(共15张PPT)
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规范解答 函数与导数综合问题
分值分布
基础分 发展分 终极分
≤4分 [5，8]分 ≥8分
约30% 约30% 约40%
满分指导
(1)得步骤分：对于解题过程中是得分点的，有则给分，无则没分，对于得分点步骤一定要写全．
第(1)问中，首先将a＝1代入到函数解析式中，然后对函数f(x)求导，进而分析函数的单调性，有则给分，无则不得分．
第(2)问中，构造新的函数h(x)，对函数h(x)求导，求导后，再构造函数g(x)，对函数g(x)求导，进而分析论证得出函数h(x)的单调性，有则给分，无则不得分．
(2)得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，解题时一定要写清得分的关键点．
第(2)问中的关键是通过反复构造函数，然后求导，进而确定函数h(x)的单调性，利用恒成立问题的解题思路求解，过程比较烦琐，但是每个关键的求解过程必须全面，否则扣掉相应分数．
明确思维·答题知策略
解题思维 技巧策略
函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，这些都是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理．(共47张PPT)
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第3章 一元函数的导数及其应用
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
第1讲 导数的概念及其意义
课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 2.体会极限思想． 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义．
01
教材再现 四基诊断
常数k
f′(x0)
拓展：导数定义的理解
(1)函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在．
(2)在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.当Δx>0(或Δx<0)时，Δx→0表示x0＋Δx从右边(或从左边)趋近于x0.
(3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
函数的平均变化率
(2)导数的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为_________________ _________________________．
(3)曲线的切线方程
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是____________________．
曲线y＝f(x)在点
(x0，f(x0))处的切线的斜率
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)函数y＝f(x)在某点处的导数是一个变量．( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的物理量．
( )
(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．( )
(4)若函数y＝f(x)在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立．
( )
×
×
×
×
2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
解析：结合导数的几何意义可知，该函数的图象是平行或重合于x轴的直线，故选D.
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝________．
解析：由导数的几何意义可知f′(1)＝2.
2
4．质点M的运动规律为S＝4t2，则质点M在t＝1时的瞬时速度为________．
8
02
重点串讲 能力提升
平均变化率与瞬时变化率
例1 (1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
3
导数的几何意义
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为
____________，____________________．
1.求曲线在某点(注意：该点必为切点)处切线的方法：(1)求导函数；(2)把该点横坐标代入，求出该点处导数值，即为切线的斜率；(3)用点斜式写出切线方程．
2．求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等，切点在切线上，切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键．
1.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________.
解析：y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，
∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
y＝3x
2．已知函数f(x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
x－y－1＝0
角度2 求参数的值(范围)
例3 已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则下列结论正确的是( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e-1，b＝1 D．a＝e-1，b＝－1
解决曲线切线问题的关键
利用导数的几何意义求曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求切点坐标及参数值等问题时，关键是设出切点坐标，然后通过导数就是斜率、点在曲线上、点在切线上等建立方程(组)进行求解．
若曲线y＝f(x)＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则 p＝________．
3
与公切线有关的问题
角度1 共切点的公切线问题
例4 已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则
实数a的值为________．
角度2 不同切点的公切线问题
例5 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．
8
1
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
2．公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题．
1.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________．
1－ln 2
2．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x1＝－1，求a；
(2)求a的取值范围．(共26张PPT)
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第2讲 导数的运算
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
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01
教材再现 四基诊断
1．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝______
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝_______
0
αxα-1
cos x
－sin x
ax ln a
ex
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf′(x)
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
yu′·ux′
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．( )
(2)若f(x)＝2x，则f′(x)＝2x ln 2.( )
解析：(1)f(x)＝sin (－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，错误．
(2)2x ln 2，故错误．
×
√
02
重点串讲 能力提升
基本初等函数的导数
对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0).若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )
A.4 B．－4
C.5 D．－5
解析：∵f′(x)＝αxα-1，∴f′(－1)＝α(－1)α-1＝－4，∴α＝4.
导数的四则运算法则
求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
简单复合函数的导数
例3 求函数y＝sinnx cos nx的导数．
[解] y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′
＝n sinn-1x·(sinx)′·cos nx＋sinnx·(－sinnx)·(nx)′
＝n sinn-1x·cosx·cos nx－sinnx·sinnx·n
＝n sinn-1x(cosx cos nx－sin x sin nx)
＝n sinn-1x cos[(n＋1)x].
复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0).又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.
因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，a＝2.
2(共23张PPT)
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第6讲 利用导数研究不等式恒(能)成立问题
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课程标准 恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．
01
重点串讲 能力提升
分离参数法解决不等式恒(能)成立问题
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－ex，
则f′(x)＝1－ex，
当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值．
最值转化法求参数的取值范围
则g′(x)在(0，x0)上恒小于0，故g(x)在(0，x0)上单调递减，
∴当x∈(0，x0)时，g(x)＜g(0)＝0，不合题意，舍去．
综上，实数a的取值范围为(－∞，3].
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数的单调性求解．
已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)，
①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.
②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a．
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．(共46张PPT)
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第5讲 构造函数证明不等式
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课程标准 导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等．
01
重点串讲 能力提升
等价转化构造函数证明不等式
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
已知函数f(x)＝2ln (x＋1).
(1)若函数f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于直线y＝2x－2，求切点P的坐标及此切线方程；
(2)求证：当x∈[0，e－1]时，f(x)≥x2－2x.(其中e＝2.718 28……)
令h(x)＝x＋(1－x)ln (1－x)，
则h′(x)＝1－ln (1－x)－1＝－ln (1－x)，
∴当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈(－∞，0)∪(0，1)时，h(x)>h(0)＝0，
∴x＋(1－x)ln (1－x)>0在(－∞，0)∪(0，1)上恒成立．
∴g(x)<1.
在论证较为复杂的不等式时，可考虑数学证明中的分析法，将问题转化，构造函数，通过求函数最值达到解决问题的目的．
已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，其中e为自然对数的底数．
(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若x＞0，证明：(ex－1)ln (x＋1)＞x2.
角度3 双函数构造
例3 (2024·河南开封模拟)设函数f(x)＝(x2－2x)ex，g(x)＝e2ln x－aex.
(1)若函数g(x)在(e，＋∞)上存在最大值，求实数a的取值范围；
(2)当a＝2时，求证：f(x)＞g(x).
当0＜x＜e时，h′(x)＞0，当x＞e时，h′(x)＜0，
所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
故h(x)≤h(e)＝e，且当x＝e时，等号成立；
综上可得，当x＞0时，φ(x)≥h(x)，且等号不同时成立，
所以x＞0时，φ(x)＞h(x)，
即当a＝2时，f(x)＞g(x)得证．
1.若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．含ln x与ex的混合式不能直接构造函数，要将指数与对数分离，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
2．等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商形式，便于求导后找到极值点．
适当放缩法证明不等式
令t＝ln x＋x＋1，故只需证：et≥t＋1.
设h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，
当x>0时，h′(x)>0，当x<0时，h′(x)<0，
故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，
即h(x)min＝h(0)＝0，所以h(x)≥0，从而有ex≥x＋1.
故et≥t＋1，即f(x)≥g(x).(共60张PPT)
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第3讲 导数与函数的单调性
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课程标准 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性． 2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
01
教材再现 四基诊断
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上___________
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上___________
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是____________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的_________；
第2步，求出导函数f′(x)的______；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
定义域
零点
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( )
(2)在(a，b)内，f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增．
( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( )
×
√
×
√
2．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)＞f(c)＞f(d) B．f(b)＞f(a)＞f(e)
C．f(c)＞f(b)＞f(a) D．f(c)＞f(d)＞f(e)
解析：由题意得，
当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增．
因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).
当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(c，e)上单调递减．
因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).
3．函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是______________________．
(0，2]
∵函数在x∈[2，＋∞)上恒成立，
即a2≤x2恒成立．
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4.
又a＞0，∴0＜a≤2.
02
重点串讲 能力提升
不含参函数的单调性
例1 (2022·北京卷节选) 已知函数f(x)＝ex ln (1＋x).设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在[0，＋∞)上的单调性．
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，1)
含参函数的单调性
含参数单调性问题的讨论
(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否为一个连续的区间)；
(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无须单独讨论的部分)；
(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)，然后再求有效根；
(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
(5)导数图象定区间．
(2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性．
函数单调性的应用
角度1 利用导数研究函数的图象
例3 (1)函数f(x)＝ln x2－x的图象大致为( )
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，
则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
(2)由导函数的图象可得当x＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
只有C选项的图象符合．
原函数的单调性与导函数的函数值符号的关系
原函数f(x)单调递增 导函数f′(x)≥0(导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足f′(x)＞0)；原函数单调递减 导函数f′(x)≤0(导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足f′(x)＜0).
令k(x)＝(1＋x)(1－x)ex－1，所以k′(x)＝(1－x2－2x)ex＞0,
所以k(x)在(0，0.1]上单调递增，可得k(x)＞k(0)＞0，即g′(x)＞0,
所以g(x)在(0，0.1]上单调递增，可得g(0.1)＞g(0)＝0，即a－c＞0，所以a＞c.
故c＜a＜b.
利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小．
角度3 解不等式
例5 已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＞1的解集为
_____________．
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的单调性，从而解不等式．
已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，不等式xf′(x)＋f(x)＜0恒成立，且f(1)＝3，则不等式f(e－x)＜3ex的解集为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－1)
C．(ln 3，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，所以g(x)在R上单调递减．由f(e－x)＜3ex，得e－xf(e－x)＜1×f(1)，即g(e－x)＜g(1)，所以e－x＞1，解得x＜0.
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，
则g′(x)＞0在[1，2]上有解，
即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，
∴a＞(－2x2－x)min.
又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10，
∴实数a的取值范围是(－10，＋∞).
根据函数单调性求参数的方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
1.(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝______；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是____________．
解析：若函数f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)，(a＋1)(ex＋e－x)＝0对任意的x恒成立．
若函数f(x)＝ex＋ae－x是R上的增函数，则f′(x)＝ex－ae－x≥0恒成立，a≤e2x，a≤0.
即实数a的取值范围是(－∞，0].
－1
(－∞，0]
(－10，－3)(共33张PPT)
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第7讲 利用导数研究函数的零点问题
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重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 研究函数零点的个数或范围、三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题．
01
重点串讲 能力提升
数形结合法研究函数零点
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数．若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
(2024·河南郑州质检)已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的零点个数．
解：(1)f(x)＝ex－ax＋2a，定义域为R，且f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝ln a，
当x
ln a时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
利用函数性质研究函数零点
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋axe－x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
①若a＝0，显然不满足．
②若a＞0，则当x∈(－1，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，此时g(x)和h(x)在(－1，0)上无交点．
③若a＜0，则当x∈(－1，1)时，h′(x)＞0，h(x)在(－1，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)在(1，＋∞)上单调递减．
(ⅰ)当x→＋∞时，h(x)→0，g(x)→＋∞，且g(0)＝h(0)＝0，要满足g(x)和h(x)的图象在(0，＋∞)上有一个交点，需g′(0)＜h′(0)，解得a＜－1；
(ⅱ)当x＝－1时，h(－1)＝ae，当x→－1时，g(x)→－∞，且g(0)＝h(0)＝0，要满足g(x)和h(x)的图象在(－1，0)上有一个交点，也需要g′(0)＜h′(0)，解得a＜－1.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－1).
构造函数法研究函数零点
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝x ln x－ax2(a∈R).若f(x)在定义域内有2个零点，求a的取值范围．(共48张PPT)
高考总复习 数学 人教版
第4讲 导数与函数的极值与最值
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．
01
教材再现 四基诊断
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
f′(x)＜0
f′(x)＞0
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧_________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为_______，极小值和极大值统称为_____．
f′(x)＞0
f′(x)＜0
极值点
极值
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的______；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值___________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
极值
f(a)，f(b)
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．
2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点．( )
(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值．( )
(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( )
(4)函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值．( )
×
√
×
√
解析：(1)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
(3)反例：f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.
2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知在x＝－1处，f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号左负右正．
－10
4．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是
__________________________．
02
重点串讲 能力提升
利用导数研究函数的极值
角度1 求函数的极值(极值点)
例1 (多选)(2024·重庆市检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( )
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的极小值点
C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D．－2是函数y＝f(x)的极大值点
[解析] 根据导函数的图象可知，
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，
所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，
可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以A正确．
因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，
可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误．
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数在定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．
若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e-3
C．5e-3 D．1
角度2 已知函数的极值点求参数
例3 (2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且
a≠1)的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是________．
[解析] ∵f(x)＝2ax－ex2，∴f′(x)＝2ax ln a－2ex.
根据题意，得x1，x2是f′(x)＝0的两个不相等的实根．
由f′(x)＝0得ax ln a＝ex.
由题意得函数y＝ax ln a与y＝ex的图象有两个不同的交点．
当a＞1时，画出函数y＝ax ln a与y＝ex的图象，如图①所示，
当x∈(－∞，x1)时，f′(x)＝2ax ln a－2ex＞0，
f(x)在(－∞，x1)上单调递增；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)＝2ax ln a－2ex＜0，f(x)在(x1，x2)上单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＝2ax ln a－2ex＞0，
f(x)在(x2，＋∞)上单调递增．
∴x＝x1和x＝x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，这与已知矛盾．
∴当a＞1时，不满足题意，舍去；
1.已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验．
2．判断极值点的个数，转化为导数的根的个数．
(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A．ab
C．aba2
利用导数研究函数的最值
角度1 不含参函数的最值
例4 f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最小值是( )
A．1 B．－2
C．2 D．－1
[解析] 因为f(x)＝x3－3x2＋2，所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).
令f′(x)＝0，解得x＝0，或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示，
因此，当x＝0时，f(x)有极大值，并且极大值为f(0)＝2.
又由于f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最小值是－2.
x [－1，0) 0 (0，1]
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 2 单调递减
若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
角度2 含参函数的最值
例5 已知函数f(x)＝x ln x－a(x－1)，求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值．
[解] f(x)＝x ln x－a(x－1)，则f′(x)＝ln x＋1－a，
由f′(x)＝0，得x＝ea-1.
所以f(x)在区间(0，ea-1)上单调递减，
在区间(ea-1，＋∞)上单调递增．
①当ea-1≤1，即a≤1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x) 的最小值为f(1)＝0.
②当1＜ea-1＜e，即1＜a＜2时，f(x)在[1，ea-1]上单调递减，
在[ea-1，e]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(ea-1)＝a－ea-1.
③当ea-1≥e，即a≥2时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)的最小值为f(e)＝a＋e－ae.
综上，当a≤1时，f(x)的最小值为0；
当1＜a＜2时， f(x)的最小值为a－ea-1；
当a≥2时，f(x)的最小值为a＋e－ae.
1.若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，然后借助图象观察得到函数的最值．
利用导数研究生活中的最优化问题
例6 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解决实际生活中的最值问题时，一般是设出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后借助导数求出函数的最大值或最小值，从而得到问题的解，特别要注意函数中自变量的实际意义对问题结果的影响．
做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，求锅炉的高与底面直径的比值．