩
在[70,90)内的概率．
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20.(本小题12分)
如图，在四棱柱 1 1 1 1中，底面 为正方形， 1 ⊥平面 ．
(1)证明：平面 1 1 ⊥平面 1 1 ；
(2)设 = 1 = 2，求四棱锥 1 1 1 的高．
21.(本小题12分)
设 ( ) = 2 + 1，令 1( ) = ( )， +1( ) = ( ( ))， ∈
．
(1)求 3( )， 4( )的表达式，并猜想 ( )；
(2)若数列{ }满足： ( ) = 0，求{ }的前 项和 ；
(0)+1
(3)若数列{ }满足： =

，求{ }的前 项和 ． (0)

+1(0)
22.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = ( > 0)上的点 ( 0,2)到焦点 的距离为2 0．
(1)求抛物线 的方程；
(2)点 ( , 4)在抛物线上，直线 与抛物线交于 、 两点(第一象限)，过点 作 轴的垂线交于点 ，直线
与直线 、 分别交于点 ， ( 为坐标原点)，且 = 2 ，证明：直线 过定点．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 > 2
2 2
14.【答案】 + = 1
16 12
1
15.【答案】(0, ]
3
16.【答案】100(2 √ 3)
17.【答案】解：(1)因为等差数列{ }中， 5 = 9， 10 = 80，

所以{ 1
+ 4 = 9
，解得 = 2， = 17，
10 1 + 45 = 80
1
故 = 17+ 2( 1) = 2 19；
20×19
(2) 20 = 20× ( 17)+ × 2 = 40． 2
18.【答案】解：(1)因为 = 2( )，由余弦定理，
2 2
可得 +
2
= 2( × )，
2
化简得 2 + 2 2 = ，
2
+ 2所以
2 1
= = ，又 ∈ (0, )，
2 2

所以 = 3；
(2) 1由 △ = 2√ 3，可得 = 2√ 3，则 = 8， 2
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在△ 中，cos∠ = cos∠ ， = √ 7，
2 2 2 2 2
(√ 7) +( ) 2 (√ 7) +( )
则有 2 = 2 ，
2× ×√ 7 2× ×√ 7
2 2
2
化简得 2 + 2 = 14+ ，
2
2
又 +
2 2 1
= = ，
16 2
2
所以 2

+ 2 = 8 + 2 = 14 + ，
2
即
2
= 6，解得 = 2√ 3．
2
19.【答案】解：(1)由0.005× 20 + 0.005× 20+ 0.0075× 20+ 0.02× 20 + × 20+ 0.0025× 20 = 1，解
得 = 0.01．
由题可知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1 + 0.1 + 0.15 + 0.4 = 0.75，在130分以下所占
比例为0.75+ 0.2 = 0.95，
因此，第80百分位数一定位于[110,130)内．
0.8 0.75
由110+ 20 × = 115，可以估计样本数据的第80百分位数为115分，
0.95 0.75
据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的第80百分位数为115分；
(2)由题意可知，[50,70)分数段的人数为100× 0.1 = 10，[70,90)分数段的人数为100 × 0.15 = 15．
用分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在[50,70)分数段内抽2人，分别记为 1， 2，需在[70,90)分数段
内抽3人，分别记为 1， 2， 3，
设这2名学生恰有1人成绩在[70,90)为事件 ，则样本空间 =
{ 1 2 , 1 1, 1 2 , 1 3 , 2 1, 2 2 , 2 3 , 1 2 , 1 3 , 2 3}共包含10个样本点，
而 事件= { 1 1, 1 2 , 1 3 , 2 1, 2 2 , 2 3}，包含6个样本点，
6 3
所以 ( ) = = ，
10 5
3
即抽取的这2名学生恰有1人成绩在[70,90)内的概率为 ．
5
20.【答案】解：(1)证明：∵ 1 ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ 1 ，又底面 为正方形，
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∴ ⊥ ，又 1 ∩ = ，且 1 ， 平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1，又 平面 1 1 ，
∴平面 1 1 ⊥平面 1 1 ；
(2) ∵ = 1 = 2，∴上下底面正方形边长为√ 2，
∴ 1 = 1 = √
2 2
1 = √ 4 2 = √ 2，设四棱锥 1 1 1 的高为 ，
则 1 = 2 1 1 1 = 2 1 1 ， 1 1 1
1 2
∴ × 矩形 × = × 3 1 1 3 △ 1 1 × 1 1
1 2 1
∴ × √ 2 × 2 × = × × 2 × 2 × √ 2，
3 3 2
∴ = 2，
故四棱锥 1 1 1 的高为2．
21.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2 + 1， 1( ) = ( )， +1( ) = ( ( ))，
所以 2( ) = ( 1( )) = (2 + 1) = 2(2 + 1)+ 1 = 4 + 3，
3( ) = ( 2( )) = (4 + 3) = 2(4 + 3) + 1 = 8 +7，
4( ) = ( 3( )) = (8 + 7) = 2(8 + 7) + 1 = 16 + 15，
因此猜想； ( ) = 2 + (2 1)；
1 2
1
(2)由 ( ) = 0，可得 ( ) = 2 + (2 1) = 0，则可得 = = 1， 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1 (1 2 ) 1
所以{ }的前 项和 = 1 1 + 2 1 + + 1 =
2
2 2 2 21
+ + + = 1 = 1 ；
22 2 1 2
2
(0)+1 2
1 1
(3)根据题意，可得 = = = ， (0)

+1(0) (2 1)(2
+1 1) 2 1 2 +1 1
1 1 1 1 1 1 1
则{ }的前 项和 = 1 2 + 2 2 1 2 1 2 1 23
+ +
1 2
1 2 +1
= 1 ．
1 2 +1 1

22.【答案】解：(1)由抛物线方程 2 = 得，抛物线准线方程为 = ，
4

点 ( 0 ,2)到准线的距离为 0 + ， 4

则 0 + = 2 0，∴ 0 = ， 4 4
∵ 点在抛物线上，∴ 4 = 0，

∴ 4 = × ，∴ = 4．
4
∴抛物线 的方程为： 2 = 4 ．
(2)证明：∵ ( , 4)在抛物线上，
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∴ 16 = 4 ，∴ = 4，∴ (4,4)，
∴ 的方提为 = ．
显然 的斜率一定存在．
设直线 的方程为 = + ，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立方程组{ 2 ，消去 得：
2 2 + (2 4) + 2 = 0，
= 4
= (2 4)2 4 2 2 > 0，即 < 1，
2
4 2
由韦达定理得： 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2．

∵ 是 与直线 的交点．∴ ( 1, 1).
1
直线 的方程为 = 2 ， 是 与 的交点，∴ ( , 21 )， 2 2
1
∵ = (0, 1 1)， = (0,
2
1
)，
2
1
∵ = 2 ，∴ 2( 1 1) =
2 ，
12
∴ 1 2 + 2 1 2 1 2 = 0，
∴ 1( 2 + )+ 2( 1 + ) 2 1 2 = 0，
∴ (2 2) 1 2 + ( 1 + 2) = 0，
2
4 2
∴ (2 2) 2 + 2 = 0，

整理得：2 4 = 0，即 = 2，
∴直线 的方程为 = +2，过定点(0,2)．
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