(共44张PPT)
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第5讲 指数与指数函数
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重点串讲 能力提升
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01
教材再现 四基诊断
根式
负数
0
a
a
－a
没有意义
3．有理指数幂的运算性质
aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝_____，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
ar＋s
ars
arbr
5．指数函数的图象与性质
(0，＋∞)
(0，1)
y>1
0
y>1
0增函数
减函数
×
×
×
×
×
2．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：易知f(x)为偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正确．
3．已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.
{y|y＞0，且y≠1}
02
重点串讲 能力提升
指数幂的运算
16
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加．
(2)运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
指数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a＞b)的图象如
图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，则a的
取值范围是________．
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
1.已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是( )
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，
g(x)＝x＋1的图象如图．
由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).
又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，
结合图象，可得x＜0或x＞1.
故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
2．(多选)(2024·福建福州调研)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，下列等式可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．a＜b＜0
C．0＜a＜b D．0＜b＜a
解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
指数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例3 (1)(2024·江苏苏州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
[解析] (1)∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0＜0.30.7＜0.30.3＜0.30＝1，
又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3＜0.7，
∴0＜0.30.3＜0.70.3，∴0＜a＜b＜1，
而函数y＝1.2x是R上的增函数，
∴c＝1.20.3＞1.20＝1，∴c＞b＞a.
(2)∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb.(*)
令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，(*)式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
比较指数式大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．
(2)不能化成同底数的，一般引入“0”或“1”等中间量比较大小．
若a＝21.9，b＝21.5，c＝31.9，则( )
A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：∵指数函数y＝2x在R上单调递增，
且1.9＞1.5，
∴21.9＞21.5，即a＞b.
∵幂函数y＝x1.9在(0，＋∞)上单调递增，且3＞2，
∴31.9＞21.9，即c＞a，
∴c＞a＞b.
角度2 解简单的指数方程或不等式
例4 已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是( )
A．[2，4] B．(－∞，0)
C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2]
[解析] ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x＞0，
∴0＜2x≤1或2≤2x≤4，∴x≤0或1≤x≤2.
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
不等式10x－6x－3x≥1的解集为____________．
[1，＋∞)
角度3 指数函数性质的综合应用
(－∞，4]
当x→－∞时，f(x)→－1，当x→0－时，f(x)→－∞，当x→0＋时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→1，
所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错误；
对于D，由选项C的分析可知，函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，无最小值，无最大值，故D正确．
涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．(共54张PPT)
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第4讲 幂函数与几类特殊函数
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01
教材再现 四基诊断
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
y＝xα
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
(2)图象
4．高斯函数y＝[x]
(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数．
(2)性质
①定义域：R，值域：Z；
②不具有单调性、奇偶性、周期性．
(3)图象
×
√
√
×
2．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是
( )
(－2，1)
0
解析：作出f(x)的图象如图中所示的实线部分，由图可知f(x)的最小值为0.
02
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幂函数的图象与性质
1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条直线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
2．若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则下列结论正确的为( )
A．－1＜m＜0＜n＜1
B．－1＜n＜0＜m＜2
C．－1＜m＜0＜n＜2
D．－1＜n＜0＜m＜1
解析：当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；
当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，
不妨令x＝2，根据题图可得2-1＜2n，
所以－1＜n＜0.
几类特殊函数
f(x＋T)＝f(x)对 x∈R恒成立，
故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)，
所以 x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)，D正确．
这几类特殊的函数问题实质上都属于函数中的新定义问题，解题时需仔细理解题意，并与函数的性质相结合，同时注意其特殊性．
10
[4，＋∞)(共37张PPT)
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第8讲 函数的零点与方程的解
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课程标准 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．
01
教材再现 四基诊断
1．函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
f(x)＝0
2．函数零点存在定理
(1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②__________<0.
(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
f(a)·f(b)
f(c)＝0
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]
上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以
f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不
必要条件．
3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)函数f(x)＝2x的零点为0.( )
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b) D内有零点，则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
√
×
√
解析：(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误．
3．函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个根，
且f(1)＝－1，f(2)＝1，则f(1)·f(2)＜0，
故f(x)的零点所在的区间为(1，2).
4．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．
02
重点串讲 能力提升
判断函数零点所在的区间
(2)[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)设f(x)＝ln x＋3x－15，显然f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)＝0只有一个根．
又f(4)＝ln 4－3＝2ln 2－3＜2(ln 2－1)＜0，f(5)＝ln 5＞0，
所以x0∈(4，5)，故[x0]＝4.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
函数零点个数的判断
[解析] (1)法一：∵f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一平面直角坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
(2)法一(直接法)：由y＝f(x)－3＝0得f(x)＝3.
当x＞0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e-3；
当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．
所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2.
法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，如图，
函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与
直线y＝3的交点个数，
作出直线y＝3，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，
故函数y＝f(x)－3的零点个数是2.
函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．
当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上有1个零点．
根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
2．函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：令f(x)＝x2－x＝0，
即x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0.
因为函数的最小正周期为2，
所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，f(－1)＝0，f(－3)＝0，
所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.
根据函数零点求参数(范围)
例3 (1)(多选)(2024·河北廊坊模拟)已知函数f(x)＝|x2＋3x＋1|－a|x|，则下列结论正确的是( )
A．若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0)
B．若f(x)恰有2个零点，则a∈(1，5)
C．若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5
D．若f(x)恰有4个零点，则a∈(5，＋∞)
由图可知，若f(x)没有零点，则a∈(－∞，0)，故A正确；
若f(x)恰有2个零点，则a∈{0}∪(1，5)，故B不正确；
若f(x)恰有3个零点，则a＝1或a＝5，故C正确；
若f(x)恰有4个零点，则a∈(0，1)∪(5，＋∞)，故D不正确．
(2)由题意知，函数y＝e－x与g(x)＝ln (x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．
当a＞0时，g(x)＝ln (x＋a)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，
根据图象可知此时只需要g(0)＝ln a＜1，
即0＜a＜e；
当a≤0时，g(x)＝ln (x＋a)的图象是由函数y＝ln x的
图象向右平移－a个单位长度得到的，
此时在(0，＋∞)上y＝e－x与g(x)的图象恒有交点，满足条件．
综上，a＜e，即实数a的取值范围是(－∞，e).
已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(共35张PPT)
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第9讲 函数模型的应用
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课程标准 1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．
01
教材再现 四基诊断
1．指数、对数、幂函数模型性质比较
y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调______ 单调______ 单调______
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与____平行 随x的增大逐渐表现为与_____平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax递增
递增
y轴
x轴
2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
×
×
×
√
3．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800时，那么超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算．
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
1 350
解析：若x＝1 300，则y＝5%(1 300－800)＝25＜30，
因此x＞1 300.
由10%(x－1 300)＋25＝30，得x＝1 350.
02
重点串讲 能力提升
用函数图象刻画变化过程
例1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
[解析] 依题意知，
当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4＜x≤8时，f(x)＝8；
当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，
观察四个选项知D项符合要求．
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图
所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数
模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律( )
A．y＝mx2＋n(x＞0) B．y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)
C．y＝max＋n(m＞0，a＞1) D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)
解析：由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1.
已知函数模型解决实际问题
1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点：
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
2．利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
未知函数模型需构建
故f(x)max＝f(9)＝81×9－×93－100＝386.
当10＜x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.
综上，当x＝9时，年利润取最大值386.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．
在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
2．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
(2)当0≤x≤30时，w＝900x－15 000，
当x＝30时，wmax＝900×30－15 000＝12 000(元)；
当30＜x≤75时，
w＝(－10x＋1 200)·x－15 000＝－10x2＋1 200x－15 000＝－10(x－60)2＋21 000，
当x＝60时，w最大为21 000元，
所以每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．(共57张PPT)
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第6讲 对数与对数函数
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课程标准 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax 互为反函数(a＞0，且a≠1). 4.*收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．
01
教材再现 四基诊断
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝______，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
logaN
N
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
定义域：____________ 值域：_____ 性质 当x＝___时，y＝___，即过定点______ 当x>1时，y>0； 当01时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是__________ 在(0，＋∞)上是________
(0，＋∞)
R
1
0
(1，0)
增函数
减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数____________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______对称．它们的定义域和值域正好互换．
y＝logax
y＝x
×
×
×
√
×
解析：(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误．
(2)当M＜0，N＜0时，虽然MN＞0，
但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(2)错误．
(3)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(3)错误．
(5)若03．设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
5．函数y＝loga(x－2)＋2(a＞0或a≠1)的图象恒过定点________．
解析：∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝loga1＋2＝2，
∴原函数的图象恒过定点(3，2).
(3，2)
02
重点串讲 能力提升
对数式的运算
0
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算法则化简合并．
2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
3．ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
3
对数函数的图象及应用
例2 (1)(2024·北京市东城区质检)函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
[解析] (1)当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B，D中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B，D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中过点(1，0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，只有选项A中的图象符合要求．
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
4
对数函数的性质及应用
角度1 比较大小
比较对数值大小的方法
若底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同 常借助“1”“0”等中间量进行比较
[解析] 当x≥0时，f(x)＝2x2≥0，4f(x)＝8x2＝f(2x)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
当x＜0时，f(x)＝－2x2＜0，4f(x)＝－8x2＝f(2x)，且f(x)在(－∞，0)上单调递增．
所以f(x)在R上有4f(x)＝f(2x)，且函数f(x)是R上的增函数，
于是原不等式可化为(log2x)2－3＜2log2x，
即(log2x)2－2log2x－3＜0，
解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
logax＞logab 借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
logax＞b 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
已知函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________．
解析：由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，
所以函数f(x)的定义域为{x|x＞4，或x＜－2}．
又函数μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，而函数y＝lg μ在定义域上单调递增，
所以函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4.
4
指数与对数运算的实际应用
例6 (1)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：h)与储藏的温度t(单位：℃)满足的函数关系为T＝ekt＋b(k，b为常数，其中e＝2.718 28…)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h，在10 ℃时的有效保存时间是120 h，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为
( )
A．15 h B．30 h
C．40 h D．60 h
解决指数、对数运算实际应用问题的步骤
(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系．
(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求．
1.法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“2p－1(p为素数)”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，可以估计，267－1这个“梅森素数”的位数为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．19 B．20
C．21 D．22
解析：依题意，lg (267－1)≈lg 267＝67lg 2≈67×0.301＝20.167，∴267－1≈1020.167.∴267－1这个“梅森素数”的位数为21位．
2．果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度( )
A．25天 B．30天
C．35天 D．40天(共45张PPT)
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第2讲 单调性与最大(小)值
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课时跟踪练
课程标准 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
01
教材再现 四基诊断
1．函数的单调性
(1)函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间．
单调递增
单调递减
区间I
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 x∈D，都有___________； x0∈D，使得___________ x∈D，都有_________；
x0∈D，使得____________
结论 M为最大值 M为最小值
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
×
×
×
√
解析：(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以．
(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞，＋∞).
(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，应是单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
[2，＋∞)
2
4．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是__________．
[－1，1)
02
重点串讲 能力提升
确定函数的单调性(区间)
[0，1)
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
3．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．
(－∞，－6]
求函数的最值
8
1
当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
1.求函数最值的三种基本方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
2．对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
0
函数单调性的应用
比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
角度2 解函数不等式
例5 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是_______________________．
求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(0，1)
利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
(－∞，1]∪[4，＋∞)(共45张PPT)
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第7讲 函数的图象
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课程标准 1.会画简单的函数图象． 2.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
01
教材再现 四基诊断
1．利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质
(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
－f(x)
f(－x)
－f(－x)
logax
|f(x)|
f(|x|)
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2．图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换．
3．图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．( )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( )
×
×
×
√
解析：(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误．
(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误．
(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误．
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：法一：出发时距学校最远，先排除A；中途堵塞停留，距离不变，再排除D；堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.
法二：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加快速度行驶，比前段下降得快．
3．函数y＝－cos x ln |x|的图象可能是( )
解析：函数y＝－cos x ln |x|的定义域为{x|x≠0}．
又－cos (－x)ln |－x|＝－cos x ln |x|，
所以函数y＝－cos x ln |x|是偶函数．
因为偶函数的图象关于y轴对称，排除A，C；
又x＝π时，y＝－cos πln π＞0，排除B.
4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________．
解析：由题意得f(x)＝e－x，
∴g(x)＝e－(x-1)＝e－x+1.
e－x+1
02
重点串讲 能力提升
作函数的图象
1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
2．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
函数图象的识别
1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
2．抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
角度2 借助动点探究函数图象
例3 如图，在不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，
AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动
(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设
AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是( )
[解析] 当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．
根据实际背景、图形判断函数图象的两种方法
(1)定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象．
(2)定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同的特殊的位置时图象的变化特征，从而利用排除法做出选择．
注意 求解的过程中注意实际问题中的定义域问题．
向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h
的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
函数图象的应用
角度1 研究函数的性质
例4 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
(2，2 024)
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
2．利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题．
1.若关于x的不等式aex＋bx＋c＜0的解集是(－1，1)，则下列结论正确的是( )
A．b＞0 B．a＋c＞0
C．a＋b＋c＞0 D．8a＋2b＋c＞0
2．已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为____________________．
(－2，－1)∪(1，2)(共54张PPT)
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第3讲 奇偶性、对称性与周期性
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．
01
教材再现 四基诊断
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且___________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_____对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_____对称
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的______正周期．
最小
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
×
×
√
√
解析：(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误．
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误．
3．设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________________．
(－2，0)∪(2，5]
解析：由图象可知，
当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.
又f(x)是奇函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.
综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
4．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝________．
解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，
故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
－7
02
重点串讲 能力提升
函数的奇偶性
判断函数的奇偶性的两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
已知函数f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，1)上单调递增
B．是奇函数，且在(0，1)上单调递减
C．是偶函数，且在(0，1)上单调递增
D．是偶函数，且在(0，1)上单调递减
由对数运算性质知f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)＝ln [(2＋2x)(3－3x)]＝ln [6(1－x2)]＝ln 6＋ln (1－x2)(－1＜x＜1)，
设u＝1－x2，y＝ln u，则u＝1－x2在(0，1)上单调递减，函数y＝ln u单调递增，由复合函数的单调性可知函数f(x)在(0，1)上单调递减．
x－1
ln 2
g(2＋x)＝g(2－x) g(－x)＝g(x＋4)③，
由②③知g(x＋4)＝－g(x＋3)，即g(x＋1)＝－g(x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x).
从而g＝g＝g＝0，B正确；
同法一可判断A，D错误．
1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
2．画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
函数的周期性及应用
[解析] (1)令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，故f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋2)＝－f(x－1)，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6.
令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)，故f(0)＝2，
同理，令x＝1，y＝1，得f(2)＝－1；
令x＝2，y＝1，得f(3)＝－2；
令x＝3，y＝1，得f(4)＝－1；令x＝4，y＝1，得f(5)＝1；
令x＝5，y＝1，得f(6)＝2.
对于④，分别令x＝1，2，得f(1)＋f(3)＝－2，f(2)＋f(4)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－4.
对于①，令x＝－1，得g(1)－f(－3)＝7，则g(1)－f(1)＝7⑤，
对于②，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝5⑥，
由⑤⑥，得f(1)＝－1.
对于②，令x＝0，得f(0)＋g(2)＝5，
又g(2)＝4，所以f(0)＝1.
1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期．
2．利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________．
340
解析：因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，
于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，
f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，
f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
而2 024＝6×337＋2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340.
函数的对称性
例4 (1)(多选)(2024·河北承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．f(x)的图象关于点(2，0)对称
C．f(x)的周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
12
[解析] (1)∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4).又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
1.求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．
2．解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．(共58张PPT)
高考总复习 数学 人教版
第2章 函数
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
第1讲 函数的概念及其表示
课程标准 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
01
教材再现 四基诊断
1．函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的__________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_______确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ____的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
x
2.函数的三要素
(1)函数的三要素：__________________________．
(2)如果两个函数的_______相同，并且_________完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有_________、图象法和列表法．
定义域、对应关系、值域
定义域
对应关系
解析法
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______．
并集
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．
( )
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．
( )
×
×
×
×
解析：(1)错误．函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．
(2)错误．值域可以为B的子集．
(3)错误．集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应．
(4)错误．只有两个函数的定义域、对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
2．如图，可以表示函数f(x)的图象的是( )
解析：根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求．
2
x2－1(x≥0)
02
重点串讲 能力提升
函数的概念
例1 (1)(2024·山东潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R，都有
( )
A．f(|x|)＝x3 B．f(sin x)＝x2
C．f(x2＋2x)＝|x| D．f(|x|)＝x2＋1
[解析] (1)对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误．
对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0；令x＝π，则f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误．
对于C，令x＝0，则f(0)＝0；令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2(－2))＝2，不符合函数定义，C错误．
对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R，都有f(|x|)＝x2＋1，D正确．
(2)同一个函数满足：①定义域相同，②对应关系相同，只有A，C满足．
1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
2．构成函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
③
求函数的定义域
角度1 给定解析式的函数的定义域
求给定解析式的函数定义域的方法
(1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解．
(2)若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
(3)对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．
[1，＋∞)
角度2 抽象函数的定义域
求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
求函数的解析式
[解] (1)(换元法)：设1－sinx＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t.
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
(4)(方程组法)：∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，
得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
2．写出一个满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy的函数解析式为____________________．
解析：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy中，令x＝y＝0，解得f(0)＝0，令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－2x2，故f(x)＋f(－x)＝2x2，不妨设f(x)＝x2，满足要求．
f(x)＝x2(答案不唯一)
分段函数
根据分段函数的解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
1
f(x)＝－ax＋1在(－∞，a)上单调递减，所以f(x)＞1－a2.f(x)＝(x－2)2在[a，＋∞)上的最小值大于或等于0，而1－a2＜0，所以函数f(x)在R上不存在最小值．综上，a的取值范围为[0，1]，a的最大值为1.
已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．