河南省濮阳市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（PDF版，含答案）

河南省濮阳市 2023-2024 学年高一上学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = {1,3,5,7}， = { |3 ≤ < 6}，则 ∩ =( )
A. {1,3} B. {3,5} C. {5,7} D. {1,7}
2.设命题 ： > 0， < 0，则￢ 为( )
A. > 0， ≥ 0 B. ≤ 0， ≥ 0
C. 0 ≤ 0， 0 0 ≥ 0 D. 0 > 0， 0 0 ≥ 0
4 2
3.已知 = ，则 =( )
3 sin +cos
4 6 8
A. B. C. D. 2
5 7 7

4.已知角 (0 ≤ < 2 )的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合， (sin , cos )为角 的终边上一点，
6 6
则 =( )

A. B. C. D.
12 6 4 3
5.声音的强弱通常用声强级 ( )和声强 ( / 2)来描述，二者的数量关系为 = + ( , 为常数).一
般人能感觉到的最低声强为10 12 / 2，此时声强级为0 ；能忍受的最高声强为1 / 2，此时声强级为
120 .若某人说话声音的声强级为40 ，则他说话声音的声强为( )
A. 10 6 / 2 B. 10 8 / 2 C. 10 9 / 2 D. 10 10 / 2
6.已知函数 ( ) = 3(
2 2 + 5)在区间[1,2]上单调递减，则实数 的取值范围是( )
9 9 9
A. ( ∞, ] B. [ , 2] C. [2, ) D. [2, +∞)
4 4 4
1 1 1
7.已知函数 ( ) = ，则关于 的不等式 ( ) + 2 (ln ) > 0的解集为( ) +1 2
1
A. (0, +∞) B. (0, ) C. (0,1) D. (1, +∞)
2

8.若函数 ( ) = sin( )( > 0)在[0,2 ]上恰好有4个零点和4个最值点，则 的取值范围是( )
3
23 13 23 13 13 29 13 29
A. [ , ) B. ( , ) C. [ , ) D. ( , )
12 6 12 6 6 12 6 12
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.下列各式的值为 的是( )
2
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7 5
A. sin B. 2 sin
6 12 12

√ 2 tan
C. (cos + sin ) D. 8
2 12 12 1 tan2
8
10.已知 ， ， 为实数，则下列结论中正确的是( )
A. 若 2 > 2，则 > B. 若 > ，则 2 > 2
1 1
C. 若 > > 0， < 0，则 > D. 若 > > ，则 >


11.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < < )的部分图象如图，则( )
2 2
A. ( )的最小正周期为

B. ( )的图象关于点( , 0)对称
12
5
C. ( )在[ , ]上单调递增
6 3
D. ( )在[0, ]上有2个零点
( ) ( )
12.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + ) = + ，且 (1) = 1，则( )
A. (0) = 0 B. ( 1) = 2
C. ( )为奇函数 D. ( )在(0, +∞)上具有单调性
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
3
13.已知某个扇形的圆心角为135°，弧长为 ，则该扇形的半径为______．
2
14.已知 > 1且 3 = 81，则 = ______．
1
15.先将 = 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位长
2 16

度后得到函数 ( )的图象，若 ∈ ( , )，且 ( ) > 1，则 的取值范围是______．
4 4
3 1
( ) , ≤ 0
16.已知函数 ( ) = {√ 4 3 ，若 ( )的图象上存在关于直线 = 对称的两个点，则 的最大值
9 , > 0
为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合 = { | < < + 7}， = { | 2 9 + 18 ≤ 0}．
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(1)求 ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + ( > 0且 ≠ 1)的图象过坐标原点．
(1)求 的值；
(2)设 ( )在区间[ 1,1]上的最大值为 ，最小值为 ，若 + 3 = 0，求 的值．
19.(本小题12分)
1
已知 ∈ (0, ), = , tan(2 ) = √ 2．
2 3
(1)求tan( )；
(2)求 2 ．
20.(本小题12分)

已知函数 ( ) = + , ∈ ．

(Ⅰ)设函数 ( ) = ( ) 4，实数 满足 ( ) = 8，求 ( )；
(Ⅱ)若 ( ) ≥ 在 ∈ [4, +∞)时恒成立，求 的取值范围．
21.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2 2 + 2√ 3 ( > 0)图像的两个相邻的对称中心的距离为 ．
2
(1)求 ( )的单调递增区间；
1
(2)求方程| ( )| = 在区间[0, ]上的所有实数根之和．
2
22.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = log ( + 1)( > 0且 ≠ 1)的图象过点( , 1)． 2

(1)求不等式 (2 + 3) ( ) < 3的解集；
2
1 2 (2)已知 ∈ ，若存在 ∈ (0,2)，使得不等式 (| 1|) < ( )对任意 ∈ [ , 8]恒成立，求 的最
2
小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】9
3 3
15.【答案】( , )
16 16
1
16.【答案】
2
17.【答案】解：(1)由 2 9 + 18 = ( 3)( 6) 0，解得3 6，
所以 = { |3 6}，
所以 = { | < 3或 > 6}．
(2)由 ∪ = ，得 ，
所以 ≠ ，
< 3,
于是{
+ 7 > 6,
解得 1 < < 3，
所以 的取值范围为( 1,3)．
18.【答案】解：(1) ∵ ( ) = + ( > 0且 ≠ 1)的图象过坐标原点，
∴ (0) = 1 + = 0，解得 = 1．
(2)若0 < < 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递减，
∴ = ( 1)， = (1)，∴ ( 1) + 3 (1) = 0，
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1 1
即 1 + 3( 1) = 0，解得 = ( = 1舍去)．
3
若 > 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递增，
∴ = (1)， = ( 1)，∴ (1) + 3 ( 1) = 0，
1
即 1 + 3( 1) = 0，解得 = 3( = 1舍去)．

1
综上， 的值为 或3．
3
1 2√ 2
19.【答案】解：(1) ∵ ∈ (0, ), = ，∴ = ，
2 3 3

∴ = = 2√ 2，
cos
tan(2 ) √ 2 2√ 2
∴ tan( ) = tan[(2 ) ] = = = √ 2．
1+tan(2 )tan 1+( √ 2)×2√ 2
tan( ) 2√ 2 √ 2 √ 2
(2) = tan[ ( )] = = = ，
1+tan tan( ) 1+2√ 2×√ 2 5
2 2 10√ 2
∴ 2 = 2 = = = ．
sin2 +cos2 1+tan2 27
20.【答案】解：(Ⅰ)因为 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，

关于原点对称，且 ( ) = + = ( + ) = ( )，

则 ( )是 上的奇函数，所以 ( ) = ( )，
因为 ( ) = ( ) 4，所以 ( ) = ( ) 4 = 8，解得 ( ) = 4，
所以 ( ) = ( ) 4 = ( ) 4 = 0．

(Ⅱ)若 ≤ 0，则 ( ) = + 在[4, +∞)上单调递增，

因为 ( ) ≥ 在 ∈ [4, +∞)时恒成立，
16
所以 ( ) = (4) = 4 + ≥ ，解得 ≤ ，所以 ≤ 0． 4 3

若 > 0，由 > 0，可得 ( ) = + ≥ 2√ ，当且仅当 = ，即 = √ 时等号成立，

则 ( )在(0, √ )上单调递减，在(√ , +∞)上单调递增．
若 > 16，则 ( ) = (√ ) = 2√ ≥ ，解得0 < ≤ 4，与 > 16矛盾；
16 16
若0 < ≤ 16，则 ( ) = (4) = 4 + ≥ ，解得 ≤ ，所以0 < ≤ ． 4 3 3
16
综上， 的取值范围是( ∞, ]．
3
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21.【答案】解：(1) ( ) = √ 3 2 2 + 1 = 2 (2 ) + 1，
6

因为两个相邻的对称中心的距离为 ，
2
2
所以 ( )的最小正周期 为 ，而 = = ，解得 = 1，
2

所以 ( ) = 2 (2 ) + 1，
6

函数的单调递增区间满足：2 ∈ [ + 2 , + 2 ] ∈ ，
6 2 2

解得： ∈ [ + , + ] ∈ ，
6 3

所以 ( )的单调递增区间是[ , + ]( ∈ )；
6 3
1 1
(2)| ( )| = 的实数根，即 = | ( )|的图象与直线 =
2 2
的交点横坐标，
11
当 ∈ [0, ]时，2 ∈ [ , ]，
6 6 6
3
2 = 5 由 ，得 = ，由2 = ，得 = ，
6 2 3 6 2 6
1
作出 = | ( )|在[0, ]上的图象与直线 = ，
2
大致如图：
1
由图可知， = | ( )|的图象与直线 = 在[0, ]上有4个交点．其中两个关于直线 = 对称，
2 3
5
另外两个关于直线 = 对称，
6
5 7
所以4个交点的横坐标之和为 × 2 + × 2 = ．
3 6 3
7
即所求的实数根之和为 ．
3
1 1 1
22.【答案】解：(1)由 ( )的图象过点( , 1)，可得 ( ) = = 1，
2 2 2
∴ = 2， ( ) = log2( + 1)．
+2
∴ (2 + 3) ( ) = 2(2 + 4) 2 = [
2
2( + 2)] 1， 2 2

由不等式 (2 + 3) ( ) < 3，得[ 2( + 2)]
2 4 < 0，
2
1 7
∴ 2 < log2( + 2) < 2，∴ < + 2 < 4，解得 < < 2， 4 4
7
∴不等式的解集为( , 2)．
4
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1 2
(2)当 ∈ (0,2)， ∈ [ , 8]时，| 1| 0, > 0，
2
∵ ( )在[0, +∞)上单调递增，
1 2
∴当 ∈ [ , 8]时，不等式 (| 1|) < ( )恒成立，
2
1 2
∴当 ∈ [ , 8]时，不等式| 1| < 恒成立，
2

∴ 2 < 2 1 < 2 恒成立．
2
7 1
当 = 8时， 2 < 32 9 < 2 ，解得 < < ．
31 3
1 31
设函数 ( ) = 2 1，其图象开口向上，对称轴方程为 = ∈ (3, )，
2 7
1 1 1 1
∵ ( ) ( 2) = 1 1 2√ × = 1 √ 2 < 0，∴ ( ) < 2，
2 2
1
而 2 < 2 1 < 2 对任意 ∈ [ , 8]恒成立，∴ < < 8，
2

∴ ( )在[ , 8]上的最小值为 ( ) = 2 1．
2
7 1 2
原问题转化为存在 ∈ ( , )，使得 ( ) > 2，即( 1) + 1 > 0，
31 3 2
1 2
∵ > > 3，∴ 1 > 0，
2
2 2 1
要使( 1) + 1 > 0成立，只需( 1) × + 1 > 0，
2 2 3
解得 > 3 + √ 5( < 3 √ 5舍去)，
又 ∈ ，∴ 的最小值为6．
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