(共40张PPT)
高考总复习 数学 人教版
第5讲 二项分布、超几何分布、正态分布
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.了解n重伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，能解决一些简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，能解决一些简单的实际问题.3.了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的特征，了解正态分布的均值、方差及其含义．
01
教材再现 四基诊断
1．伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
______________________的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为___________________．
只包含两个可能结果
n重伯努利试验
X～B(n，p)
p
p(1－p)
np
np(1－p)
正态分布
x＝μ
x＝μ
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝____．
μ
σ2
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．( )
(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．( )
√
√
√
√
3．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋
3)，则c＝________．
02
重点串讲 能力提升
二项分布
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
超几何分布
例2 某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．
2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X).
正态分布
例3 (1)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________．
0.14
[解析] (1)对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．
(2)由正态分布的性质可知P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
解决正态分布问题有三个关键点
(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
1.(2024·广东惠州调研)若随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)，则有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5.现有20 000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布N(100，102)，则可估计本次数学测试成绩在120分以上的学生人数为( )
A．1 587 B．228
C．455 D．3 174(共40张PPT)
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第3讲 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.了解两个事件相互独立的含义． 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系． 3.会利用全概率公式计算概率．
01
教材再现 四基诊断
P(A)P(B)
B
P(A)P(B|A)
×
√
×
×
2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为( )
A.互斥 B．互为对立
C.相互独立 D．相等
解析：掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B均错误；
事件A与事件B相互独立．
02
重点串讲 能力提升
相互独立事件的概率
例1 (1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
(2)(多选)(2024·广州测试)抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是( )
A.事件A与事件B互为对立事件
B.事件A与事件B相互独立
C.P(B)＝2P(A)
D.P(A)＋P(B)＝1
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
条件概率
(2)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白
球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．
全概率公式的应用
例3 (1)(2024·山东威海质检)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为( )
A.0.625 B．0.75
C.0.5 D．0
(2)(2024·安徽合肥调研)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是
( )
A.0.155 B．0.175
C.0.016 D．0.096
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
1.(2024·陕西西安模拟)甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出
的球是红球的概率为________．
2．某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为________．
0.7
解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，
B1＝“第1天去B餐厅用餐”，
A2＝“第2天去A餐厅用餐”，
则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，
根据题意得，P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.
由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.(共50张PPT)
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第4讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
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教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
课程标准 1.了解离散型随机变量的概念． 2.理解离散型随机变量分布列． 3.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
01
教材再现 四基诊断
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____________ ______与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称_____________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
唯一的实数
X(ω)
X取每一个值xi的概率
3．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)；
(2)________________＝1.
p1＋p2＋…＋pn
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
平均水平
偏离程度
aE(X)＋b
a2D(X)
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( )
(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( )
√
×
√
√
解析：对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确．
2．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为( )
A.0.2 B．0.4
C.0.8 D．1
解析：某运动员罚球1次的得分为X，X的取值可能为0，1，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量为X，则P(X＝
4)的值为________．
02
重点串讲 能力提升
分布列的性质
[解] (1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
从而2X＋1的分布列为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由(1)知m＝0.3，列表为
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
分布列的求法
例3 (2024·江苏南京模拟)设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个．
(1)若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率；
(2)若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为X，求随机变量X的概率分布列．
离散型随机变量分布列的求解步骤
有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列．
离散型随机变量的数字特征及其实际应用
角度1 离散型随机变量的数字特征
例4 2023年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
求离散型随机变量X的期望与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由期望的定义求E(X)；
(5)由方差的定义求D(X).
(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
角度2 均值与方差的实际应用
例5 (2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解] (1)由题易知X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)可知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
假设小明先回答B类问题，其累计得分为Y，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，
所以E(Y)>E(X)，
所以小明应选择先回答B类问题．
利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题．解题的关键如下：
(1)建立模型：根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
(2)分析数据：分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
(3)求值：利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
(4)做出决策：比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．(共43张PPT)
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第11章 概率、随机变量及其分布
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
课时跟踪练
第1讲 随机事件与概率
课程标准 1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算． 3.会用频率估计概率．
01
教材再现 四基诊断
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的_________称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
基本结果
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的______称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
子集
2．事件的关系
一定发生
B A
不能同时发生
有且仅有一个发生
3.事件的运算
A∪B
A∩B
4.概率与频率
(1)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的___________．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计__________．
概率P(A)
概率P(A)
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．( )
×
√
√
×
解析：随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错误．(4)中，甲中奖的概率与乙中奖的概率相同．
2．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( )
A．至多一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都没有中靶
解析：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶；②只有一次中靶；③两次都没有中靶．
3．(多选)若n(n≥3)个人站成一排，其中不是互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件；B，C，D中的两事件能同时发生，不是互斥事件．
4．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．
解析：掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.
0.5
02
重点串讲 能力提升
随机事件与样本空间
例1 (1)在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均有可能
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] (1)从1，2，3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可知该事件是必然事件．
(2)∵是有放回地随机摸3次，∴随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，
(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}．共8个．
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
1.下列说法错误的是( )
A．任一事件的概率总在[0，1]内
B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．
2．同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个样本点．
事件的关系与运算
例2 (1)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是( )
A．A B
B．A∩B＝
C．A∪B＝“至少一次中靶”
D．A与B互为对立事件
(2)(多选)下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
[解析] (1)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以A，D错误，B正确；A∪B＝“至少一次中靶”，C正确．
(2)对于C，概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，错误；
对于D，对立事件和的概率公式逆用不正确，例如两种没有联系的事件，概率和满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不对立，故D错误．
1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件
D．不是互斥事件
解析：事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不对立．
2．(多选)口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断正确的是( )
A．A与D为对立事件
B．B与C是互斥事件
C．C与E是对立事件
D．P(C∪E)＝1
解析：当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，B不正确；
当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，C不正确；
显然A与D是对立事件，A正确；
C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，D正确．
随机事件的频率与概率
例3 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
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第2讲 古典概型、概率的基本性质
索引
教材再现 四基诊断
重点串讲 能力提升
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课程标准 1.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 2.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．
01
教材再现 四基诊断
1．古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有__________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性________．
有限个
相等
3．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_______________；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__________；
P(A)＋P(B)
1－P(B)
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(4)概率为0的事件一定是不可能事件．( )
×
×
√
×
解析：对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括“正反”与“反正”两个样本点，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．
2．单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对
的概率是________．
3．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，
则取到白球的概率为________．
4．抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点
数是3的倍数”，则P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________．
02
重点串讲 能力提升
古典概型
(2)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五种属性的物质组成，如图，分别是金、木、水、火、土这五行彼此之间存在的相生相克的关系．若从这五行中任选不同的两行，则这两行相克的概率为
________．
求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识．
2．(2024·湖南长沙联考)一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有编号分别为1，2，3，4的红球4个，编号分别为4，5的白球2个，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).则在取出的
3个小球中，小球编号最大值为4的概率是________．
概率的基本性质
例2 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：
红灯 个数 0 1 2 3 4 5 6个及6
个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母a的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率．
[解] (1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.
(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，
事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上，
则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C.
因为事件A，B，C互斥，
所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，
即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
复杂事件概率的求解方法
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题．
(多选)(2024·广东名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：
投篮 次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，则下列选项正确的为( )
A.P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C.P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55
古典概型的综合应用
例3 (2024·山东济南调研)某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．
(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否以此推断对讲座活动是否满意与性别有关；
性别 满意情况 合计
满意 不满意 男生
女生
合计 120
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[解] (1)2×2列联表如表所示．
性别 满意情况 合计
满意 不满意 男生 40 20 60
女生 30 30 60
合计 70 50 120
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．
某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率．
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