(共47张PPT)
高考总复习 数学 人教版
第5章 平面向量与复数
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
第1讲 平面向量的概念及线性运算
课程标准 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
01
教材再现 四基诊断
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有_____的量叫做向量，向量的大小称为向量的____________．
(2)零向量：长度为___的向量，记作___．
(3)单位向量：长度等于______________的向量．
(4)平行向量：方向相同或______的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量______．
(5)相等向量：长度相等且方向______的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向______的向量．
方向
长度(或模)
0
0
1个单位长度
相反
平行
相同
相反
2．向量的线性运算
b＋a
a＋(b＋c)
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________．
b＝λa
×
×
√
解析：向量有两个要素：大小和方向，所以不能比较大小；共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上．故(1)(2)均不正确．
解析：根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误．
4．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝
________．
02
重点串讲 能力提升
平面向量的基本概念
2．下列说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b
解析：依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b反向共线，|a＋b|＜|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知|a＋b|＜|a|＋|b|.
综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误．
平面向量的线性运算
2 023
0
向量加法：“首尾相接，顺序不变”；减法：“共起点，顺序颠倒”；数形结合找规律．
已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加、减法相互转化．
2．在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示．
与向量线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
共线向量定理及其应用(共38张PPT)
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第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
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课程标准 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
01
教材再现 四基诊断
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，___________一对实数λ1，λ2，使a＝_____________．
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个________．
不共线
有且只有
λ1e1＋λ2e2
基底
互相垂直
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
终点
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
×
√
×
√
2．设e1，e2是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．e1＋2e2和e2＋2e1
C．3e1－2e2和4e2－6e1 D．e2和e2＋e1
解析：依题意，e1，e2不共线，A选项，不存在λ∈R使e1＋e2＝λ(e1－e2)，所以e1＋e2和e1－e2可以组成基底．B选项，不存在λ∈R使e1＋2e2＝λ(e2＋2e1)，所以e1＋2e2和e2＋2e1可以组成基底．
C选项，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，所以3e1－2e2和4e2－6e1不能构成基底．
D选项，不存在λ∈R使e2＝λ(e2＋e1)，所以e2和e2＋e1可以组成基底．
3．若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
02
重点串讲 能力提升
平面向量的基本定理及其应用
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
平面向量的坐标运算
6
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
(4，7)
平面向量共线的坐标表示的应用
角度1 利用向量共线求向量或点的坐标
例3 (1)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(2)已知向量a＝(1，3)，b＝(4，－1).若向量m∥a，且m与b的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为________________________．
(3，3)
(－1，－3)(答案不唯一)
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
2．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2).若ka＋b与a－2b平行，则实数k＝
________．(共52张PPT)
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第4讲 复数
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课程标准 1.通过方程的解，认识复数． 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
01
教材再现 四基诊断
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中___是复数z的实部，____是复数z的虚部，i为虚数单位．
a
b
(2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)
满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数 __________
a＋bi为虚数 ___________
a＋bi为纯虚数 _____________________
b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
a＝c且b＝d
a＝c，b＝－d
|a＋bi|
|z|
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
4．i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N).
i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N).
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )
×
×
×
√
解析：复数的虚部是虚数单位的系数，复数不能比较大小，当a＝0且b≠0时，复数z为纯虚数，故(1)(2)(3)不正确．
2．已知复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为__________．
－3
4．已知复数z满足(3＋4i)·z＝5(1－i)，则z的虚部是________．
02
重点串讲 能力提升
复数的有关概念
(2)(2022·浙江卷)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
2．(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：∵(a－1)＋(a－2)i为实数，∴a－2＝0，∴a＝2.
复数的四则运算
1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算．
2．复数的除法关键是分子、分母同乘分母的共轭复数．
设出具体复数，依然根据复数的四则运算进行证明或化简求值．
复数的几何意义
3．设复数z满足|z－1|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
解析：z在复平面内对应的点为(x，y)，则复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z－1|＝|(x－1)＋yi|＝2，由复数的模长公式可得(x－1)2＋y2＝4.
[解析] 设复数z在复平面内对应的点为Z，
因为复数z满足|z＋i|＝|z－i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0，－1)和(0，1)的距离相等，
所以在复平面内点Z的轨迹为x轴．
又|z＋1＋2i|表示点Z到点(－1，－2)的距离，
所以问题转化为x轴上的动点Z到定点(－1，－2)距离的最小值，所以|z＋1＋2i|的最小值为2.
根据题意列问题式，数形结合利用几何意义或通过求最值的方法(导数、基本不等式、函数单调性等)进行计算．(共56张PPT)
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第3讲 平面向量的数量积
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义． 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系． 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算． 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．
01
教材再现 四基诊断
∠AOB
|a||b|cos θ
a·b
(2)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a上的投影向量的数量|b|cos θ的乘积．当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝_____．
(2)(λa)·b＝________＝_________．
(3)(a＋b)·c＝___________．
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
×
×
√
×
解析：(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos 〈a，b〉＝|a||c|·cos 〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等．
2．已知向量a，b满足|a＋b|＝7，且|a|＝3，|b|＝4，则|a－b|＝( )
A．5 B．3
C．2 D．1
解析：|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝49 2a·b＝49－9－16＝24，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋16－24＝1，所以|a－b|＝1.
3．若向量a＝(1，2)，b＝(－3，4)，则a·b的值等于________；a与b夹角
的余弦值等于________．
5
11
02
重点串讲 能力提升
平面向量数量积的运算
平面向量数量积的两种运算方法
(1)定义法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题．
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解．
平面向量数量积的性质及应用
角度1 平面向量的模
例2 (2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
4
已知非零向量a，b，c满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝－1，a·b＝1，c＝－2b，则向量a与c的夹角为( )
A．45° B．60°
C．135° D．150°
角度3 平面向量的垂直问题
例4 (1)(2018·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________．
(2)若向量a＝(2，x)，b＝(－2，1)不共线，且(a＋b)⊥(a－b)，则a·b＝________．
－1
－3
[解析] (1)因为a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m，0)－(－1，m)＝(m＋1，－m).由a⊥(ma－b)，得a·(ma－b)＝0，所以a·(ma－b)＝m＋1＝0，即m＝－1.
(2)因为向量a＝(2，x)，b＝(－2，1)，所以a＋b＝(0，x＋1)，a－b＝(4，x－1).因为(a＋b)⊥(a－b)，所以0＋(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝1或x＝－1.又向量a＝(2，x)，b＝(－2，1)不共线，所以2×1－x×(－2)≠0，所以x≠－1，所以x＝1，即a＝(2，1)，所以a·b＝2×(－2)＋1×1＝－3.
平面向量数量积的综合应用
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用．
用向量方法解决实际问题的步骤
一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________km/h.
