(共38张PPT)
高考总复习 数学 人教版
第8章 直线与圆
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
课程标准 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率的计算公式． 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
01
教材再现 四基诊断
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_____．
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是__________________．
向上
0°
{α|0°≤α<180°}
2．直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______．
正切值
tan α
方向向量
3．直线方程的五种形式
y＝kx＋b
y－y0＝k(x－x0)
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
×
×
×
√
解析：(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，
α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan (－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等．
2．设m为实数，过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，则m的值为________．
－2
4．经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
_______________________．
x－4y＝0或x＋y－5＝0
02
重点串讲 能力提升
直线的倾斜角与斜率
1.斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
2．倾斜角和斜率范围求法：(1)图形观察(数形结合)；(2)充分利用函数k＝tan α的单调性．
直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程．
(1)经过点A(－1，－3)，且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
(3)已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，且l过点A(－4，3).
1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
2．对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
(多选)若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
直线方程的综合应用
例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
1.求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式(或二次函数)求解最值．
2．求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
3．求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
1.已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|最小时，则直线l的方程为_______________．
x＋y－3＝0
2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a
＝________．(共31张PPT)
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第4讲 直线与圆的位置关系
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
01
教材再现 四基诊断
<
＝
>
>
＝
<
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(2)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( )
(3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
×
√
√
√
3．过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为________________________．
y＝1或4x－3y－5＝0
02
重点串讲 能力提升
位置关系的判断
例1 (1)已知直线l：x cos α＋y sin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相交，则r的取值范围是( )
A．0＜r≤1 B．0＜r＜1
C．r≥1 D．r＞1
(2)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝2，点A(1，1)，则下列说法正确的是( )
A．点A在圆C上，直线l与圆C相切
B．点A在圆C内，直线l与圆C相离
C．点A在圆C外，直线l与圆C相切
D．点A在圆C上，直线l与圆C相交
切线问题
例2 过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________________________________．
x＝2或4x－3y＋4＝0
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．
(2024·河北衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于________．
4
弦长问题
5
－4
最值(范围)问题
例4 已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________________．
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．(共34张PPT)
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第5讲 圆与圆的位置关系
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
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课程标准 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
01
教材再现 四基诊断
则两圆C1，C2有以下位置关系：
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－r2|< dd＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．
( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )
(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )
×
×
×
×
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
3．圆C1：x2＋y2－4＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
4．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．
02
重点串讲 能力提升
位置关系的判断
例1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0(m∈R)关于直线x＋2y＋1＝0对称，圆C2的标准方程是(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内含
判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．
(2024·河北石家庄模拟)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．外切
公共弦及公共弦长问题
例2 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
±2
公切线问题
例3 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，则两圆的公切线条数是________．
2
破解此题的关键：一是定位置，即能判断两圆的位置关系，一般先把两圆的圆心距求出，再与两圆的半径和、差进行比较，即可判断两圆的位置关系；二是会用几何法，即会利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程；三是“草图不草”，在作圆时，若用尺规作图，就能很快找到解题的通路．
(多选)已知圆O1：x2＋(y－3)2＝25，圆O2：(x－6)2＋(y－11)2＝25，下列直线中，与圆O1，O2都相切的是( )
A．3x＋4y－37＝0 B．3x＋4y＋32＝0
C．4x－3y－16＝0 D．4x－3y＋34＝0
圆系方程
例4 经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面
积最小的圆的方程是_______________________．
过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0).特别地，当λ＝－1(即两圆方程相减)时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．
已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求经过两圆交点，且圆心在直线x＋y－6＝0上的圆的方程．(共34张PPT)
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第3讲 圆的方程
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
01
教材再现 四基诊断
1．圆的定义和圆的方程
定长
D2＋E2－4F＞0
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r M在_____，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|＜r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 M在圆内．
圆外
圆上
圆内
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
√
×
×
√
2．已知圆C经过原点和点A(2，1)，并且圆心在直线l：x－2y－1＝0上，
则圆C的标准方程为________________________．
3．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是________________．
(x－2)2＋y2＝10
4．当m∈________时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，半径最大时圆的一般方程为_______________________．
解析：原方程可化为(x－2)2＋(y＋m)2＝－m2＋2m＋3，
它表示圆时应有－m2＋2m＋3＞0，得－1＜m＜3.
当－m2＋2m＋3最大时，此时m＝1，
故此时圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
(－1，3)
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
02
重点串讲 能力提升
圆的方程
例1 (1)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，则圆E的标准
方程为________________________．
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为________________________．
(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________．
与圆有关的轨迹方程
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：由题意，得圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略).
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，
所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.(共49张PPT)
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第2讲 直线的交点坐标与距离公式
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
01
教材再现 四基诊断
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 _______________ _______________________
_________________
垂直 v1⊥v2 ___________ _________________
相交 v1与v2不共线 __________ _________________
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
交点
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
无解
无数个
相交
平行
(2a－x0，2b－y0)
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．
( )
×
×
√
√
解析：(1)两直线l1，l2有可能重合．
(2)当l1⊥l2时，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在，不满足题意．
2．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为________________．
解析：设所求对称直线的点的坐标(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0.
3x＋4y＋5＝0
3．已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a的值为________．
解析：∵两直线垂直，
∴(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，
可得11a2－11a＝0，解得a＝0或1.
0或1
4．设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的________条件．
充要
02
重点串讲 能力提升
两条直线的平行与垂直
例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
(2024·山东青岛模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为________________．
解析：∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0.
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
即直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
x＋2y＋1＝0
两直线的交点与距离问题
例2 (1)(2024·广东广州调研)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为_______________．
(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________________．
2x－y＝0
4x－y－2＝0或x＝1
1.求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
对称问题
角度1 中心对称
例3 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为______________．
x＋4y－4＝0
[解析] 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求直线l关于点A对称的直线l′的方程．
解：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，N(4，3)，
则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).
∵Q′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
角度2 轴对称
例4 已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
6x－y－6＝0
解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR
经过△ABC的重心，则AP的长度为________．
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
直线系方程的应用
角度1 与平行、垂直有关的直线系
例5 (1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________．
(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________．
2x＋3y＋10＝0
x－2y＝0
[解析] (1)设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知2×1＋3×(－4)＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.
角度2 过两直线交点的直线系
例6 已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解] 设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因为直线l与l3垂直，
所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，
所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0.
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.
(1)求过点P且与直线l平行的直线方程；
(2)求过点P且与直线l垂直的直线方程．
