(共27张PPT)
高考总复习 数学 人教版
第5讲 数列的综合问题
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等．
01
教材再现 四基诊断
备考本部分内容重点在于熟练掌握等差、等比数列的基本知识与运算，同时有针对性地掌握几种特殊数列求和的方法．值得注意的是，在数列这部分还有可能出现结构不良形式的试题，解决这类新题型需要更加注意思维的灵活性与严谨性．
1.直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入．若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过 年其投入资金开始超过7 000万元( )
（参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845）
A．14 B．13
C．12 D．11
2.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417，不是质数．现设an＝log4(Fn－1)(n＝1，2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和．若32Sn＝63an，则n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
3.无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则称{an}为“和谐递进数列”．若{an}为“和谐递进数列”，Sn为其前n项和，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，则S2 024＝ .
4 721
解析：由题意，得a1＝a4＝1，a2＝2，
所以a5＝a2＝2.
同理a3＝a6，a7＝a4＝1，a8＝a5＝2.
因为a6＋a8＝6，所以a3＝a6＝4，
故数列{an}是以3为周期的数列，
S2 024＝S674×3＋2＝(1＋2＋4)×674＋(1＋2)＝4 721.
02
重点串讲 能力提升
等差数列与等比数列的综合运算
例1 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．
数列与其他知识的交汇问题
1.数列与不等式的综合问题及求解策略
(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．
(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．
(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．
2.数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
解：(1)设{an}的公差为d(d≠0)，
则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.
因为S1，S2，S4成等比数列，
所以a1·(4a1＋6d)＝(2a1＋d)2，
所以2a1d＝d2.
因为d≠0，所以d＝2a1.
又因为S2＝4，所以a1＝1，d＝2，
所以an＝2n－1.(共38张PPT)
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第3讲 等比数列
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3.体会等比数列与指数函数的关系．
01
教材再现 四基诊断
2
同一个常数
公比
G
G2＝ab
a1qn-1
qn－m
ap·aq
4.在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列（n为偶数且q＝－1除外）.
×
×
×
×
解析：(1)在等比数列中，q≠0.
(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列．
(3)当a＝1时，Sn＝na.
(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列．
2.在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于( )
A．－5 B．5
C．－9 D．9
3.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1，1，1，满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1，1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
02
重点串讲 能力提升
等比数列基本量的运算
例1 (1)（2022·全国乙卷）已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D．3
(2)已知数列{an}为等比数列，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则数列
{an}的前n项和Sn＝ ．
设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
等比数列的判定与证明
等比数列的性质及其应用
1.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2.巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
角度2 等比数列前n项和的性质
例4 (1)（2021·全国甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝ ．
2(共54张PPT)
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第6章 数列
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重点串讲 能力提升
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第1讲 数列的概念
课程标准 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
01
教材再现 四基诊断
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照______________排列的一列数
数列的项 数列中的____________
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的__________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
确定的顺序
每一个数
序号n
概念 含义
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an} 的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝__________________
a1＋a2＋…＋an
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数_____ 无穷数列 项数______ 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1___an 其中n∈N*
递减数列 an＋1___an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 有限
无限
>
<
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是______，对应的函数值是_______________，记为an＝f(n).
序号n
数列的第n项an
1.判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”）.
(1)数列1，2，3和3，2，1都表示同一个数列．( )
(2)a，a，a，a，…，不能构成一个数列．( )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.
( )
×
×
×
√
解析：(1)数列1，2，3和数列3，2，1是不同的数列．
(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列．
(3)数列可以是常数列或摆动数列．
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是( )
A．2 B．4
C．5 D．6
02
重点串讲 能力提升
由数列的前几项求通项公式
由数列的前几项求通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见数列）等方法．
(2)入手点：
①分式中分子、分母的特征：可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，化异为同；
②相邻项的变化特征；
③拆项、添项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征：对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k+1，k∈N*处理；
⑤观察通过通分等方法变化后的数列是否有规律．
在数列1，1，2，3，5，8，13，21，x，55，…中，x＝ ．
解析：通过观察数列各项的规律，发现从第3项起，每项都等于它前两项之和，因此x＝13＋21＝34.
34
由an与Sn的关系求通项公式
例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝ ．
(2)已知在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝ ．
2n＋1
－2n-1
[解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.
由于a1＝3也满足上式，∴an＝2n＋1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝－1、公比为q＝2的等比数列，
∴an＝a1·qn-1＝－2n-1.
(2024·平顶山高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋1，则a10＝( )
A．512 B．1 025
C．256 D．1 024
解析：由数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋1，得a10＝S10－S9＝(210＋1)－(29＋1)＝512.
由数列的递推关系求通项公式
角度1 累加法
例3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则{an}的通项公式
为 ．
形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则通项公式an＝ ．
解析：由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2、公比为2的等比数列，则an＋1＝2×2n-1＝2n，故an＝2n－1.
2n－1
数列的函数特征
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期．
角度2 数列的单调性问题
例7 已知数列{an}为递增数列，前n项和Sn＝n2＋n＋λ，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．（－∞，2)
C．(－∞，0] D．（－∞，0)
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋λ－[(n－1)2＋(n－1)＋λ]＝2n，可知当n≥2时，{an}是递增数列，因此要使{an}为递增数列，只需满足a2>a1，即4>2＋λ λ<2.
解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．(共42张PPT)
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第4讲 数列求和
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
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课程标准 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2.掌握特殊的非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
01
教材再现 四基诊断
2.数列求和的常用方法
(1)倒序相加法：如果一个数列{an}中，与首、末两项等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
(2)分组转化法：数列求和应从项的特征入手，通过对项的变形、拆分、重组，将一般数列求和问题转化为特殊数列求和问题．
(3)裂项相消法：先将数列中的每一项分解，拆成两项或多项，这些拆开的项出现有规律的相互抵消，最终达到求和的目的．
其解题的关键：准确裂项和消项．
①裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
②消项规律：消项后，前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
√
√
√
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前n项和为( )
A．－3＋(n＋1)×2n B．3＋(n＋1)×2n
C．1＋(n＋1)×2n D．1＋(n－1)×2n
3.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n+1(4n＋1)，则a11＋a12＋…＋a21＝( )
A．45 B．65
C．69 D．－105
解析：因为an＝(－1)n+1(4n＋1)，
所以an＋an＋1＝(－1)n+1(4n＋1)＋(－1)n+2[4(n＋1)＋1]＝(－1)n+1
(－4)，则a11＋a12＋…＋a21＝(a11＋a12)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝－4×5＋85 ＝65.
02
重点串讲 能力提升
公式法及分组转换法求和
例1 （2020·新高考Ⅱ卷）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n-1anan＋1.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，且a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求T2n.
解：(1)∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5.
设数列{an}的公差为d，由a3－1，a4＋1，a7＋3成等比数列得(6＋d)2＝4(8＋4d)，∴d2－4d＋4＝0，∴d＝2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.
(2)∵bn＝(－1)nan＋1，∴bn＝(－1)n(2n－1)＋1，
∴T2n＝(－1＋1)＋(3＋1)＋(－5＋1)＋(7＋1)＋…＋[－(4n－3)＋1]＋[(4n－1)＋1]＝4n.
裂项相消法求和
裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
错位相减法求和
例5 已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，求Sn.
错位相减法求和的注意点
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.(共15张PPT)
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规范解答 数列综合问题
分值分布
基础分 发展分 终极分
≤3分 [4，8]分 ≥9分
约25% 约45% 约30%
明确思维·答题知策略
解题思维
技巧策略
求解数列问题的基本策略在于“归”——化归与归纳：
(1)对于非等差或等比数列，可从特殊情境出发，归纳出一般性的方法、规律；
(2)将已知数列化归为等差(比)数列，然后借助数列的性质或基本量运算求解．
二
错位相减法
倒序相加法
基本量
裂项相消法
数列解答题
化归
等差（比）数列
分组转化法
基本方法
公式法
求通项
累加法
累积法(共41张PPT)
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第2讲 等差数列
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3.体会等差数列与一元一次函数的关系．
01
教材再现 四基诊断
1.等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从_______起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母d表示，符号表示为an－an－1＝d，n∈N*且n≥2，d为常数．
第2项
同一个
公差
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为______．
m2d
1.判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”）.
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
( )
×
√
×
√
3.在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝( )
A．－6 B．6
C．－10 D．10
解析：∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列．又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.
4.已知等差数列{an}，其前n项的和为Sn，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝20，则S9＝( )
A．24 B．36
C．48 D．64
02
重点串讲 能力提升
等差数列基本量的运算
例1 (2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个（简称“知三求二”）.
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝ ．
解析：∵2S3＝3S2＋6，∴2(3a1＋3d)＝3(2a1＋d)＋6，即6d＝3d＋6，解得d＝2.
2
等差数列的判定与证明
(2)[解] 由(1)知，a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.
等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n，都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n，都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
等差数列的性质及其应用
在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2（2a1·2a2·…·2a10）＝ ．
解析：由等差数列的性质知
a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，
所以log2（2a1·2a2·…·2a10）＝log225×4＝20.
20
(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为( )
A．30 B．29
C．28 D．27
等差数列前n项和的常用的性质
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S10＝10，S20＝60，则S40＝( )
A．110 B．150
C．210 D．280
解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
角度3 等差数列前n项和的最值
例5 （多选）设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则( )
A．d＜0
B．a7＝0
C．S9＞S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
[解析] S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，∴d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，则a8＜0，a9＜0.又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9.由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．
1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：
(1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；
(2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值．
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