(共53张PPT)
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第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
01
教材再现 四基诊断
2．三角函数的诱导公式
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
tan α
－tan α
×
×
×
×
sin α
02
重点串讲 能力提升
同角三角函数的基本关系及其应用
0
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
利用“弦切互化”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cosα的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解．
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tanα的式子，代入tan α的值即可求解．
1.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
诱导公式及其应用
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用
1.利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件与结论之间的联系，灵活运用公式进行变形．
2．注意角的范围对三角函数符号的影响．(共15张PPT)
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规范解答 三角综合问题
分值分布
基础分 发展分 终极分
≤6分 [7，9]分 ≥10分
约50% 约25% 约25%
明确思维·答题知策略
解题思维
技巧策略
突破此类问题的关键在于“变”——变角、变名与变式．
1.变角：已知角与特殊角的变换；已知角与目标角的变换；已知角与其倍角的变换；两角与其和、差角的变换以及三角形内角和定理的变换应用．
2.变名：同角关系式切化弦；利用诱导公式进行正、余弦的转化．
3.变式：(1)涉及sin x±cos x，sin x·cos x问题时，常令t＝sin x±cos x，转化为关于t的函数处理；
(2)在解决三角形问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边．
二
两角间的和
差倍半变换
三角形内角和定
统一角
变角
理的变换应用
三角函数解答题
换元
统一名
变
变名
三角函数公式
变式
统一形
三角形中正、
余弦定理(共67张PPT)
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第6讲 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
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课程标准 1.了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．
01
教材再现 四基诊断
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
×
×
√
√
1
02
重点串讲 能力提升
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
由图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
1
函数y＝A sin (ωx＋φ)的综合应用
解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
首先正确地将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性).
(－2，－1)
巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题
解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决．
角度3 三角函数模型的应用
例5 (多选)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，则下列结论正确的是( )
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
(1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型．
(2)寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答．
解题思路如下：(共42张PPT)
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第4章 三角函数与解三角形
索引
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第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
课程标准 1.了解任意角的概念和弧度制的概念． 2.能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
01
教材再现 四基诊断
端点
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为______．
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
－α
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
半径长
|α|r
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．( )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
×
×
√
√
3．已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________．
4．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
12π
02
重点串讲 能力提升
象限角及终边相同的角
－675°和－315°
(2)所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，
当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.
扇形的弧长和面积公式
例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
三角函数的定义及其应用
已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
已知角α的某个三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
sin 2cos 3tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在(共40张PPT)
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第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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课程标准 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.会用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
01
教材再现 四基诊断
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
√
√
×
√
02
重点串讲 能力提升
三角函数公式的基本应用
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
三角函数公式的逆用和变形应用
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能拓展思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
2．满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一
个这样的数组_______________________．
三角函数公式的综合应用
2．若tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan (α＋β)＝________，tan α＝
________．
－1(共59张PPT)
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第5讲 三角函数的图象与性质
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01
教材再现 四基诊断
(π，0)
(π，－1)
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
[－1，1]
[－1，1]
2π
π
奇函数
偶函数
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ，0)
x＝kπ
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．( )
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(4)y＝sin |x|是偶函数．( )
×
×
×
√
2．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
02
重点串讲 能力提升
三角函数的定义域和值域(最值)
－4
三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域．
三角函数的单调性
k∈Z
已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式．(共58张PPT)
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第8讲 余弦定理、正弦定理的综合应用
索引
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课程标准 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
01
教材再现 四基诊断
测量中的几个有关术语
√
×
×
×
3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为________海里．
02
重点串讲 能力提升
三角形面积计算
三角形中的最值与范围问题
解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围).
解三角形的应用举例
解决距离问题的两个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一个确定的三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可以用，就选便于计算的定理，选定合适的三角形．
15
解决高度问题的关注点
(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．
(2)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
(2024·河南濮阳模拟)如图所示，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量，在C点测得B点的仰角为30°，B与C的海拔高度相差180 m；在B点测得A点的仰角为45°.设A，B，C在同一水平面上的射影分别为A′，B′，C′，且∠A′C′B′＝∠A′B′C′＝30°，则A与C两点的海拔高度差为________m．
360
作BE⊥AA′，CF⊥AA′，则∠ABE＝45°，所以AE＝BE＝A′B′＝180 m．
所以A与C两点的海拔高度差AF＝BD＋AE＝360(m).
角度3 角度问题
例5 图1是南北方向水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由
“圭”和“表”两个部件组成)的示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26′)，在某地利用一表高为2 dm的圭表按图1方式放置后，测得
日影长为2.98 dm，则该地的纬度约为北纬
(参考数据：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)
( )
A.23°26′ B．32°34′
C.34° D．56°
解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正弦、余弦定理综合使用的优点．
因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，即此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向上．(共51张PPT)
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第7讲 余弦定理和正弦定理
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课程标准 掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些简单的三角形度量问题．
01
教材再现 四基诊断
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
b2＋c2－2bc cos A
c2＋a2－2ca cos B
a2＋b2－2ab cos C
2R sin B
2R sin C
sin A∶sin B∶sin C
2.三角形解的判断
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．( )
×
√
×
×
解析：(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比．
(3)已知三角时，不可求三边．
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形．
45°或135°
02
重点串讲 能力提升
利用正弦、余弦定理解三角形
(3)(2024·广东广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos B cos C·(tan B＋tan C)＝cos B tan B＋cos C tan C，则
cos A的最小值是________．
1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有( )
A．一个 B．两个
C．一个或两个 D．0个
判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
[解析] (1)因为c－a cosB＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin A cos B
＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B
＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．
正弦、余弦定理在平面几何中的应用
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
(3)如图所示，当sin A＋sin C取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．(共54张PPT)
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第4讲 三角恒等变换
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.会用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2.能运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
01
教材再现 四基诊断
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
√
√
√
√
解析：(1)(2)(3)利用公式验证可得，(4)由公式推导过程易得．
02
重点串讲 能力提升
二倍角公式的简单应用
三角函数式的化简
化简和求值问题的解题策略
(1)着手点：从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．
(2)化简方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
三角函数式的求值问题
三角函数给角求值的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角恒等变换转化为求特殊角的三角函数值问题．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负相消、分子分母相约等)的方式求值．
1.给值求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
2．给值求值问题的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
三角恒等变换的应用
