北京市某中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市某中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线 +1 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 45° C. 120° D. 150°
2.如果向量 = (2, 1,3), = ( 1,2, 3)，则| + 2 | =( )
A. √ 2 B. √ 6 C. 2√ 3 D. 3√ 2
3.已知 ， 是两个不重合的平面，且直线 ⊥ ，则“ ⊥ ”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，点 是 的中点．已
知 = ， = ， = ，则 =( )
1
A. + +
2
1
B. +
2
1
C. +
2
1
D. + +
2
5.已知 (1,0, 1)、 (4,3,2)，则线段 上靠近 的三等分点的坐标为( )
A. (0, 1, 2) B. (2,1,0) C. (3,2,1) D. (5,4,3)
6.设直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则下列说法正确的是( )
①若 , = 30°，则 与 所成的角为30°；
②若 与 所成角为60°，则 , = 30°；
③若 , = 60°，则平面 与 所成的锐二面角为60°；
④若平面 与 所成的角为60°，则 , = 60°
A. ③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④
7.若点( , 0)与( , 0)的中点为( 3,0)，则直线 = + 必定经过点( )
A. (1, 6) B. (1,6) C. ( 1,6) D. ( 1, 6)
8.三棱锥 中， ， ， 两两垂直， = 1， = = 2，则二面角 的余弦值为( )
√ 6 √ 3 √ 6 √ 30
A. B. C. D.
6 3 3 6
第 1 页，共 10 页
9.三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ，若 = 2√ 3， = 2，则三棱锥 的体积的最大
值为( )
7 4
A. 4 B. C. 2 D.
3 3
10.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 、 分别是棱 、 1的中点， 是侧面 1 1内
一点(包括边界)，则以下命题中，不正确的是( )
A. 平面 1 截正方体所得截面为等腰梯形
B. 存在点 ，使 1 ⊥平面
3√ 2
C. 若 1 //平面 ，则线段 1 长度的取值范围是[ , √ 5] 2
√ 6
D. 若点 在线段 1 上，则直线 1 与平面 1 1 所成角的正弦值的最大值为 3
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.直线 过点 (1,2)，且它的一个方向向量为(2,1)，则直线 的一般式方程为______．
12.若 = (1,0, 1)， = (0,2,1)， = (2, , 1)为共面向量，则 的值为______．
13.正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1和 1 1的中点，则直线 和 所成角的余弦值为______．
14.如图，在三棱锥 中， ⊥ ， ⊥平面 ， ⊥ 于点 ，
是 的中点， = 1，则 的最小值为______．
15.如图，四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，△ 是等边三
角形，平面 ⊥平面 ， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 为
△ 及其内部的动点，满足 //平面 ，给出下列四个结论：
第 2 页，共 10 页
①直线 与平面 所成角为45°；
②二面角 的余弦值为2√ 7；
7
③点 到平面 的距离为定值；
1
④线段 长度的取值范围是[ , 1]．
2
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知平行四边形 的三个顶点分别为 ( 1,4)， ( 3,0)， (1,3)．
(1)求边 所在直线的方程；
(2)求四边形 的面积．
17.(本小题12分)
2 √ 21
在△ 中， = 2√ 7， = ，从① = 2 ；② = ；③ = 2这三个条件中任选一个作为题目的
3 14
已知条件．
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)求△ 的面积．
18.(本小题12分)
已知三棱锥 ，平面 ⊥平面 ，点 是 的中点， = = = 2， = = √ 2．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
19.(本小题12分)
在矩形 中， = 3， = 2，点 是线段 上靠近点 的一个三等分点，点 是线段 上的一个动点，
且 = (0 ≤ ≤ 1).如图，将△ 沿 折起至△ ，使得平面 ⊥平面 ．
第 3 页，共 10 页
1
(1)当 = 时，求证： ⊥ ；
2
1
(2)是否存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
3
20.(本小题12分)
已知正方体 1 1 1 1，点 ， ， 分别为 ， ， 1 1的中点，直线 1 1交平面 于点 ．
(1)证明： 为 1 1中点；
(2)求异面直线 1 与 所成角的大小；
4√ 21
(3)若点 为棱 1 1上一点，二面角 1的余弦值为 ，求
1 的值．
21 1 1
21.(本小题12分)
对于向量 0 = ( 0 , 0 , 0)，若 0， 0， 0三个实数互不相等，令向量 +1 = ( +1 , +1 , +1)，其中 +1 = |
|， +1 = | |， +1 = | |，( = 0,1,2,… )．
(Ⅰ)当 0 = (5,2,1)时，直接写出向量 4， 5， 6， 7；
(Ⅱ)证明：对于 ∈ ，向量 中的三个实数 ， ， 至多有一个为0；
(Ⅲ)若 0， 0， 0 ∈ ，证明： ∈ ， = +3．
第 4 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 2 + 3 = 0
12.【答案】2
2
13.【答案】
5
1
14.【答案】
8
15.【答案】②③④
16.【答案】解：平行四边形 的三个顶点分别为 ( 1,4)， ( 3,0)， (1,3)．
4 0
(1)因为直线 的斜率为 = = 2，又平行四边形 ，
1+3
所以直线 的斜率为2，
所以直线 的方程为 3 = 2( 1)，即2 + 1 = 0．
(2)因为| | = √ ( 1 +3)2 + (4 0)2 = 2√ 5，
| 2 4+1|
点 到直线 的距离为 = = √ 5，
√ 5
所以四边形 的面积为 = 2√ 5 × √ 5 = 10．
17.【答案】解：( )由题知，三角形为钝角三角形，
2
2+ 2 2+4 2 28 1
选①，由余弦定理得： = = = ，解得 = 2， = 4，
2 2 2 2
√ 3
4× √ 21
由正弦定理得： = ，所以 = = 2 = ；
2√ 7 7
√ 21 5√ 7
选②，因为 = ，所以 = ，
14 14
第 5 页，共 10 页
√ 21 1 5√ 7 √ 3 √ 21
所以 = sin( + ) = + = × ( ) + × = ；
14 2 14 2 7
√ 3
2× 2 √ 21选③由正弦定理得： = ， = = = ，
2√ 7 14
5√ 7
所以 = ，
14
√ 21 1 5√ 7 √ 3 √ 21
所以 = sin( + ) = + = × ( ) + × = ；
14 2 14 2 7
2 1 1 √ 3
( )选①，因为 = 2， = 4， = ，所以△ 的面积 = = × 2 × 4 × = 2√ 3．
3 2 2 2
√ 21
2√ 7×
选②，由正弦定理得： = ， = = 14 = 2，
√ 3
2
1 1 √ 21
所以△ 的面积 = = × 2 × 2√ 7 × = 2√ 3．
2 2 7
√ 21
选③，因为 = 2√ 7， = 2， = ，
7
1 1 √ 21
所以△ 的面积 = = × 2 × 2√ 7 × = 2√ 3．
2 2 7
18.【答案】(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 = = = 2，所以△ 为正三角形，所以 ⊥ ，
因为 = = √ 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)解：由(1)知 ⊥ ， ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 、 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
所以 ， ， 两两互相垂直，
以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0, 1,0)， (1,0,0)， (0,1,0)， (0,0, 3)， 1 √ 3√ (0, , )，
2 2
所以 1 √ 3 = (1, , )， = (1,1,0)， = (0,1, √ 3)，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{
= 0 + = 0，即{ ，
= 0 + √ 3 = 0
第 6 页，共 10 页
令 = 1，则 = √ 3， = √ 3，所以 = ( √ 3, √ 3, 1)，
设直线 与平面 所成角为 ，
√ 3 √ 3| √ 3 + |
则 = |cos < ， | | √ 42 > | = = 2 2 ，
|
=
| | | √ 2×√ 7 14
所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 42．
14
(3)解：由(2)知平面 的一个法向量为 = ( √ 3, √ 3, 1)， = (1, 1,0)，
| | | √ 3 √ 3| 2√ 21
所以点 到平面 的距离为 = = = ．
| | √ 7 7
19.【答案】解：(1)
1
当 = 时，点 是 的中点．
2
1 1
∴ = = 1， = = 1．
2 3
∵ ∠ = 90°，∴ ∠ = 45°．
2
∵ = = 2， = 2，∠ = 90°，
3
∴ ∠ = 45°．
∴ ⊥ ．
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
(2)以 为原点， , 的方向为 轴， 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系 ．
则 (2,0,0)， (3,0,0)， (3,2 , 0)．
取 的中点 ，
∵ = = 2，∴ ⊥ ，
∴易证得 ⊥平面 ，
∵ = 2√ 2，∴ = √ 2，∴ (1,1,√ 2)．
∴ = ( 2,1 2 ,√ 2)， = ( 1,1, √ 2)， = ( 2,1, √ 2)．
第 7 页，共 10 页
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 + +√ 2 = 0,
则{
= + + √ 2 = 0,
令 = √ 2，则 = (0, 2,√ 2)．
设 与平面 所成的角为 ，
| 2×0+( 2)×(1 2 )+2| 1
则 = |cos
, | = =
2 3，
√ 6×√ 6+(1 2 )
1 7
解得 = 或 = (舍去)
2 10
1 1
∴存在实数 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为 ，此时 = ．
3 2
20.【答案】解：(1)证明：连接 ， ，
因为平面 //平面 1 1 1 1， 平面 ，
所以 //平面 1 1 1 1，
又因为 平面 ，平面 ∩平面 1 1 1 1 = ，
所以 // ，
又因为 // ， // 1 1，所以 // 1 1，
又因为 为 1 1的中点，所以 为 1 1中点；
(2)以 为坐标原点， , , 1所在的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立如图所示的坐标系：
设正方体的棱长为2，
则 1(0,0,2)， (1,2,0)， (2,1,0)， (0,1,2)，
第 8 页，共 10 页
则 1 = (1,2, 2), = ( 2,0,2)，

所以cos
1 6 √ 2
1 , = = = ， | | | 1 | 3 2√ 2 2

设异面直线 1 与 所成角为 ∈ (0, ],2
则 √ 2

= ，所以 = 4，即异面直线 1 与 所成角的大小为4； 2
(3)设 (2, , 2)(0 ≤ ≤ 2)，因为 (2,0,0)， (1,0,2)， 1(2,2,2)，
所以 = ( 1,0,2), 1 = (0,2,2), = (0, , 2)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ 1 ，

{
= + 2 = 0
所以 ，取 = 1，可得 = (2, 1,1)，
1 = 2 + 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( 0 , 0 , 0)，则 ⊥ , ⊥ ，
= 0 +2 0 = 0{ 2所以 ，取 = 1，可得 = (2, , 1)，

0
= + 2 = 0 0 0
2
5+
cos , = =
4√ 21
所以 =| | | | 4 6 5+ 21
，
√ √
2
5+ 4
2
设 = ，则有 =
√ √ 21
，
√ 6 5+ 2
整理得：5 2 14 3 = 0，解得 = 3(
2 2
负根舍去)，即 = 3，所以 = ，
3
2
1 所以 3 1= = ．
1 1 2 3
21.【答案】解：(Ⅰ)当 0 = (5,2,1)时，
4 = (1,1,0)， 5 = (0,1,1)， 6 = (1,0,1)， 7 = (1,1,0)；
(Ⅱ)证明：假设 ， ， 三个数中有2个为0，或三个数均为0，
当 ， ， 三个数中有2个为0时，由题意得 ≥ 1，
设 = = 0，( ≥ 1)， ≠ 0，
则 = | 1 1| = 0， = | 1 1| = 0，即 1 = 1 = 1，
这与 = | 1 1| ≠ 0矛盾；
(2) ， ， 三个数均为0时，由题意得 ≥ 1，
则 = | 1 1| = 0， = | 1 1| = 0， = | 1 1| = 0，
∴ 1 = 1 = 1 = (定值)，
由 0， 0， 0三个数互不相等，得 ≥ 2，且 1 = | 2 2| = ，
1 = | 2 2| = ， 1 = | 2 2| = ，
第 9 页，共 10 页
设 2 ≤ 2 ≤ 2，则 2 2 = ， 2 2 = ， 2 2 = ，
由( 2 2)+ ( 2 2)= 2 2，得2 = ，
∴ = 0，∴ 1 = 1 = 1 = 0，
以此类推，得到 2 = 2 = 2 = 0， 3 = 3 = 3 = 0， ， = = = 0， 0 = 0 = 0 = 0，
这与 0， 0， 0三个数互不相等矛盾，
∴对于 ∈ ，向量 中的三个实数 ， ， 至多有一个为0；
(Ⅲ)证明：设 ， ， 三个数中最大的为 ，记作 = { , , }，
∵ +1 = | |， +1 = | |， +1 = | |，且 ， ， ∈ ，
∴ +1 ≤ ，其中 = 0，1，2，3，
由题意可知 ∈ ，其中 = 0，1，2，3，
∴ 1， 2， 3， 不可能单调递减，即必存在某个 ∈
，使得 +1 = ，
根据 +1的定义，可得向量 = ( , , )中的三个数 ， ， 中必有0，
由(Ⅱ)知 ， ， 中有且仅有一个为0，设 = 0，
0， 0， 0 ∈ ，证明： ∈ ， = +3．
(1) ≠ ，由题意不妨设0 < < ，
则 +1 = | | = ， +1 = | | = ， +1 = | | = ，
+1 = = ，
∴ +2 = | +1 +1| < { , } < +1，
同理， 2 < +1， +2 < +1，∴ +2 < +1，
∵ ∈ ，∴此种情形不可能一直出现，至多出现 1次，
∴一定能找到某个 ∈ ，使得 = ；
(2)若 = ，由题意得 = (0, , )， 1 = ( , ,0)， 1 = (0, , )，
∴存在正整数 = ，使得 = +3，
综上， ∈ ， = +3．
第 10 页，共 10 页