马鞍山二中2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试题
考试范围：选修二1-2章、第3章椭圆；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.已知是空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中，，，平面，点，分别，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为( )
A. B. C. D.
5.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知直线经过点，且与直线 垂直，则的方程为( )
A. B.
C. D.
7.，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的方程为，过右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点和，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 任意向量，，满足
C. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 若方程表示圆，则的取值范围是
B. 直线恒过定点
C. 圆与圆恰有条公切线
D. 已知圆和圆，圆和圆的公共弦长为
11.已知椭圆上有一点，、分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则满足题意的点有个
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若是钝角三角形，则的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，且则在上的投影向量的坐标为_________．
13.已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________．
14.平面直角坐标系中，已知是：的一条弦，且，是的中点．当弦在圆上运动时，直线：上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
16.本小题分
已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
求反射光线所在的方程；
在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值．
17.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为．
求圆的方程；
设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
18.本小题分
在如图所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使在平面同侧，如图．
当二面角为时，判断与平面是否平行；
探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
在的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆：的上顶点与右焦点连线的斜率为，的短轴的两个端点与左、右焦点的连线所构成的四边形的面积为．
求椭圆的标准方程．
已知点，若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线，的倾斜角互补时，试问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．马鞍山二中2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试题
考试范围：选修二1-2章、第3章椭圆；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直和平行的坐标运算，以及空间向量的模的计算，属于中档题．
根据空间向量垂直和平行的坐标运算解得，，可得，解得，再由模长公式求解．
【解答】
解：，
因为，则
解得
所以，
则，
所以．
故选C．
2.已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量基底意义的正确理解及应用，属于基础题．
利用空间向量基底的意义即可得出．
【解答】
解：，，，
，，中的向量都不能与向量，构成基底．
是空间向量的一个基底，
与向量，构成基底中必须存在，满足题意．
故选D．
3.已知是空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理的应用，利用基本不等式求最值，属于基础题．
，利用基本不等式求最值，即可求解．
【解答】
解：为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，
，
，当且仅当，时取得等号，
的最大值为．
故选：．
4.在三棱锥中，，，平面，点，分别，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量法求空间异面直线的夹角，属于中档题．
以为原点，坐标轴建立空间直角坐标系，设，由异面直线与所成的角的余弦值为，可列式，求出即可．
【解答】
解：如图，在三棱锥中，，，，
平面，以为原点，坐标轴建立空间直角坐标系，
可知，，，
，
，
，则，
设，且，则，
可知，
，
，，
异面直线与所成的角的余弦值为，
，
解得或舍去，
．
故选A．
5.从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查与圆中切线相关的最值问题，是中档题．
由题意画出图形，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求得切线长的最小值．
【解答】
解：圆化为，
圆心为，半径为，如图，
直线上的点向圆引切线，要使切线长的最小，
则直线上的点与圆心的距离最小，
由点到直线的距离公式可得，．
切线长的最小值为．
故选B．
6.已知直线经过点，且与直线 垂直，则的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查直线的方程，两直线垂直的判定与应用，属于基础题．
由条件得到直线的斜率为，从而可求得直线方程．
【解答】
解：直线与直线垂直，
直线的斜率为，
又直线经过点，
直线的方程为，
化简得．
故选C．
7.，过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题是直线和不等式的综合考查，属于中档题．
先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值．
【解答】
解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有，
．
故当且仅当时取等
故选：
8.已知椭圆的方程为，过右焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点和，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于拔高题．
先根据题意得到直线的方程，并将其与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系将，表示出来，再根据，即可得到椭圆的离心率．
【解答】
解：设，，易知直线的方程为，
由消去得，
则
所以，，
可知，
所以，
又，
即，
所以．
故选B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，正确的是( )
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 任意向量，，满足
C. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题以及空间向量的夹角 ，属于基础题．
根据空间向量的平行和垂直关系判断；根据空间向量的数量积运算判断；根据空间向量基本定理，及四点共面问题判断根据空间向量的夹角判断．
【解答】
解：，若非零向量，，满足，，则，不一定平行，故A错误；
， ， 不一定共线，则 不一定成立，故B错误；
，若、、是空间的一组基底，且，
则，即，
则，，，四点共面，故C正确；
D、，，
若 ，则 ，可得 ，
若 共线，则 ，解得 ，
即当 时， 不共线，
为锐角，故D正确；
故选：．
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 若方程表示圆，则的取值范围是
B. 直线恒过定点
C. 圆与圆恰有条公切线
D. 已知圆和圆，圆和圆的公共弦长为
【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，属于中档题
A.将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得的值；设出点，求出以线段为直径的圆的方程，题中的切点、为圆与圆的交点，将两圆作差求出公共弦的方程，即可发现直线经过的定点．
【解答】
解：若方程表示圆，
则，故A错误；
B. 直线，
得，
由，得
即直线恒过定点，故B正确；
C. 曲线，
即，圆心为，半径为，
曲线，
即，圆心为，半径为，
两圆心的距离为，
则两圆外切，有条公切线，故C错误；
D. 圆和圆，
两方程作差可得公共弦所在的直线方程为，
圆即，
圆心，
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为，故D正确．
故选：．
11.已知椭圆上有一点，、分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则满足题意的点有个
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若是钝角三角形，则的取值范围是
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的概念和椭圆的几何性质，与椭圆有关的面积问题，涉及余弦定理与三角形面积公式，属于较难题．
先根据椭圆的方程求得，设，，易知当点位于短轴顶点时，的面积和最大，可判断，由判断，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面积公式求解判断，由最大为，可知若是钝角三角形，则或为钝角，由此求出的范围，即可判断．
【解答】
解：，，则，
，
设，，
则由椭圆的定义可得：，
当点位于短轴顶点时，最大，此时，又，
故此时，的面积为，
对于，，则满足题意的点在第一、二、三、四象限各一个，共有个，故A正确；
对于，在中，若，则
由得，
所以，故B正确；
对于，当点位于短轴顶点时，最大，此时，故C正确；
对于，最大为，故若是钝角三角形，则或为钝角，
设，由椭圆的性质知，当时，为钝角三角形，
根据椭圆的对称性，不妨设，此时，
所以若为钝角三角形，的取值范围是，故D错误．
故选ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，且则在上的投影向量的坐标为________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的坐标运算，属于基础题．
对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可．
【解答】
解：两边平方化简得：，
因为，所以．
又，代入得：，解得：．
所以在上的投影向量坐标为
．
故答案为：．
13.已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线位置关系的综合问题，考查韦达定理的运用，属于中档题．
根据将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，再根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，，可得椭圆的方程．
【解答】
解：设椭圆的标准方程为，
联立
消元得，
设两个交点分别为，，
则弦中点横坐标为，
则结合韦达定理得即
因为焦点，所以有
由得，
所以椭圆方程为．
故答案为．
14.平面直角坐标系中，已知是：的一条弦，且，是的中点．当弦在圆上运动时，直线：上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线和圆的关系的应用，属于难题．
依题意，点在以为圆心以为半径的圆上，要使得恒成立，则点所在的圆与以为直径的圆内切或内含于其中，所以的最小值为圆的直径的最小值．
【解答】
解：因为为的中点，所以，又因为，
所以三角形为等腰直角三角形，
所以，即点在以为圆心，以为半径的圆上，点所在圆的方程为，
要使得恒成立，则点所在的圆与以为直径的圆内切或内含于其中，
而在直线：上，
到直线：的距离．
所以以为直径的圆的半径的最小值为，
所以的最小值为．
故答案为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
【答案】解：，
；
，
．
．
【解析】本题考查空间向量基本定理及空间向量的加法、减法与数量积运算，属于拔高题目．
确定基底，利用空间向量的加减运算得出即可；
确定基底，利用空间向量的数量积运算得出即可．
16.本小题分
已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
求反射光线所在的方程；
在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值．
【答案】解：如图所示：
设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于，
因为直线与直线垂直，并且过点，
所以其方程为，即，
由，，解得，，即坐标为，
因为、两点关于直线对称，所以关于点对称，
所以，，
点坐标为，
根据光线反射定律，反射光线经过、两点，
由直线的两点式方程得：
直线方程为，
即反射光线所在直线的方程为
线段的垂直平分线为，因为，
所以点在直线上，又因为点在直线上，
所以点为直线与交点，
由，的坐标可知，
线段中点，直线斜率为，
所以其垂直平分线斜率，
因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为
，即，
与直线的方程联立
解方程组得点坐标为
设点坐标为，令，
则
，
要使最小，则当且仅当最小，
可表示为点到点的距离的平方，
当，即计算点到直线的距离时取到最小值，
此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得
，
所以．
【解析】本题考查了直线的对称问题和求直线方程，是难题．
根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，反射光线为直线两点式写出方程，化简整理成一般式方程；
点是线段的垂直平分线与的交点，求出线段的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可；
设，整理之后为；
转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方．
17.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为．
求圆的方程；
设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
【答案】解：由题意，过点的直径所在直线方程为，
联立 ，解得
圆心坐标为，半径 ，
圆的方程为；
设圆心到直线的距离为，
则的面积，
由于，
当，即时面积最大为．
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为；
故直线斜率存在，设为，则直线的方程为，
由到的距离，
解得或，
故此时直线方程为或．
【解析】本题考查圆的方程的求法，直线方程以及直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意，求出过点的直径所在直线方程，圆心为两条直线的交点，由此得到所求；
设圆心到直线的距离为，求出的面积，利用基本不等式求出时面积最大为，当直线斜率不存在时，易知不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可求解．
18.本小题分
在如图所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使在平面同侧，如图．
当二面角为时，判断与平面是否平行；
探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
在的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】解：若二面角为，
则平面平面，
因为平面平面，且，平面
所以平面，如图，
以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，
因为，
所以，
所以不与平面平行；
取的中点，连接，则，
因为，
所以二面角的平面角为，即，
如图，
以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
由，可得
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，
因为，
所以，不垂直，
所以平面不与平面垂直；
在中的坐标系中，设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查线面平行的向量表示、面面垂直的向量表示、平面与平面所成角的向量求法，属于较难题．
证出平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，根据，即可判定；
建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法即可判定；
在中的坐标系中，求出平面的法向量，利用，，即可求出结果．
19.本小题分
已知椭圆：的上顶点与右焦点连线的斜率为，的短轴的两个端点与左、右焦点的连线所构成的四边形的面积为．
求椭圆的标准方程．
已知点，若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线，的倾斜角互补时，试问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．
【答案】解：设椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，
由，得
因为短轴的两端点与椭圆左、右焦点连线所构成的四边形的面积为，
所以
由上面两个方程解得，，则
故椭圆的标准方程为
设直线的方程为，，
因为直线，的倾斜角互补，所以．
联立方程组消去得，
，
根据韦达定理可得，，
从而有
．
所以，，解得满足，
即直线的方程为，显然直线过定点
【解析】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于较难题．
利用条件，结合椭圆的性质求出，，即可得椭圆方程
设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合求得直线的方程为，即可判断直线过定点马鞍山二中2024-2025学年度高二上学期期中测试
数学 答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（请在横线上作答）
12 13 14
三、解答题（请在指定区域内作答）
15.本小题分
16本小题分
17.本小题分
18.本小题分
19.本小题7分
1
