(共18张PPT)
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规范解答 解析几何综合问题
分值分布
基础分 发展分 终极分
≤2分 [3，6]分 ≥7分
约15% 约35% 约50%
满分指导
(1)得步骤分：
对于解题过程中是得分点的，有则给分，无则没分，对于得分点步骤一定要写全．
第(1)问中，写出代点求双曲线的过程，直接给出答案得1分．
第(1)问中，设出直线方程，并将直线方程与双曲线联立，化简后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得出x1＋x2及x1x2.
第(2)问中，分别说明P，Q在双曲线的左支及右支的情形，缺少步骤，要扣掉1至2分．
(3)得计算分：
本题的运算量很大，各环节的计算要细致并且保证正确才能得分，如果一个环节、步骤中出现运算错误，会直接影响后续得分．
第(1)问将点代入到所设的双曲线的方程时，正确求出双曲线可得分，双曲线求错不得分．
第(2)问中正确求出直线AP和直线AQ的方程得1分，直线与双曲线联立，得出关于x的一元二次方程求出P点的坐标得1分；
第(2)问中正确求出PQ的直线方程，利用点到直线距离公式求出点A到直线PQ的距离得1分；
第(2)问中利用面积公式求出△PAQ的面积得1分．
明确思维·答题知策略
解题思维
技巧策略
解析几何试题知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．因此，在遵循“设－列－解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．(共40张PPT)
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第6讲 直线与抛物线的位置关系
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.能解决直线与抛物线相交、相切时等有关问题． 2.在问题的解决过程中，进一步体会函数与方程的思想．
01
教材再现 四基诊断
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ___0；直线与圆锥曲线相切 Δ____0；直线与圆锥曲线相离 Δ____0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
>
＝
<
√
√
(3)过点(－1，0)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线有2条．
( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )
×
×
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
02
重点串讲 能力提升
直线与抛物线的位置关系判断
例1 过点(0，3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程
为________________________．
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．注意二次项系数为零的情况．
(非焦点弦)弦长问题及中点弦问题
角度1 (非焦点弦)弦长问题
例2 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两
点，则cos ∠AFB＝________．
1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p.若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
角度2 中点弦问题
例3 设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
解决有关中点或中点弦问题常用点差法．
直线与抛物线的综合问题
例4 (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
直线与抛物线相交问题处理规律
(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．
(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．(共41张PPT)
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第2讲 直线与椭圆的位置关系
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系． 2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．
01
教材再现 四基诊断
1．直线与椭圆的位置关系判断
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的_______．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆______或椭圆____判定直线和椭圆有交点．
个数
内部
上
|x1－x2|
3．直线与椭圆综合应用题的解题策略
(1)常用“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助___________的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
根与系数
√
×
√
√
02
重点串讲 能力提升
直线与椭圆的位置关系的判断
判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
弦长与中点弦问题
2．弦长公式的运用技巧
在利用曲线方程和直线方程联立时，设直线方程有两种常用方法．
(1)若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；
(2)若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．
3x＋4y－7＝0
直线与椭圆的综合问题
解决椭圆与圆、平面向量、数列等知识的综合问题的关键在于利用圆、平面向量、数列等知识，将条件等价转化为相关数量之间的关系，然后结合椭圆的有关知识进行求解．(共47张PPT)
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第3讲 双曲线
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
01
教材再现 四基诊断
1．双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 ________为双曲线的焦点；_______为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a 2a＜|F1F2| F1，F2
|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质
性质 焦点 ________________________ _____________________
焦距 |F1F2|＝_____ 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：_______ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段______，长：____；虚轴：线段______， 长：____；实半轴长：___，虚半轴长：___ F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
原点
A1A2
2a
B1B2
2b
a
b
(1，＋∞)
a2＋b2
×
×
√
√
3．“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，
又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，
因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．
02
重点串讲 能力提升
双曲线的定义及应用
2
双曲线定义的应用主要有两个方面
双曲线的标准方程
例2 已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形，试写出一个满足上
述条件的双曲线C的方程：___________________________________．
双曲线的简单几何性质
－3
求双曲线离心率(或其取值范围)的两种常用方法(共44张PPT)
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第4讲 直线与双曲线的位置关系
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用，会判断直线与双曲线的位置关系． 2.能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．
01
教材再现 四基诊断
1．位置关系的判断
将直线与双曲线方程联立得方程组，消去y(有时也消去x)，得到关于x的方程mx2＋nx＋p＝0.
(1)当m＝0时，此时直线与双曲线相交且只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行．
(2)若m≠0，当Δ＞0时，直线与双曲线有两个交点；当Δ＝0时，直线与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切；当Δ＜0时，直线与双曲线无公共点．
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切．( )
(2)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．( )
(3)双曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．( )
(4)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，使用点差法后，要注意检验．( )
×
√
√
√
02
重点串讲 能力提升
直线与双曲线的位置关系判断
例1 已知双曲线C上的所有点构成的集合P＝{(x，y)|ax2－by2＝1(a＞0，b＞0)}，而集合Q＝{(x，y)|0＜ax2－by2＜1(a＞0，b＞0)}，坐标平面内任意点N(x0，y0)，直线l：ax0x－by0y＝1称为点N关于双曲线C的“相关直线”．
(1)若N∈P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q.
判断直线与双曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
弦长与中点弦问题
1.涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．
2．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
(1)设点：设出弦的两端点坐标；
(2)代入：代入圆锥曲线方程；
直线与双曲线的综合问题
例4 直线l：y＝kx＋1与双曲线C：3x2－y2＝1相交于不同的A，B两点．
(1)求AB的长度．
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由．
解决直线与双曲线位置的综合应用，主要与圆、平面向量、数列等知识综合，解决的关键是将条件转化为相关数量之间的关系，然后结合双曲线的有关知识求解．(共42张PPT)
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第5讲 抛物线
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
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课程标准 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用．
01
教材再现 四基诊断
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_______，直线l叫做抛物线的______．
相等
焦点
准线
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
x轴
y轴
(0，0)
1
×
×
×
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1
＝x1＋x2＋2＝8.
4．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
02
重点串讲 能力提升
抛物线的定义及应用
42或22
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
2．若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
解析：圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3，3)，半径r＝2，
抛物线y2＝8x的焦点F(2，0).
因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，
抛物线的标准方程及几何性质
角度1 求标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
求抛物线的标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置确定开口方向；
(2)再定形：根据已知条件求p.
角度2 焦半径和焦点弦
例3 (1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8
C．9 D．12
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
16(共50张PPT)
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第9章 圆锥曲线
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
第1讲 椭圆
课程标准 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
01
教材再现 四基诊断
1．椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点 M点的轨迹为椭圆 _______为椭圆的焦点；
_______为椭圆的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2| F1，F2
|F1F2|
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长为____，长轴长为____ 焦点 _____________________ ____________________
焦距 |F1F2|＝____ 2b
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
原点
×
×
√
×
02
重点串讲 能力提升
椭圆的定义及应用
例1 (1)如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B．双曲线
C.抛物线 D．圆
椭圆定义的应用技巧
椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|的值，通过整体代入可求其面积等．
1.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
________________．
椭圆的标准方程
求椭圆方程的方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
椭圆的简单几何性质
(2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的
离心率是________．
求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
(3)数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．
求解范围、最值问题的常用思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．(共35张PPT)
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第8讲 定点、定值、探索性问题
索引
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
01
重点串讲 能力提升
定点问题
直线或曲线过定点问题的求解思路
(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明(技巧：寻找特殊情况，比如直线斜率不存在或点在顶点处).
(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出直线或曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标(技巧：令参数的系数为0).
(3)求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．
定值问题
求解定值问题的常用方法
(1)直接消参法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．
(2)从特殊到一般法：其常用技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量问题的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．
探索性问题
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2＝0；
(3)直线l′是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义∠PTB为椭圆E的弦切角，∠TAB为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角∠PTB与弦TB对应的椭圆周角∠TAB的关系，并证明你的结论．
如图，设直线l，l′与x轴的交点分别为M，Q，TA，TB与x轴的交点分别为C，D，由(2)得k1＋k2＝0，所以∠TCD＝∠TDC.因为直线l′的斜率为－1，直线l的斜率为1，所以∠PMQ＝∠PQM＝∠TQD，又∠PMQ＝∠AMC，(对顶角相等)
所以∠TQD＝∠AMC.
又∠TCD＝∠TAB＋∠AMC，∠TDC＝
∠PTB＋∠TQD，
所以∠PTB＝∠TAB.
1.探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化，其步骤如下：
2．反证法和验证法也是求解探索性问题常用的方法．
直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围．
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．(共44张PPT)
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第7讲 圆锥曲线的范围、最值问题
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01
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范围问题
利用不等式解决圆锥曲线中取值范围问题的常用方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
利用函数求取值范围的方法，根据已知条件设出自变量，构造目标函数，利用函数的单调性求最值．
最值问题
5
几何方法求解圆锥曲线中的最值问题，即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化，利用平面几何中的定理、性质，结合图形的直观性求解最值问题．常用的结论有：
(1)两点间线段最短．
(2)点到直线的垂线段最短．
(3)结合圆锥曲线的定义求最值．
角度2 构造函数求最值
例4 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
圆锥曲线中的最值问题常常转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．(共36张PPT)
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第9讲 求值与证明问题
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01
重点串讲 能力提升
求值问题
解决求值问题，要注意
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件．
(2)强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
证明问题
圆锥曲线中的一类证明问题是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等，在解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
(2024·湖南邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.
(1)求C的标准方程；
(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．
角度2 证明数量关系
例3 如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.
(1)证明：直线BC∥x轴；
(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.
证明：||AF|－|BF||＝8.
圆锥曲线中的证明问题一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
