六安一中2023-2024学年度高一上学期数学期末测试卷
考试范围：必修一全册 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D. 或
2.若，则下列结论中不正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.若函数其中，图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的是( )
A. 不等式的解集是
B. “”是“”成立的充分条件
C. 函数的最小值为
D. “”是“”成立的必要条件
10.函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是 ( )
A. B.
C. D.
11.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是( )
A. 函数在上是减函数
B. 若，则
C. 函数，则的最大值
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.新开发生产一种产品可获得的利润单位：万元与投入使用时间单位：年满足，当投入使用____________年时，此产品的年平均利润最大．
13.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是_______________．
14.若时，取得最大值，则______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，集合，集合或．
若是成立的充分不必要条件，求的取值范围；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知点在函数为实数的图象上．
求函数的解析式并用定义法证明在区间上的单调性；
判断函数的奇偶性，并求函数在区间上的值域．
17.本小题分
如图，在周长为的矩形中其中，现将沿折叠到，设与交于点，设
求证：的周长为定值；
试用表示的长，并求的取值范围；
当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值．
18.本小题分
设函数．
求函数的最小正周期及其图象的对称轴；
将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域．
19.本小题分
意大利画家列奥纳多达芬奇曾提出：圆定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲钱是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
证明：；
不等式：在上恒成立，求的范围；
判断函数的零点个数，并写出零点表达式六安一中2023-2024学年度高一上学期数学期末测试卷
考试范围：必修一全册 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D. 或
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查图，集合的交、补、并运算，属于基础题．
题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解．
【解答】
解：由题意，得，，
阴影部分表示的集合为或．
故选：．
2.若，则下列结论中不正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了不等式比较大小，根据不等式的性质进行比较，是一般题．
【解答】解：，，，，；
，．
综上所述，D错误．
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，奇函数图象的对称性，分段函数以及一次函数、指数函数、反比例函数、二次函数的单调性，含绝对值函数的处理方法．
根据奇函数图象的对称性，可判断选项A与不符合题意，根据反比例函数的单调性可判断选项C不符合题意，去绝对值，由分段函数单调性的判断，结合奇函数的定义，可判断选项D正确．
【解答】
解：的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项不符合题意；
B.的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项不符合题意；
C.反比例函数在定义域内没有单调性，该选项不符合题意；
D.的定义域为，且，
该函数为奇函数，
在，上单调递增，且，
该函数在定义域内是增函数，该选项符合题意．
故选D．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于中档题．
不等式的解集是，可知，是一元二次方程的实数根，且利用根与系数的关系可得，，的关系，代入不等式即可求解．
【解答】
解：一元二次不等式的解集为，
，即
不等式可转化为，
故不等式的解集为．
故选C．
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于中档题目．
利用指数函数与对数函数的性质与，进行比较得出即可．
【解答】
因为函数单调递减，所以
因为函数．单调递减，所以．．
因为函数单调递增， ， 所以．
所以则
故答案为
6.若函数其中，图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角函数图象变换规律，五点法作图，诱导公式的应用，属于中档题．
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．
【解答】
解：根据已知函数，其中，的图象过点，，可得，，解得：．
再根据五点法作图可得，可得：，可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象．
故选：．
7.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式，不等式恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题．
不等式可化为，再利用基本不等式进行求解即可．
【解答】
解：不等式可化为，
，，
，当且仅当时取等号，
不等式对一切恒成立，
，
解得，
故选A．
8.已知函数设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数，函数值域的应用，是较难题．
先求出的值域，再根据存在实数，使得成立，再求解的范围即可．
【解答】
解：解：当时，，
，当且仅当时取等号，
的取值范围是，
当时，，
的取值范围是，
要存在实数，使得成立，
则函数即，
，
解得：．
故选B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的是( )
A. 不等式的解集是
B. “”是“”成立的充分条件
C. 函数的最小值为
D. “”是“”成立的必要条件
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了必要条件、充分条件，不等式性质，不等式求解和基本不等式，属于中档题．
利用解分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法判断，利用充分条件的定义，结合不等式性质判断；利用基本不等式判断；利用正切函数的性质以及必要条件的定义判断．
【解答】
解：由得
解得：，解集为，故A错误；
因为当，时，一定有，所以充分性成立；
当时，如，满足，
但，不成立，即必要性不成立，
因此“，”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；
因为，
且仅当，即时取等号，而不可能成立，
所以不可能取得等号，则，故C错误；
因为当时，，所以“”不一定得出“”，
但“”一定能得出“”，
所以“”是“”成立的必要条件，故D正确．
故选BD．
10.函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查考查幂函数，二次函数，函数的定义域，值域和单调性，属于较难题．
对于，关键是转化为判断是否有两个相异正根对于，先讨论函数对称性和最小值，确定值域的下限为，定义域和值域相同，故定义域的下限也是，“和谐区间”必在对称轴的右侧，利用单调性讨论即可对于，抓住函数各区间上的单调性，及值域为的特性，分类讨论各区间存在性问题即可解的关键是抓住函数的定义域和值域都是为，结合函数的单调性进行分类讨论即可
【解答】解：： 定义域为，在此定义域内函数是单调递增函数，
若此函数有“和谐区间”，
则，即，就是的两个相异的非负根，
显然，满足，
，就是两个相异的非负根，
所以是函数的“和谐区间”，故A正确
：定义域为，
内函数单调递减，函数单调递增，
函数值域为，
故此函数有“和谐区间”，它是值域的子集，必有，
又因为函数在“和谐区间”上单调递增，
则，即，是的两个相异的不小于的根，
即，是方程的两个相异的不小于的根，
显然，就是两个相异的非负根，
所以是函数的“和谐区间”，故 B正确
：定义域为非零实数集，对勾函数性质可知，
内函数单调递增，内函数单调递减，
函数单调递减，函数单调递增，
函数值域为，
故此函数有“和谐区间”，它是值域的子集，必有，或者，
，则函数在递增，
即，是的两个不大于的相异根，
无解，
，则函数在递增，
即，是的两个不小于的相异根，
无解，
综上，此函数不存在“和谐区间”，故 C错误
：定义域为非零实数集，
内函数单调递减，相应函数值范围为，
内函数单调递减相应函数值范围为
故此函数有“和谐区间”，必有或者，
，则函数在递减，
即
显然，满足这个条件的“和谐区间”有无数多，
例如等，
，则函数在递减，
即
显然，满足这个条件的“和谐区间”有无数多，
例如等，
综上，此函数存在“和谐区间”， D正确．
故选ABD．
11.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是( )
A. 函数在上是减函数
B. 若，则
C. 函数，则的最大值
D.
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了同角三角函数的基本关系，诱导公式，正弦、余弦函数的图象与性质，二倍角公式及其应用，复合函数的单调性和辅助角公式，属于中档题．
利用题目所给定义，结合辅助角公式得，再利用余弦函数性质，结合复合函数单调性得函数不是单调函数，对进行判断，利用题目所给定义得，再利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系得，然后通过计算对进行判断，利用题目所给定义，结合诱导公式得，再利用正弦函数的最值对进行判断，利用题目所给定义，结合诱导公式，通过计算对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：选项A、
，
当，时，
函数不是单调函数，因此错；
选项B、由得，
因此
，所以B正确；
选项C、
，
因此函数的最大值为，所以错；
选项D、因为，
，所以，因此D正确．
故答案选BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.新开发生产一种产品可获得的利润单位：万元与投入使用时间单位：年满足，当投入使用_____年时，此产品的年平均利润最大．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于中档题．
由题意可得年平均利润为 ，利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：由题意可得年平均利润为 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以年平均利润的最大值为 万元．
所以当投入使用年时，年平均利润最大．
故答案为：．
13.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数值域问题，考查了二次函数性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
由题意，令，，分类讨论即可得到答案．
【解答】
解：由题意，令，，
当时，在上为增函数，则值域为，
对于开口向下，对称轴，且在上为增函数，
则有，即值域为，
要使函数的值域为，则有，解得；
当时，，均为常数函数，显然不符合题意；
当时，函数在上为减函数，
则函数值域为，
对于开口向上，且在上为减函数，则，
即值域为，
要使得函数的值域为，则使，与矛盾，不符合题意，舍去．
综上可得实数的取值范围是
故答案为．
14.若时，取得最大值，则______________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的求解，涉及二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、辅助角公式等，考查分析与计算能力，属于中档题．
由题利用二倍角公式及辅助角公式及两角差的正弦公式计算得其中，，
再由当取最大值可得，然后利用诱导公式即两角和的正弦公式计算求解即可．
【解答】
解：
其中，，
当取最大值时，，，
，，
，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，集合，集合或．
若是成立的充分不必要条件，求的取值范围；
若，求的取值范围．
【答案】解：因为是成立的充分不必要条件，所以 ，
则
又因为所以的取值范围为
，且
，
故的取值范围是．
【解析】本题考查充分不必要条件以及利用集合关系求参数范围，属于中档题．
因为是成立的充分不必要条件所以 ，进而求出结果；
由可得，解不等式即可求出结果．
16.本小题分
已知点在函数为实数的图象上．
求函数的解析式并用定义法证明在区间上的单调性；
判断函数的奇偶性，并求函数在区间上的值域．
【答案】解：由题意得函数的定义域为，
因为点在函数的图象上，
所以，得，
，
对，，且，
则
因为，，且，则，．
又，，
所以，
，即
所以函数在上单调递减．
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，
函数在上是奇函数，
由得，函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
故函数在区间上单调递减，
此时函数的最大值为，
最小值为，
故函数在区间值域为
【解析】本题考查函数的解析式、单调性、奇偶性和值域，属于中档题．
求出，即可得解析式，利用单调性的定义，则有，，且，，即可单调性
利用奇偶性的定义可判断出奇偶性，结合单调性可求最值，即可得值域．
17.本小题分
如图，在周长为的矩形中其中，现将沿折叠到，设与交于点，设
求证：的周长为定值；
试用表示的长，并求的取值范围；
当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值．
【答案】解：依题意，，，，
所以，
所以．
因为矩形的周长为，
所以的周长为．
在周长为的矩形中，，故BC．
在中，，即，
据勾股定理，即，
解得．
依题意，得，解得．
所以，其中．
据可知，的面积，其中．
所以，
当且仅当，即时，不等式取等号．
所以当时，的面积取得最大值．
【解析】【分析】本题主要考查函数的实际应用，利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意可得，即可证明；
由题意设，故BC，利用勾股定理得；
由可得，再利用基本不等式即可．
18.本小题分
设函数．
求函数的最小正周期及其图象的对称轴；
将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象，求函数在上的值域．
【答案】解：由题可得
，
的最小正周期为：．
由得，
该函数图象的对称轴方程为．
由题可得，
．
，
的值域为
【解析】本题考查三角恒等变换、余弦函数的性质、的性质和三角函数的图象变换，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
将化简为，再利用的性质即可求解；
先求得，再利用余弦函数的性质即可求解．
19.本小题分
意大利画家列奥纳多达芬奇曾提出：圆定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲钱是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
证明：；
不等式：在上恒成立，求的范围；
判断函数的零点个数，并写出零点表达式．
【答案】解：证明：
因为
，
所以；
因为恒成立，
故是奇函数，
又因为在上单调递增，
在上单调递减，
故在上单调递增，
由，
在上恒成立，
即，
在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时显然恒成立，
当时，
恒成立，
令，
因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
所以，则，
所以的取值范围为；
因为，
，
所以
，
又 ，
当且仅当时取等号，
又
，
令，
则，
即或，
即或，
对于，解得；
对于，
令，，
则，
所以为偶函数，
又，
由可得单调递增，
又，
所以当时，
当时，
所以在上单调递增，
在上单调递减，又，
当，即时，
与无交点，
即无解；
当，即时，
与有且仅有一个交点，
即有一个实数根，即为；
当，即时，
与有两个交点，
由，
解得或，
综上可得，当时只有一个零点，且零点为；
当时有三个零点，
分别为，，．
【解析】本题考查函数的新定义问题，利用导数研究函数的零点或方程的根，由函数的最值求参，指数幂的化简求值与证明，由基本不等式求最值或取值范围，属于较难题．
利用双曲余弦函数和双曲正弦函数的函数表达式，结合指数式的运算，化简即可证明；
首先判断的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，从而得到在上恒成立，解得即可；
依题意可得，从而将化为，令，从而转化为或，令，利用判断函数的奇偶性与单调性，转化为与的交点问题．六安一中2023-2024学年度高一上学期期末测试
数学 答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（请在横线上作答）
12 13 14
三、解答题（请在指定区域内作答）
15.本小题分
16本小题分
17.本小题分
18.本小题分
19.本小题7分
1
