福建省某中学2024-2025学年高一上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

福建省某中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4,5}，集合 = {2,4}， = {3,4}，则 ∪ ( ) =( )
A. {2,3,4} B. {1,2,4,5} C. {2,5} D. {2}
2.sin( 1080°) =( )
1
A. B. 1 C. 0 D. 1
2
3.命题“ ∈ ， 2 + 1 = 0”的否定为( )
A. ∈ ， 2 + 1 ≠ 0 B. ∈ ， 2 + 1 = 0
C. ∈ ， 2 + 1 ≠ 0 D. ， 2 + 1 ≠ 0
4.已知 = ， = 0.8， = 20.1，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
5.已知 = { | = 2 , < 2}, = { | = ( )
, < 2}，则 ∩ =( )
2
1 1 1
A. B. ( , 1) C. (0, ) D. ( ∞, )
4 4 4
√ 2
6.已知幂函数 = ( )的图象过点(2, )，则下列关于 ( )说法正确的是( )
2
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 定义域为[0, +∞) D. 在(0, +∞)单调递减
7.已知函数 ( ) = log3 + 3 ， ( ) = 3
+ 3 ， ( ) = 3 + 3 的零点分别 1， 2， 3，则 1， 2， 3的
大小关系为( )
A. 2 < 3 < 1 B. 1 < 2 < 3 C. 2 < 1 < 3 D. 3 < 2 < 1
8.“不等式 2 + + > 0在 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
1 1
A. > B. 0 < < 1 C. > D. > 1
2 4
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中正确的命题是( )
1
A. 480° =
2
B. 函数 ( ) = 2 2 + 2 + 3在[0, +∞)上单调递增
C. cos4 sin4 = 2

D. 当 ≠ 0时恒有 + ≥ 2

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10.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满
足一定条件的图象为连续不断的函数 ( )，存在一个点 0，使得 ( 0) = 0，那么我们称该函数为“不动点”
函数，下列为“不动点”函数的是( )
1
A. ( ) = + 1 B. ( ) = , > 0

C. ( ) = 2 + 3 D. ( ) = 1
2
1
11.已知函数( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )的最小正周期为4，其图象的一个最高点为 ( , 2)，
3
下列结论正确的是( )
4
A. = ( )图象的一个对称中心为( , 0)
3
B. = ( )的图象关于 = 1对称
C. 若| ( 1) ( 2)| = 4，则| 1 2|的最小值为2
1 1
D. 将 ( )图象上各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 ( )图象；再将 ( )图象向右平移 个单位
2 6

长度，得到函数 = 2 ( + )的图象
6
| 3 |,0 < < 9
12.已知函数 ( ) = { ，若 ( ) = ( ) = ( ) = ( )，且 < < < ，则( )
2 ( + ),9 ≤ ≤ 17
4 4
A. = 1 B. + = 26
316
C. 的取值范围是(153,165) D. + + + 的取值范围是(28, )
9
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知5 = 3，3 = 2则log510 =___________．
4
14.当 = 时，函数 ( ) = sin( + )在区间( , )上单调(写出一个值即可)．
3 3
15.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到
码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10 处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万
元.那么两项费用之和的最小值是 万元．
1
2 + , 0 < ≤ 1 1
16.已知函数 ( ) = { ，若方程 ( ) = ( ∈ )有两个不同的实根 ， ，且满足 < <
3 3 1 2 1 2
+ , > 1 2
2 2
2
，则实数 的取值范围为 ．
3
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题12分)

设函数 ( ) = 2 (2 + )， ∈ ．
3
(1)求函数 ( )的最小正周期；
(2)求使函数 ( )取最大值时自变量 的集合．
18.(本小题12分)
在① ∩ = ，② ∩ ( ) = ，③ ∩ = 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下
列问题：
已知集合 = { | 1 < < 2 + 3}， = { | 7 ≤ ≤ 4}，若____，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
+ 1, ≤ 0
已知函数 ( ) = { ．
| 2 |, > 0
(1)当 = 2时，在给定的平面直角坐标系中作出函数 ( )的图象，并写出它的单调递减区间；
(2)若 ( 0) = 2，求实数 0．
20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 + 3( ∈ )．
(1)当 = 1时，求不等式 ( ) > 0的解集；
(2)解不等式 ( ) > 0．
21.(本小题12分)
生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温.脉搏率 是单位时间心跳的次
数，医学研究发现，动物的体重 (单位： )与脉搏率 存在着一定的关系.如表给出一些动物体重与脉搏率
对应的数据，图1画出了体重 与脉搏率 的散点图，图2画出了 与 的散点图．
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动物名 体重 脉搏率
鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 200
小狗 5000 120
大狗 30000 85
羊 50000 70
为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：
① = + ② = +
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
(2)不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出 关于 的函数解析式；
(3)若马的体重是兔的256倍，根据(2)的结论，预计马的脉搏率．
(参考数据： 2 ≈ 0.3， 3 ≈ 0.5. )
22.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + ，其中 是自然对数的底数， ∈ ．
(1)若函数 = ( )在区间(1, +∞)内有零点，求 的取值范围；
(2)当 = 4时， ∈ (0, +∞)， ( ) ≥ + 3 ，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】1
5
14.【答案】
6
15.【答案】8
9
16.【答案】( , +∞)
2
2
17.【答案】解：(1) ( )的最小正周期为 = = ；
2

(2)依题意得，2 + = 2 + ， ∈ ，解得 = + ， ∈ ．
3 2 12

所以函数 ( )取最大值时自变量 的集合为{ | = + , ∈ }．
12
18.【答案】解：若选择① ∩ = ，
则当 = 时，即 1 ≥ 2 + 3，即 ≤ 4时，满足题意，
> 4 > 4
当 > 4时，应满足{ 或{ ，解得 ≥ 5，
2 + 3 ≤ 7 1 ≥ 4
综上可知，实数 的取值范围是( ∞, 4] ∪ [5, +∞)．
若选择② ∩ ( ) = ，
则 是 的子集， = ( ∞, 7) ∪ (4, +∞)，
当 1 ≥ 2 + 3，即 ≤ 4时， = ，满足题意；
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> 4 > 4
当 > 4时，{ 或{ ，解得 ≥ 5，
2 + 3 ≤ 7 1 4
综上可得，实数 的取值范围是( ∞, 4] ∪ [5, +∞)．
若选择③ ∩ = ，则 ，
当 1 ≥ 2 + 3，即 ≤ 4时， = ，满足题意；
1 ≥ 7 1
当 > 4时，{ ，解得 4 < ≤ ；
2 + 3 ≤ 4 2
1
综上可知，实数 的取值范围是( ∞, ]．
2
2 + 1, ≤ 0
19.【答案】解：(1)当 = 2时， ( ) = { ，图象如图所示： | 2 |, > 0
由图可知 ( )的单调递减区间为( ∞, 0]，(0,1]．
(2)依题意，当 0 ≤ 0时， 0 + 1 = 2，即 0 = 1，
1
若 ≥ 0，方程无解；若 < 0，得 0 = ；
1
当 0 > 0时，|log2 0| = 2，即log2 0 = ±2，解得 0 = 4或 0 = ． 4
1 1 1
综上所述，当 ≥ 0时， 0 = 4或 0 = ；当 < 0时， 0 = 或 0 = 4或 0 = ． 4 4
20.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 2 + 2 + 3，
( ) > 0即 2 + 2 + 3 > 0，可化为 2 2 3 < 0，
方程 2 2 3 = 0的根为： 1 = 1， 2 = 3，
所以，不等式的解为： 1 < < 3．
因此 ( ) > 0的解集为{ | 1 < < 3}．
(2) 2 + 2 + 3 > 0，
3
①当 = 0时，不等式化为2 + 3 > 0，解得 > ．
2
②当 > 0时，抛物线开口向上，此时△= 4 12 ，
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1
( ) △< 0，即 > 时，方程 2 + 2 + 3 = 0无解，不等式解为： ．
3
1
( ) △= 0，即 = 时，方程 2 + 2 + 3 = 0有唯一解， = 3，不等式解为： ≠ 3．
3
1
( ) △> 0，即0 < < 时，方程 2 + 2 + 3 = 0有两解，
3
1 √ 1 3 1+√ 1 3
1 = ， 2 = ，且 1 < 2，
1 √ 1 3 1+√ 1 3
不等式解为 < 或 > ．

③ < 0时，抛物线开口向下，此时△= 4 12 ，
1 √ 1 3 1+√ 1 3
显然△> 0，方程 2 + 2 + 3 = 0有两解， 1 = ， 2 = ，且 1 > 2
．
1+√ 1 3 1 √ 1 3
不等式解为 < < ．

综上所述，
1+√ 1 3 1 √ 1 3
当 < 0时，不等式解集为{ | < < }；

3
当 = 0时，不等式解集为{ | > }；
2
1 1 √ 1 3 1+√ 1 3
当0 < < 时，不等式解集为{ | < 或 > }；
3
1
当 = 时，不等式解集为{ | ≠ 3}；
3
1
当 > 时，不等式解集为 ．
3
21.【答案】解：(1)模型② = + 最符合实际．
根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可选择一次函数来刻画 和 的关系．
(2) 200 = 2 + 2 ≈ 2.3， 2000 = 3 + 2 ≈ 3.3， 300 = 2 + 3 ≈ 2.5，
300 = 300 +
由题意知，{ ，
200 = 2000 +
1
=
解得{ 4，
25
=
8
1 25 25 1
所以 = + ，整理得 = 10 8 4，
4 8
25 1
所以 关于 的函数解析式为 = 10 8 4．
(3)设马的体重和脉搏率分别为 1， 1，兔的体重和脉搏率分别为 2， 2，

由题意知， 1 = 256，
2
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1

4 1 1 1 1
所以 1 = 1 = ( 1) 4 = (256) 4 81 = (2 ) 4 = ， 2 4 2 4 2
因为 2 = 200，所以 1 = 50，即马的脉搏率为50．
22.【答案】解：(1)解法一，当 ≥ 0时， ( ) = + ≥ > 0，没有零点；

当 < 0时，函数 = ( )是增函数，则需要 (1) = + < 0，解得 < 2．

此时 (ln( )) = ln( ) + ln( ) = 1 > 2 1 > 0，
满足零点存在定理 (1) (ln( )) < 0．
因此函数 = ( )在区间(1, +∞)内有一个零点，
综上所述， 的取值范围为( ∞, 2).
解法二， = ( )的零点就是方程 + = 0的解，
即 + = 0在区间(1, +∞)上有解，
方程 + = 0变形得 2 = ，
当 ≥ 0时，方程无解，
ln( ) ln( )
当 < 0时，解为 = ，则 > 1，解得 < 2，
2 2
综上所述， 的取值范围为( ∞, 2).
(2)解法一，由题意知， ( + 4 ) ≥ + 3 ，即 ( + 4 3) ≥ ，
因为 + 4 3 ≥ 2√ 4 3 = 1，当且仅当 = 4 ，即 = ln2时，取等号，

则 ≥
+4
，
3
1
又 = ，
+4 3 2 3 +4
令 = ， ∈ (1, +∞)，
1 1 1 4 3
则 2 = 2 = 3 2 7 ≤ (当且仅当 = 时等号成立)， 3 +4 3 +4 ( ) + 7 2
2 4
4 4
所以 ≥ ，即 的取值范围是[ , +∞)．
7 7
解法二，由题意知， ( + 4 ) ≥ + 3 ，即 2 3 + 4 1 ≥ 0，
令 = ， ∈ (1, +∞)，即 2 3 + 4 1 ≥ 0，
当 ≤ 0时，显然不成立，因此 > 0．
3 7
对于函数 ( ) = 2 3 + 4 1， ∈ (1, +∞)， ( ) = ( ) = 1， 2 4
7 4 4
则 1 ≥ 0，解得 ≥ ，即 的取值范围是[ , +∞)．
4 7 7
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