(共43张PPT)
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第2讲 球及组合体
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.认识球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2.掌握球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 3.能解决简单的与球有关的的切、接问题．
01
教材再现 四基诊断
球的表面积、体积
4πR2
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．( )
(2)用一个平面截一个球，得到的是一个圆．( )
解析：(1)球的体积之比等于半径比的立方，故错误．
(2)用一个平面截一个球，得到的是一个圆面，故错误．
×
×
02
重点串讲 能力提升
球的表面积与体积
例1 (2024·浙江杭州模拟)如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．8∶27 B．2∶3
C．4∶9 D．2∶9
球的外接问题
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．
8π
[解析] 以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P ABC符合要求，如图，长方体PAB′B CA′P′C′与三棱锥P ABC有相同的外接球，其外接球的直径为长方体体对角线PP′.
设外接球的半径为R，
则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，
则所求球的表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.
补形法的解题策略
(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解；
(2)直三棱锥补成三棱柱求解．
与球截面有关的解题策略
(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A．64π B．48π
C．36π D．32π
球的内切问题
“切”的问题处理规律
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．
(2)体积分割是求内切球半径的常用方法．
(2024·江苏南京调研)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P DEF的外接球与内切球的表面积比值为( )
A．6 B．12
C．24 D．30(共44张PPT)
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第6讲 空间向量及其运算
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，探索并得出空间两点间的距离公式． 2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
01
教材再现 四基诊断
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有______和______的量
相等向量 方向______且模______的向量
相反向量 方向______且模______的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相______或______的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
大小
方向
相同
相等
相反
相等
平行
重合
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得_______．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝_________．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝___________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
a＝λb
唯一
xa＋yb
xa＋yb＋zc
[0，π]
互相垂直
|a||b|cos 〈a，b〉
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ___________________
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ______________________________
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ________________________
模 |a| _________________
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝
_________________________
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
√
×
×
√
解析：(2)向量的数量积运算不满足结合律．(3)反例：a是零向量，c是与b垂直的非零向量．
∈
4．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________，以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
120°
60°
02
重点串讲 能力提升
空间向量的线性运算
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合空间图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在空间中向量的三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
共线向量、共面向量定理的应用
例2 如图，已知M，N分别为四面体ABCD的平面BCD与平面ACD的重心，G为线段AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
2．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
求证：E，B，F，D1四点共面．
空间向量数量积的应用
2．如图，已知在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求证：AA1⊥BD.(共60张PPT)
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第7章 立体几何与空间向量
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
第1讲 基本立体图形及简单几何体的表面积和体积
课程标准 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 3.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．
01
教材再现 四基诊断
1．多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
含义 有两个面互相___________，其余各面都是___________； 每相邻两个四边形的公共边都互相______ 有一个面是____ ____，其余各面都是有一个公共顶点的_______的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，_____和_____之间的部分
平行且全等
平行四边形
平行
多边
形
三角形
截面
底面
名称 棱柱 棱锥 棱台
侧棱 ____________ 相交于______但不一定相等 延长线交于______
侧面形状 ____________ _________ _______
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
梯形
2.旋转体的结构特征
垂直
一点
一点
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 全等的_____ 全等的___________ 全等的__________ ______
侧面展开图 _______ _______ ______
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
矩形
扇形
扇环
3.直观图
(1)画法：常用_________________．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面_______．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍___________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_______．
斜二测画法
垂直
分别平行于坐标轴
不变
一半
4．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2πrl
πrl
π(r1＋r2)l
6．柱、锥、台、球的表面积和体积
Sh
4πR2
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)菱形的直观图仍是菱形．( )
(4)锥体的体积等于底面积与高之积．( )
×
×
×
×
解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
3．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
1∶47
02
重点串讲 能力提升
基本立体图形
角度1 结构特征
例1 下面关于空间几何体的叙述正确的是( )
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形
C.直平行六面体是长方体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
[解析] A中，只有当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，A不正确；B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；
C中，直平行六面体的侧棱与底面垂直，所以底面可以是平行四边形，它不是长方体，C不正确；D中，如图，正方体ABCD A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC，四个面都是直角三角形，D正确．
空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
给出下列四个命题，其中正确的是( )
A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
解析：对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错误；
对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错误；
对于C，若底面不是矩形，则C错误；
对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确．
1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如
图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
角度3 展开图
例3 已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
1
多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．
空间几何体的表(侧) 面积
1.多面体的表面积是各个面的面积之和．
2．旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
3．组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
空间几何体的体积
(规则几何体)直接法
对于规则几何体，直接利用公式计算即可．
角度2 利用割补法求体积
例6 (2024·山西大同模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，
上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD
的距离为1丈，则它的体积是( )
A.4立方丈 B．5立方丈
C.6立方丈 D．8立方丈
[解析] 如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
(不规则几何体)割补法
当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．
角度3 等体积法求体积
例7 (2020·新高考Ⅱ卷)在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1 D1MN的体积为________．
1
(三棱锥)等积法
利用三棱锥的“等积性”可以把任意一个面作为三棱锥的底面．
(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；
(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥．
如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，求三棱锥B1 ABC1的体积．(共44张PPT)
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第4讲 空间直线、平面的平行
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课时跟踪练
课程标准 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理． 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
01
教材再现 四基诊断
1．直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理
一条直线
交线
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理
相交直线
平行
相交
交线
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
2．三种平行关系的转化
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
( )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．
( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )
×
×
×
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )
解析：(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误．
(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误．
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误．
√
2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
解析：因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交．
解析：①由线面平行的判定定理知l α；
②由线面平行的判定定理知l α.
l α
02
重点串讲 能力提升
直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：
(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.
[证明] (1)如图，连接BD交AC于O，连接OF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．
又∵F是PD的中点，
∴OF∥PB.
又∵OF 平面ACF，PB 平面ACF，
∴PB∥平面ACF.
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β).
如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE.
证明：法一：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD.
∵AB 平面CDE，CD 平面CDE，∴AB∥平面CDE.
又AF∥ED，∵AF 平面CDE，ED 平面CDE，
∴AF∥平面CDE.
∵AF∩AB＝A，AB 平面ABF，AF 平面ABF，
∴平面ABF∥平面CDE，
又BF 平面ABF，∴BF∥平面CDE.
法二：如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF，
∵AF∥DN，且AF＝DN，
∴四边形ADNF为平行四边形，
∴AD∥FN，且AD＝FN.
又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC，
∴FN∥BC，且FN＝BC，
∴四边形BCNF为平行四边形，
∴BF∥NC.∵BF 平面CDE，NC 平面CDE，
∴BF∥平面CDE.
角度2 直线与平面平行的性质定理的应用
例2 如图所示，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
又M是PC的中点，∴PA∥OM.
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD.
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，
且四边形ACEF是矩形，
所以EM∥OA且EM＝OA，
所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.
又因为OE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解：l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE.
又AM 平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM.
同理，AM∥平面BDE.
又AM 平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).
(1)求证：BC∥HG；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，
求证：平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)∵在三棱柱ABC A1B1C1中，
平面ABC∥平面A1B1C1，
又平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥HG.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ).
如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.
证明：(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.
又BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以直线l∥BD.
在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
平行关系的综合应用
所以PR∥平面A1D1DA.
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键；面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG 平面ABD，EF 平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.又∵AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(共63张PPT)
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第9讲 空间角问题
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
01
教材再现 四基诊断
3．平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
×
×
×
√
解析：(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量u，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角或其补角．
4．设M，N分别是正方体ABCD A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线
MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________．
02
重点串讲 能力提升
异面直线所成的角
有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则
异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．
解析：设等边三角形的边长为2，取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
直线与平面所成的角
例2 (2020·新高考Ⅰ卷)如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
(1)[证明] 因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.
又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，
所以AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC，AD 平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
因为AD 平面PAD，
平面PAD∩平面PBC＝l，
所以l∥AD，因此l⊥平面PDC.
如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.
(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，
求证：MN∥平面CDE；
(2)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成
的角为60°，求线段DP的长．
二面角及平面夹角的问题
(1)[证明] 连接AE，DE，
∵DB＝DC，E为BC的中点，∴DE⊥BC.
又∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ACD与△ABD均为等边三角形，
∴AC＝AB，∴AE⊥BC.
又∵AE∩DE＝E，AE 平面ADE，DE 平面ADE，
∴BC⊥平面ADE，
又∵DA 平面ADE，∴BC⊥DA.
角度2 已知二面角大小求解其他问题
例4 (2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P A2C2 D2为150°
时，求B2P.
设参数λ，利用公式表示两个平面夹角的余弦值，解方程求出λ即可得解．(共51张PPT)
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第8讲 空间距离问题
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 会求空间中点到直线以及点到平面的距离．
01
教材再现 四基诊断
4．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( )
(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度．( )
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．( )
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.( )
×
×
√
×
解析：(1)当平面α上三点在平面β的两侧时，α与β相交．
(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线，该点与垂足之间的距离．
(4)直线l上的两个点在平面α的两侧时，l与平面α相交．
02
重点串讲 能力提升
点到直线的距离
如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，
AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________．
点到平面的距离
例2 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离．
求点面距一般有以下三种方法
(1)作点到面的垂线，求点到垂足的距离；
(2)等体积法；
(3)向量法．
1.已知四面体A BCD的顶点分别为A(2，3，1)，B(1，0，2)，C(4，3，－1)，D(0，3，－3)，则点D到平面ABC的距离为________．
2．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝2CD＝2，∠ADC＝90°，E，F分别为PB，AB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求点B到平面PCF的距离．
(1)证明：连接EF(图略)，∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.
∵EF 平面PAD，PA 平面PAD，∴EF∥平面PAD.
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD，且AF＝CD，
∴四边形ADCF为平行四边形，即CF∥AD.
∵CF 平面PAD，AD 平面PAD，∴CF∥平面PAD.
∵EF∩CF＝F，EF，CF 平面EFC，
∴平面PAD∥平面EFC，CE 平面EFC，则CE∥平面PAD.
直线到平面、平行平面间的距离
(2)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，
E，F分别为AB，BC的中点，则点D到平面PEF的距离为________，直线
AC到平面PEF的距离为________．
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等；当两个平面平行时，一个平面上的各点到另一个平面的距离相等，由此可知，这两种距离都是转化为点面距离．
1.在棱长为3的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中
点，则平面ADE与平面B1C1F之间的距离为________．(共47张PPT)
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第5讲 空间直线、平面的垂直
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理． 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题．
01
教材再现 四基诊断
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的_______一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．
任意
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
两条相交直线
平行
射影
90°
0°
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α l β的平面角是_________．
(3)二面角的平面角α的范围：[0，π].
两个半平面
∠AOB
4．两个平面垂直
(1)两个平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是___________，就说这两个平面互相垂直．
直二面角
(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理
垂线
交线
a α
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任意一条直线
(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
2．三种垂直关系的转化
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )
×
×
×
×
解析：(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l α或l∥α，故(1)错误．
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误．
(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误．
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误．
2．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ
B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α
D．a∥α，a⊥β
解析：α⊥γ，β⊥γ α与β相交或平行，故A不正确；
因为α∩β＝a，b⊥a，b β，所以b不一定垂直于α，α不一定垂直于β，故B不正确；
a∥β，a∥α α与β相交或平行，故C不正确；
因为a⊥β，a∥α，所以α中一定有一条直线垂直于β，所以α⊥β，故D正确．
3．在三棱锥P ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
外
垂
又AB 平面PAB，所以PC⊥AB.因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，PO，PC 平面PGC，所以AB⊥平面PGC.又CG 平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理，可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．
02
重点串讲 能力提升
直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.而AE 平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.而PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，
求证：△ABC是直角三角形．
证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.
因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
所以DF⊥平面PAC.
因为PA 平面PAC，所以DF⊥PA.
过点D作DG⊥AB于点G，
同理可证DG⊥PA.
因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
所以PA⊥平面ABC.
(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.
因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
所以PC⊥AE.
因为AE∩BH＝E，AE，BH 平面ABE，
所以PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，所以PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC，
所以PA⊥AB.
因为PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，所以AB⊥AC，
即△ABC是直角三角形．
面面垂直的判定与性质
(1)[证明] 由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC 平面ACD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB 平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
1.面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法：
面面垂直的定义；
面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β).
(2)一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
2．面面垂直性质定理的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面．
(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．
(1)证明：EF∥平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
(1)证明：取AB，BC，CD，DA的中点M，N，P，Q，连接EM，FN，GP，HQ，MN，NP，PQ，QM.在正三角形ABE中，M为AB的中点，所以EM⊥AB.又平面ABE∩平面ABCD＝AB，且平面ABE⊥平面ABCD，所以EM⊥平面ABCD.
同理FN⊥平面ABCD，所以EM∥FN.
又EM＝FN，所以四边形EMNF为平行四边形，所以EF∥MN.
又MN 平面ABCD，且EF 平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
垂直关系的综合应用
(1)[证明] ∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，∴BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PBC是直角三角形．
(2)[解] 如图，过A作AH⊥PC于H.
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.
又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角．
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角．
1.证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化．
2．线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解．(共61张PPT)
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第7讲 利用空间向量研究直线、平面间的位置关系
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
01
教材再现 四基诊断
1．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_____________，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
平行或重合
2．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 ______________
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n _______________
l⊥α u∥n u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 _______________
u1·u2＝0
u·n＝0
n1·n2＝0
3.利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤
(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用两直线垂直，其相应方向向量数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求解．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )
(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( )
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．
( )
(4)在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c).
( )
×
×
×
√
解析：(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个．(2)a⊥α.(3)若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，不能构成空间一个基底．
2．已知向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，则“m⊥n”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由l∥α，得m⊥n，所以“m⊥n”是“l∥α”的必要条件；而由m⊥n不一定有l∥α，也可能l α，故“m⊥n”不是“l∥α”的充分条件．
4．设u，v分别是两个不同平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
解析：当v＝(3，－2，2)时，u·v＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，u⊥v，所以α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u，u∥v，所以α∥β.
α⊥β
α∥β
02
重点串讲 能力提升
直线的方向向量与平面的法向量
①②③
1.若平面α与β的法向量分别是a＝(2，4，－3)，b＝(－1，2，2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
解析：因为a·b＝(2，4，－3)·(－1，2，2)＝0，所以a⊥b，所以平面α⊥β.
2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m).若l1⊥l2，则m＝________．
解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
10
利用空间向量证明平行问题
1.利用向量法证明平行问题的类型及常用方法
(1)线线平行：方向向量平行．
(2)线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直．
用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．
(3)面面平行：两平面的法向量平行．
2．利用向量法证明(判断)平行关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
3．向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
求证：平面EGF∥平面ABD.
利用空间向量证明垂直问题
例3 如图所示，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.求证：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
[证明] (1)取BC的中点O，连接PO.
∵△PBC为等边三角形，∴PO⊥BC.
∵平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO 平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，
过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为
z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
又∵PA∩PB＝P，PA 平面PAB，PB 平面PAB，
∴DM⊥平面PAB.
∵DM 平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法
(1)线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即证明它们的数量积为零；
(2)线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；
(3)面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
与平行、垂直有关的探索性问题
探索性问题通常分为两类：一类是已知点存在，求点的位置；一类是判断点的“存在性”问题．其中，在点的“存在性”问题中，先假设所求点存在，将其作为已知条件，得出点的位置或与题设条件矛盾的结论，从而得到结果．在设参数求解点的坐标时，若出现多解的情况，则应分析不同解的含义，判断哪些解是符合题设条件的，再做出取舍．
(2024·河北石家庄质检)如图，棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1.
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？
若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
角度2 有关垂直的探索
例5 如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4，AE⊥DE，AE＝DE，平面ABFE与平面CDEF交于EF.
(1)求证：CD∥EF.
(2)在线段BC上是否存在点M，使AM⊥EM？若存
在，求出BM的长；若不存在，请说明理由．
(1)[证明] 在四边形ABCD中，AB∥CD.因为AB 平面ABFE，CD 平面ABFE，所以CD∥平面ABFE.因为CD 平面CDEF，且平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF.
(2)[解] 线段BC上不存在点M，使AM⊥EM.理由如下：
如图，取AD的中点N，连接BN，EN.在等腰直角△ADE中，EN⊥AN.因为平面ADE⊥平面ABCD，交线为AD，且EN 平面ADE，所以EN⊥平面ABCD.又BN 平面ABCD，所以EN⊥BN.由题意得AN⊥BN.
如图，建立空间直角坐标系N xyz，
对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2024·山东聊城模拟)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点．
(1)求证：B，E，D1，F四点共面．
(2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，
求出DG的长度；若不存在，请说明理由．
(1)证明：如图所示，连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME.
因为E为AA1的中点，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1，
所以四边形EMC1D1为平行四边形，所以D1E∥MC1.
又因为F为CC1的中点，所以BM∥C1F，且BM＝C1F，
所以四边形BMC1F为平行四边形，
所以BF∥MC1，
所以BF∥D1E，
所以B，E，D1，F四点共面．(共49张PPT)
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第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2.了解四个基本事实和一个定理、三个推论，能运用四个基本事实和一个定理、三个推论判断有关命题的真假，并解决一些简单的证明问题．
01
教材再现 四基诊断
1．与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
不在一条直线上
两个点
过该点的公共直线
(2)三个推论
一条直线
两条相交
两条平行
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
平行
相等或互补
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )
(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(3)若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面．( )
(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
×
×
×
√
解析：(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．
(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误．
(3)由于a不平行于平面α，且a α，则a与平面α相交，故平面α内存在与a相交的直线，故错误．
2．下列命题正确的是( )
A．空间任意三个点确定一个平面
B．一个点和一条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面
D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面
解析：A中，不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错误；
B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错误；
C中，当三条直线交于一点时不能确定一个平面，C错误，故只有选项D正确．
3．在长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝BC＝1，AA′＝2，则直线BA′与AC
所成角的余弦值为________．
4．如图，在三棱锥A BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件_________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形．
AC＝BD
AC＝BD且AC⊥BD
02
重点串讲 能力提升
平面的基本性质与应用
例1 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF设交点为P，如图所示，则由P∈CE，CE 平面
ABCD，得P∈平面ABCD.
同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
空间点、直线、平面的位置关系
角度1 空间两直线位置关系的判断
例2 (1)(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点．若m α，n α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是( )
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
(2)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直
B．相交且垂直
C．异面
D．平行
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形 (梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．
1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
2．(多选)如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是( )
A．AF与CN平行
B．BM与AN是异面直线
C．AF与BM是异面直线
D．BN与DE是异面直线
角度2 空间直线与平面位置关系的判断
例3 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[解析] 垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故选项A中命题错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故选项B中命题错误；若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故选项C中命题错误；易知选项D中命题正确．
对关于空间直线、平面平行或垂直等位置关系的命题的真假判断，常采用构图法(尤其是长方体)、实物判断法(如墙角、桌面等)、排除法等．
已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“a和b相交”是“α和β相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，若直线a和直线b相交，则平面α，β一定有公共点，所以平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，直线α和直线b可能平行、相交、异面，所以“a和b相交”是“α和β相交”的充分不必要条件．
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体得到的平面图形，截几何体的方式通常有三种，分别为横截、竖截、斜截．
说明：正六面体的斜截面不会出现直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．
异面直线所成的角
综合法求异面直线所成角的步骤
(1)作：通过作平行线得到相交直线；
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)；
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
30°(共18张PPT)
高考总复习 数学 人教版
规范解答 立体几何综合问题
[典例] (12分)(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C AE B的正弦值．
分值分布
基础分 发展分 终极分
≤4分 [5，9]分 ≥10分
约30% 约45% 约25%
满分指导
(1)得步骤分：对于解题过程中是得分点的，有则给分，无则没分，对于得分点步骤一定要写全．
第(1)问中，正确作出辅助线得1分，通过证明推导出OE为△PBD的中位线，得1分，
利用线面平行的判定定理得出结论得2分；
第(2)问中，根据(1)建立适当的空间直角坐标系，只要建系正确就可得分．再分别求出相关点的坐标，求出平面AEB及平面AEC的法向量，再根据二面角公式求解，有则给分，无则不得分．
明确思维·答题知策略
解题思维
技巧策略
立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系．
建模：将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；
建系：依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．
