专题03 解答题（含解析）-2024-2025学年浙江地区八年级数学上学期期末备考真题分类汇编
文档属性
| 名称 | 专题03 解答题（含解析）-2024-2025学年浙江地区八年级数学上学期期末备考真题分类汇编 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-08 08:01:24 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 解答题
一．解答题（共50小题）
1．（2023秋 瓯海区校级期末）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC﹣CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为 （cm），BP的长为 （cm）（用含t的式子表示）；
（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；
（3）在点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，直接写出PQ中点O经过的路径长．
2．（2023秋 长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数．
3．（2023秋 江北区期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
4．（2023秋 吴兴区期末）
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元．
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
5．（2023秋 浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．
6．（2023秋 吴兴区期末）如图，在△ABC中，E是AB上一点，AC与DE相交于点F，F是AC的中点，AB∥CD．
（1）求证：△AEF≌△CDF；
（2）若AB＝10，CD＝7，求BE的长．
7．（2023秋 北仑区期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拍照打卡板
素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFG和等腰三角形ABC组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到BC的距离为1.2米，FG＝0.8米，DG＝1.5米．
素材二 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二 探究等腰三角形ABC面积 假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S．求S关于x的函数表达式．
任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值．
8．（2023秋 滨江区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若∠A＝60°，△ADC的中线DG＝1，求BC的长．
9．（2023秋 莲都区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，3）和点B（1，﹣1）．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点C（a，2）向右平移3个单位后恰好落在直线AB上，求a的值．
10．（2023秋 莲都区期末）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝20°，∠E＝75°，求∠BCF的度数．
11．（2023秋 滨江区期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上.
测量示意图
（1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段 的长度．
（2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
（3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并说明方案的可行性．
12．（2023秋 莲都区期末）如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D．
（1）求点A，点D的坐标．
（2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值．
（3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标．
13．（2023秋 长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
14．（2023秋 鄞州区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0）．若将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
（1）点D的坐标为 ；
（2）若点P是y轴上一动点，若△PAC的面积等于△CAD的面积，请求出点P的坐标；
（3）若点E为x轴上一动点，若△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
15．（2023秋 余姚市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
16．（2023秋 鄞州区期末）【基础练习】
（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，求BE的长．
【类比探究】
（2）如图2，AD是△ABC的角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，点E在AB上，AE＝AC．求证：AB＝AC+CD．
【拓展延伸】
（3）如图3，点P是等边△ABC外一点，连结PA，PC，PB，恰好满足PA＝AB．AD平分∠PAB交PC于点D，线段AD，CD，PD之间有什么关系？请作出猜测并进行证明．
17．（2023秋 北仑区期末）如图，已知AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若∠B＝36°，∠APC＝72°．
①求∠E的度数；
②求证：CP＝CE．
18．（2023秋 瓯海区校级期末）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，AE＝BF，CE＝DF，AD＝BC．
（1）求证：△ACE≌△BDF．
（2）若∠CDF＝55°，求∠ACE的度数．
19．（2023秋 海曙区校级期末）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．
20．（2023秋 东阳市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
（2023秋 鄞州区期末）解方程：．
22．（2023秋 鄞州区期末）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有10cm高的水，容器乙放了一个长方体，且容器底面积是长方体底面积的4倍．从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平．设容器甲中的液面高为y1（单位：cm），容器乙中的液面高为y2（单位：cm）．小科绘制了y1、y2关于时间x（单位：s）的函数图象如图2所示．回答下列问题：
（1）a的值为 ；容器甲的液面下降速度是 cm/s：
（2）求b的值以及y2关于x的函数表达式；
（3）当容器甲中的液面高y1与容器乙中的液面高y2相差2cm时，求此时x的值．
23．（2023秋 鄞州区期末）如图，在△ABC中，，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E在AC边上运动（不与点A重合），AE＜CE，将△CDE沿DE折叠至△FDE，EF分别与AD，AB交于G，H两点．
（1）求证：∠BDF＝2∠ADE；
（2）如图1，若DG＝3AG，求△AGE的周长；
（3）如图2，设DF与AB交于点M，在整个运动过程中，记△FMH与△AEG的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y．
24．（2023秋 鄞州区期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以a+b﹣2≥0，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取到等号）特别地，a+＝2（当且仅当a＝1时取到等号），因此，当a＞0时，a+有最小值2，此时a＝1．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数y＝2﹣x﹣（x＞0）的最大值为 ．
（2）求函数y＝4x+（x＞1）的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的a+b≥2提出猜想：a+b+c≥3（当且仅当a＝b＝c时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
设a，b，c是非负实数，求的最小值．
25．（2023秋 鄞州区期末）（1）已知a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，求的值．
（2）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝2，ab+c＝c2，求正数c的最大值．
26．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
27．（2023秋 慈溪市期末）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，点D在AB的延长线上，连结AE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求∠DAE的度数．
28．（2023秋 台州期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）请在x轴上画出点P的位置，使得PB+PC最短，并直接写出点P的坐标．
29．（2023秋 台州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．
30．（2023秋 台州期末）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝CD，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：BC＝EF．
31．（2023秋 镇海区校级期末）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：
x（元/本） … 15 25 …
y（本） … 700 500 …
（1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价．
（3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由．
32．（2023秋 鄞州区期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
33．（2023秋 上城区期末）一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）．
（1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式；
（2）若有另一个一次函数y2＝bx+a．
①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2；
②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值．
34．（2023秋 南浔区期末）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验，实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1（%）与时间t（小时）的关系，数据记录如表1．
实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2．
电池充电状态
时间t（小时） 0.5 1 1.5 2
电量y1（%） 25 50 75 100
表1
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 80 100 140
电量y2（%） 100 60 50 30
表2
任务一：计算表1中每隔0.5小时电池电量的增加量；
【建立模型】
任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式；
【解决问题】
任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？
35．（2023秋 台州期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
（1）如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形；
（2）如图2，在直线MN上求作点P，使得∠APM＝∠BPN．
36．（2023秋 西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE．
（2）若AF＝EF，求∠B的度数．
37．（2023秋 江北区期末）在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长．
38．（2023秋 江北区期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）当定价为200元时，会空 间房，每天的利润是 元．
（2）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
39．（2023秋 路桥区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数．
40．（2023秋 江北区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别是D，E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）猜想线段AD，BE，DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由．
（2023秋 余姚市期末）解一元一次不等式组：．
42．（2023秋 舟山期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
43．（2023秋 江北区期末）现有一段20千米长，可供长跑爱好者跑步的笔直跑道MN，已知甲、乙两人都从M点出发，甲跑到途中的P点后原地休息了20分钟，之后继续跑到N点，共用时间2小时；乙虽然比甲晚出发半小时，但和甲同时到达N点．假设两人跑步时均为匀速，在甲出发后的2小时内两人离开M点的距离y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）图中B点的坐标为
（2）甲从点P跑到点N的速度为 千米/时；
（3）求图中线段CD的表达式．并写出定义域．
44．（2023秋 江北区期末）如图，在正方形ABCD中，若P是AD上一点，点A关于直线BP的对称点E，连结CE，且CE的延长线交BP延长线于点F，连结DE．
（1）若∠ABP＝25°，求∠FCB和∠F的度数．
（2）若P是AD中点；
①求证：DE∥BF；
②若AB＝6时，直接写出CF的长．
45．（2023秋 宁波期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
46．（2023秋 鄞州区校级期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，请求出此时小军骑行的时间．（直接写出答案）
47．（2023秋 瓯海区校级期末）已知一次函数的图象经过点A（1，8）和点B（﹣3，0），
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点（﹣1，5）在不在该图象上，并说明理由．
48．（2023秋 东阳市期末）在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
49．（2023秋 瓯海区校级期末）如图1，图2都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段AB的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰△ABC，使点C在格点上．
（1）在图1中，画以AB为腰的三角形；
（2）在图2中，画以AB为底的三角形．
50．（2023秋 上城区期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据：双层部分长度x（cm）261014a单层部分长度y（cm）1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围．
任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式．
任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．【答案】（1）t，6﹣t；
（2）满足条件的t的值为2或4或8．
（3）3cm．
【解答】解：（1）由题意BQ＝t cm，PB＝（6﹣t）cm．
故答案为：t，6﹣t；
（2）如图1中，当PQ⊥BC时，
∵∠PQB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2．
如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB＝2PB，
∴t＝2（6﹣t），
∴t＝4．
如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣t），
∴t＝8，
综上所述，满足条件的t的值为2或4或8．
（3）如图，过Q作QH∥BC交AB于H，
则△AHQ是等边三角形，
∴AQ＝AH，
∵AC＝AB，
∴CQ＝BH，
∵CQ＝BP，
∴BH＝BP，
∴QE＝PE，
∴点E是PQ的中点，
∴在点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，PQ中点O经过的路径长为BC＝3（cm）．
2．【答案】（1）证明见解答；（2）∠BAC＝110°．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）解：∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵∠BDE＝55°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°．
3．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，
则∠APF＝∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x+y＝60°，
∴x+y＝30°
∴∠EPF＝x+y＝30°
（3）不变．
设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝360﹣∠DPB﹣∠BPN﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t，
∴＝＝．
4．【答案】（任务1）该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元；
（任务2）（1.6m+291），（1.8m+288）；
（任务3）当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
【解答】解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元；
（任务2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）；
在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）．
故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）；
（任务3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288，
解得：m＞15，
又∵0＜m＜40，
∴15＜m＜40．
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
5．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图，连接AC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠EAC＝∠FAC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴CB＝CD．
6．【答案】（1）证明见解答；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（ASA），
（2）解：由（1）得：△AEF≌△CDF，
∴AE＝CD，
∵AB＝10，CD＝7，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣CD＝10﹣7＝3．
7．【答案】见试题解答内容
【解答】解：任务1：他的说法对，理由如下：
如图：过点B作BH⊥DC于点H，
∴∠BHC＝90°．
∵四边形EFGD是长方形，
∴∠DGC＝90°．
∴∠BHC＝∠DGC，
在△BCH与△DCG中，
，
∴△BCH≌△DCG（AAS），
∴BH＝DG．
∴最高点B到地面的距离就是线段DG长．
任务2：∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，
∴设BF＝CG＝x，则BC＝2x+0.8．
又△ABC的高为1.2米，
∴三角形ABC的面积S＝×（2x+0.8）×1.2＝1.2x+0.48．
任务3：由题意，当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
又长方形的面积为：DH DE＝0.8×1.5＝1.2（平方米），
∴1.2×85+（1.2x+0.48）×100≤180．
解得x≤0.25，
故CG长度的最大值为0.25米．
8．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝90°，
又∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∴∠DBF+∠DAC＝180°﹣∠BEA＝90°，
∴∠DAC＝∠DFB，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝180°﹣∠ABC﹣∠BDF＝45°＝∠ABC，
∴BD＝CD，
在△ACD和△FBD中，
，
∴△ACD≌△FBD（AAS），
∴AC＝BF；
（2）解：如图，
在Rt△ACD中，中线DG＝1，
∴AC＝2DG＝2，
∵∠A＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝1，
∴CD＝＝＝BD，
∴BC＝＝．
9．【答案】（1）y＝﹣2x+1；
（2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）和点B（1，﹣1）代入y＝kx+b，
得，
解得：k＝﹣2，b＝1，
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+1；
（2）点C（a，2）向右平移3个单位后坐标为（a+3，2），
∵点（a+3，2）在直线AB上，
∴2＝﹣2（a+3）+1，
解得：．
10．【答案】（1）证明见解析；
（2）95°．
【解答】（1）证明：∵AF＝CD，
∴AF﹣CF＝CD﹣CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵∠B＝∠E，∠E＝75°
∴∠B＝75°，
∵∠BCF是△ABC的一个外角，
∴∠BCF＝∠A+∠B，
∵∠A＝20°，
∴∠BCF＝20°+75°＝95°．
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB，
∴河宽AB的长度就是线段BC的长度．
故答案为：BC；
（2）第二小组的方案可行，理由如下：
∵O是BE中点，
∴OB＝OE，
∵AB⊥BE，EF⊥BE，
∴∠ABO＝∠FEO＝90°，
在△ABO和△FEO中，
，
∴△ABO≌△FEO（ASA），
∴EF＝AB，
∴河宽AB的长度就是线段EF的长度．
（3）见表格，
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠ACB＝65°，CD交AB延长线于D，
测量示意图
只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠DBC＝90°，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴BD＝AB，
∴河宽AB的长等于线段BD的长．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，
令y＝0，可得0＝﹣2x﹣6，解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
设直线n的解析式为y＝kx+b，
∵直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），
∴，解得，
∴直线n的解析式为y＝x﹣1，
联立y＝﹣2x﹣6得，解得，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP，
∴PE＝PC，E（0，1），
∴PC+PD＝PD+PE，此时PC+PD＝DE最小，PA+PB＝AB最小，
∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），B（2，0），
∴DE＝＝，AB＝2+3＝5，
∴PA+PB+PC+PD的最小值为5+；
（3）∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
∴AB＝2+3＝5，AD＝＝，BD＝＝2，
设M（m，﹣2m﹣6），N（n，n﹣1），
当△MND≌△BAD时，ND＝AD＝，MD＝BD＝2，
∴＝2，＝，
解得m＝0或﹣4，n＝0或﹣4，
∴点M和点N的坐标分别为（﹣4，2）、（0，﹣1）或（0，﹣6）、（0，﹣1）或（﹣4，2）、（﹣4，﹣3）或（0，﹣6）、（﹣4，﹣3）．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D，
又∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴△ADF 是等腰三角形；
（2）∵F为AB的中点，
∴AF＝BF，
∵△ADF是等腰三角形，
BF＝AF＝AD＝13，
∵DE⊥BC，
∴EF＝＝12，
答：EF的长为12．
14．【答案】（1）（6，4）；
（2）（0，）或（0，﹣）；
（3）（，0）或（﹣4，0）或（﹣1，0）或（9，0）．
【解答】解：（1）∵B（﹣4，0），将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
∴D的坐标为（﹣4+10，0+4）即D的坐标为：（6，4）；
故答案为：（6，4）；
（2）设点P（0，a），
△CAD的面积为4×6﹣×3×6﹣×2×4﹣×4×3＝11，
△PAC的面积为×|a﹣3|×4＝2|a﹣3|，
∵△PAC的面积等于△CAD的面积，
∴2|a﹣3|＝11，
解得a＝或﹣，
∴P的坐标为（0，）或（0，﹣）；
（3）△EAC为等腰三角形，当AC为底时，点E在AC的垂直平分线上，如图：
∴AE＝CE，
设OE＝x，CE＝AE＝4﹣x，
在Rt△AOE中，32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴E的坐标为（，0）；
当AC为腰时，如图，
若AE＝AC＝5，此时E的坐标为（﹣4，0），
若AC＝AE＝5，此时OE＝1，E的坐标为（﹣1，0），
若AC＝AE＝5，此时E的坐标为（9，0），
综上所述，若△EAC为等腰三角形，点E的坐标为（，0）或（﹣4，0）或（﹣1，0）或（9，0）．
15．【答案】（1）12；
（2）．
【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC AM＝×6×4＝12；
（2）解法一：过点B作BN⊥AC于点N，
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
∵△ABC的面积＝AC BN＝×5 BN＝12；
∴BN＝，
AN＝＝，
∴AD＝2AN＝．
解法二：过点B作BN⊥AC于点N，
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，
∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
∴x＝，
∴AD＝2AN＝．
16．【答案】（1）﹣1；
（2）证明见解析；
（3）AD+PD＝CD，证明见解析．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，
∴AB＝AC＝，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE＝AC＝1，
∴BE＝AC﹣AE＝﹣1；
（2）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED＝∠C＝80°，ED＝CD，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠EDB＝∠AED﹣∠B＝80°﹣40°＝40°，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∴EB＝CD，
∵AB＝AE+EB，
∴AB＝AC+CD；
（3）解：AD+PD＝CD，证明如下：
如图3，在CD上取点E，使CE＝PD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵PA＝AB，
∴AC＝PA，
∴∠APD＝∠ACE，
在△APD和△ACE中，
，
∴△APD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠PAD＝∠CAE，
∵AD平分∠PAB，
∴∠PAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∵DE+CE＝CD，
∴AD+PD＝CD．
17．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①72°；
②证明见解答过程．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝AE；
（2）①解：∵∠B＝36°，∠APC＝72°，
∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝72°﹣36°＝36°，
∴∠CAE＝36°，
∵△BAC≌△DAE，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝×（180°﹣∠CAE）＝×（180°﹣36°）＝72°；
②证明：∵△BAC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠ACE，∠APC＝∠E，
在△ACP和△ACE中，
，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP＝CE．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD＝BC，
∴AD﹣CD＝BC﹣CD，
∴AC＝BD；
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SSS）；
（2）解：由（1）可知：△ACE≌△BDF，
∴∠ACE＝∠BDF，
∵∠CDF＝55°，
∴∠BDF＝125°＝∠ACE．
19．【答案】（1）见解析过程；
（2）82．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°．
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠AED＝37°+45°＝82°．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：●特例感知：
① 等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案为：是．
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
∴CD＝．
●深入探究：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；
●推广应用：
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
21．【答案】．
【解答】解：，
两边平方得，
整理可得，
两边平方得，
整理得，
令，
可得4t＝（t+1）2，
解得t＝1，
∴，
整理得x2﹣x﹣1＝0
解得，
根据二次根式有意义的条件可得x≥1，
∴．
22．【答案】（1）10；1；
（2）；；
（3）或．
【解答】解：（1）根据题意可得容器甲有10cm高的水，
故a＝10，
根据图象可得容器甲的水10s放完，故容器甲的液面下降速度是（cm/s），
故答案为：10；1；
（2）根据图像可得b为容器甲放完水时，容器乙中水面高度，
设长方体底面积为t cm2，则容器底面积为4t cm2，
∴水的体积为4t 10＝40t cm3，
容器乙实际可装水的底面积为4t﹣t＝3t cm2，
∴容器乙中水面高度为，即，
设y2＝kx，把代入，得：
，
解得，
∴；
（3）设y1＝kx+b，把（0，10），（10，0）代入函数解析式得：
，
解得，
∴y1＝﹣x+10，
①当y1﹣y2＝2时，可得，
解得；
②当y2﹣y1＝2时，可得，
解得x＝，
∴当容器甲中的液面高y1与容器乙中的液面高y2相差2cm时，此时x的值为或．
23．【答案】（1）见解析；
（2）或；
（3）y的值是变化的，变化范围为．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF+∠ADF＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠BDF，
∵将△CDE沿DE折叠至△FDE，
∴∠CDE＝∠EDF＝∠ADE+∠ADF，
∵∠CDE+∠EDF+∠BDF＝180°，
∴2（∠ADE+∠ADF）+∠BDF＝180°，
2（∠ADE+90°﹣∠BDF）+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝2∠ADE；
（2）解：∵，∠BAC＝90°，
∴，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝AD＝4，
∵DG＝3AG，DG+AG＝AD，
∴AG＝1，DG＝3，
在EC上截取EN＝EG，连接DN，过点N作NP⊥CD于P，如图1，
∵将△CDE沿DE折叠至△FDE，
∴∠DEG＝∠DEN，
∵EN＝EG，DE＝DE，
∴△DEG≌△DEN（SAS），
∴DN＝DG＝3，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵NP⊥CD，
∴∠CNP＝∠C＝45°，
∴NP＝PC，
设NP＝PC＝x，由DP＝4﹣x，，
在Rt△DPN中，由勾股定理，得x2+（4﹣x）2＝32，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，
△AGE的周长＝．
当时，
△AGE的周长＝．
综上，△AGE的周长为或；
（3）解：y的值是变化的；理由如下：
作∠BDF的平分线DN交AB于N，如图2，
∵DN平分∠BDF，
∴∠BDN＝∠MDN，
由（1）知：∠BDF＝2∠ADE，
∴∠BDN＝∠MDN＝∠ADE，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠DAE＝45°，BD＝CD＝AD，
∴△BDN≌△ADE（ASA），
∴AE＝BN，DN＝DE，∠BND＝∠AED，
∵将△CDE沿DE折叠至△FDE，
∴∠CED＝∠DEG，DF＝CD，∠F＝∠C＝45°，
∵∠BND+∠DNM＝∠AED+∠CED＝180°，
∴∠DNM＝∠DEG，
在△DMN与△DGE中，
，
∴△DMN≌△DGE（ASA），
∴DM＝DG，MN＝GE，
∵DF＝CD，BD＝CD＝AD，
∴DF﹣DM＝AD﹣DG，即FM＝AG，
∵∠F＝∠BAD＝45°，∠MHF＝∠GHA，FM＝AG，
∴△FMH≌△AGH（AAS），
∴FH＝AH，
，
∵AG＝AD﹣DG，DG＝DM，
∴，
∴y随着DM的增大而减小，
∵E在AC边上运动（不与点A重合），AE＜CE，
∴点M在线段AB上，
∴DM＜BD，即DM＜4，
此时，
当DM⊥AB时，此时DM最小，
∵∠B＝45°，
∴∠BDM＝∠B＝45°，
∴DM＝BM，
∴由勾股定理，得2DM2＝BD2＝42，
∴，
此时y取得最大值为，即y≤8，
∴．
故y的值是变化的，变化范围为．
24．【答案】（1）﹣4；（2）x＝时，最小值为8；（3）2．
【解答】解：（1）∵，
又，
∴y有最大值＝2﹣6＝﹣4；
（2）∵，
又，
当4（x﹣1）＝时，即x＝时，y有最小值＝4+4＝8；
（3）∵，
∵a，b，c是非负实数，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
∴的最小值为2．
25．【答案】（1）14；
（2）．
【解答】解：（1）由a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
可得a+b＝4，ab＝1，
；
（2）进行变形可得a+b＝2﹣c，ab＝c2﹣c，
∴a，b是x2﹣（2﹣c）x+c2﹣c＝0的解，
根据根的判别式可得Δ＝（2﹣c）2﹣4（c2﹣c）≥0，
整理得，
解得﹣≤c
∴正数c的最大值为．
26．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
27．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）60°．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝∠CAB＝60°，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵∠ABC＝60°，∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝120°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD＝120°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAB＝60°．
28．【答案】（1）见解析，A1（2，4），B1（4，1），C1（1，2）；
（2）见解析，（﹣3，0）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作，A1（2，4），B1（4，1），C1（1，2）；
（2）作出点C关于x轴的对称轴点C2，连接BC2交x轴于点P，即点P即为所作，点P的坐标为（﹣3，0）．
29．【答案】110°．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
又∵CF是∠ACB的平分线，
∴，
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AEC＝90°+∠ECD＝90°+20°＝110°．
30．【答案】证明见解答过程．
【解答】解：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，即AC＝DF，
又∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
31．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（15，700）、（25，500）代入上式，得，
，
解得，
∴y＝﹣20x+1000（10≤x≤30）；
（2）依题意有：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝6000，
解得：x1＝20，x2＝40，
∵10≤x≤30，
∴x＝20；
答：该书的销售单价20元；
（3）销售该书每天的利润不能达到9000元．理由如下：
根据题意得：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝9000，
整理得x2﹣60x+950＝0，
∵Δ＝602﹣4×1×950＝﹣200＜0，
∴该方程没有实数根，
∴销售该书每天的利润不能达到9000元．
32．【答案】（1）甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；
（2）安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．
【解答】解：（1）设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进（160﹣x）千克，
由题意可得：5x+9（160﹣x）＝1000，
解得x＝110，
∴160﹣x＝50，
答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果购进（160﹣m）千克，获得的利润为w元，
由题意可得：w＝（8﹣5）m+（13﹣9）（160﹣m）＝﹣m+640，
∴w随m的增大而减小，
∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴160﹣m≤3m，
解得m≥40，
∴当m＝40时，w取得最大值，此时w＝600，160﹣m＝120，
答：安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．
33．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵一次函数y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3），
∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3，
∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3；
（2）①证明：∵一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0），
∴a+b＝0，
∴b＝﹣a，
∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a，
∵y2＝bx+a，
∴y2＝﹣ax+a，
∵点A（m，p）在一次函数y1＝ax﹣a的图象上，
∴p＝ma﹣a，
∵点B（n，p）在一次函数y2＝﹣ax+a的图象上，
∴p＝﹣na+a，
∴ma﹣a＝﹣na+a，
即ma+na＝2a，
∵a≠0，
∴m+n＝2；
②解：由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a，
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a，
∵a≠0，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当a＜0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝﹣2时，y为最大，
∴2a×（﹣2）﹣2a＝6，
解得：a＝﹣1
（ⅱ）当a＞0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝4时，y为最大，
∴2a×4﹣2a＝6，
解得：a＝1，
综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为﹣1或1．
34．【答案】见试题解答内容
【解答】解：任务一：由表格可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为25%；
任务二：由表格可知两个函数均为一次函数，设y1＝k1t+b1，y2＝k2s+b2，
对于y1＝k1t+b1，当t＝1时，y＝50，当t＝2时，y＝100，
∴，解得：，
∴y1＝50t；
对于y2＝k2s+b2，当s＝0时，y＝100，当s＝100时，y＝50，
∴，解得：，
∴；
任务三：∵，
∴当s＝40×3＝120时，；
∵到达目的地，还需要250﹣120＝130（千米），
∴还需消耗电量，
∴至少需充电65﹣40＝25，
∴当y1＝25时，50t＝25，
∴t＝0.5，
即：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电0.5小时．
35．【答案】（1）（2）见解答．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求．
36．【答案】（1）见解析；
（2）36°．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∵DE是AB边上的中线，
∴BE＝，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE．
（2）解：连接DE，
则DE＝AE＝CD，
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE，
∵BE＝DE，EF＝AF，
∴∠B＝∠BDE，
设∠B＝∠BDE＝x，则∠AED＝2x，∠AEF＝y，
∴∠DEF＝2x﹣y，
∵DE＝DC，
∴∠DEF＝∠BDE＝x，
∴2x﹣y＝x，
∴y＝x，
∴x+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°．
37．【答案】（1）见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：在Rt△BDE中，DE＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴CE＝CD﹣DE＝BC﹣2，
在Rt△BDE中，BC2＝CE2+BE2，
∴BC2＝（BC﹣2）2+42，
解得BC＝5．
38．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当定价为200元时，（200﹣180）÷10＝2（间）．
（50﹣2）×（200﹣20）＝8640（元）．
故答案为：2；8640；
（2）设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890．
整理，得x2﹣700x+122500＝0，
解得 x1＝x2＝350．
答：应该将每间房每天定价为350元．
39．【答案】114°．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝48°，
∴，
∵AE⊥BC，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AFB＝∠BEF+∠CBD＝90°+24°＝114°．
40．【答案】（1）证明见解答；（2）AD＝BE+DE，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵BE⊥MN，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：AD＝BE+DE，
理由如下：∵△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，BE＝CD，
∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE．
41．【答案】x≤3．
【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤6，得：x≤3，
解不等式x﹣1，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤3．
42．【答案】2≤x＜4，数轴见解析过程．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜4，
∴不等式组的解集为2≤x＜4，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
43．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得，
点B的横坐标为：1+＝，纵坐标为：15，
∴点B的坐标为（，15），
故答案为：（，15）；
（2）甲从点P跑到点N的速度为：＝7.5千米/时，
故答案为：7.5；
（3）由题意可得，点D的坐标为（0.5，0），点C的坐标为（2，20），
设线段CD的函数函数表达式为y＝kx+b，
，得，
即线段CD的表达式是y＝x﹣（0.5≤x≤2）．
44．【答案】（1）∠FCB＝70°，∠F＝45°；
（2）①见详解；
②．
【解答】（1）解：连接AE，BE，如图1所示：
∵点A关于直线BP的对称点E，
∴∠EBP＝∠ABP＝25°，AB＝EB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣25°﹣25°＝40°，
则，
∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（90°﹣25°）﹣70°＝45°；
（2）①证明：连接AE，PE，如图2所示：
设∠ABP＝a，∠APB＝90°﹣a，
∵点A关于直线BP的对称点E，
∴AE⊥BP，AP＝PE，∠PAE＝∠PEA＝a，∠DPE＝2a，
∵P是AD中点，
∴AP＝DP＝PE，
则，
∵∠FPD＝∠APB＝90°﹣a，
∴∠ADE＝∠FPD，
∴DE∥BF；
②解：如图3：连接AE，PE，点H，C关于AD对称，
∵CE的延长线交BP延长线于点F，连结DE，且P是AD中点，四边形ABCD是正方形，
∴HD＝CD＝AB，∠HDP＝∠BAP＝90°，HC∥AB，
∴∠DHP＝∠ABP，
∴△HDP≌△BAP（AAS），
∴∠HPD＝∠BPA，
则H，F，P三点共线，
∵DE∥BF，HD＝CD，
∴DE∥HB，
∴DE是△CHF的中位线，
∴HF＝2DE，CE＝EF，
∵AB＝6，
∴，
根据等面积法，得，
即，
设∠ABP＝a，∠APB＝90°﹣a，
由（1）知，BE＝CB，BA＝BE，
∴，
则∠FEO＝180°﹣（90°﹣a）﹣（45°+a）＝45°，
∵EA⊥BF，
∴∠EFO＝45°，
则FO＝EO，
∴，
∴．
45．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，
∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
∴Rt△BCE中，BC＝＝，
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，
即x2+42＝（x+5）2﹣41，
解得x＝，
∴S△ABC＝AB×CE＝（+5）×4＝．
46．【答案】（1）10，15，200．
（2）750米．
（3）17.5或20分钟．
【解答】解：（1）由题意得a＝1500÷150＝10，
b＝10+5＝15，
m＝（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分），
故答案为：10，15，200．
（2）设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
将（15，1500），（22.5，3000）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝200x﹣1500（15≤x≤22.5），
∵小军速度为120米/分，
∴OD所在直线解析式为y＝120x，
联立方程，
解得，
3000﹣2250＝750（米），
∴小军在途中与爸爸第二次相遇时，距离图书馆750米．
（3）由题意得当x＜时，120x﹣（200x﹣1500）＝100，
解得x＝＝17.5，
当x＞时，200x﹣1500﹣120x＝100，
解得x＝20．
∴爸爸自第二次出发至到达图书馆前，小军骑行时间为17.5或20分钟时，两人相距100米．
47．【答案】（1）y＝2x+6；
（2）点（﹣1，5）不在这个函数图象上．
【解答】解：（1）设这个函数的解析式为y＝kx+b，
将点A（1，8）和点B（﹣3，0）代入可得：
，解得；
∴这个函数的解析式为y＝2x+6；
（2）点（﹣1，5）不在这个函数图象上，理由如下：
将x＝﹣1代入y＝2x+6得：
y＝2×（﹣1）+6＝4≠5；
∴点（﹣1，5）不在这个函数图象上．
48．【答案】（1）55°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC平分线，
∴∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，
∴∠BOE＝∠ABF+∠BAE＝40°+15°＝55°；
（2）证明：∵∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∵AD⊥CE，
∴DE＝DC．
49．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC、△ABC1、△ABC2即为所求作；
（2）如图所示，△ABD即为所求，
50．【答案】任务1：描点并作图见解答；是，y＝﹣2x+120（0≤x≤60），25；
任务2：h＝﹣x+180（0≤x≤60）；
任务3：cm．
【解答】解：任务1：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量x、y满足一次函数关系．
设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将x＝2，y＝116和x＝10，y＝100代入y＝kx+b，
得，解得，
∴y＝﹣2x+120．
将x＝a和y＝70代入y＝﹣2x+120，
得﹣2a+120＝70，解得a＝25；
当背带都为单层部分时，x＝0；
当背带都为双层部分时，y＝0，即﹣2x+120＝0，解得x＝60，
∴x的取值范围是0≤x≤60．
任务2：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
∴总长度为﹣2x+120+x＝﹣x+120，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得＝，
∴h＝﹣x+180（0≤x≤60）．
任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即x＝60，y＝0．
∵背包提在手上，且背包的悬挂点距地面高度为53.5cm，
∴手到地面的距离为（+53.5）cm，即83.5cm．
设小明爸爸的身高为h cm．
∵臂展和身高一样，且肩宽为38cm，
∴小明爸爸一条胳膊的长度为cm，
∴h++83.5＝h，解得h＝172，
根据任务2，得172＝﹣x+180，解得x＝，
∴此时双层部分的长度为cm．
声明：试题解
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题03 解答题
一．解答题（共50小题）
1．（2023秋 瓯海区校级期末）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC﹣CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为 （cm），BP的长为 （cm）（用含t的式子表示）；
（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；
（3）在点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，直接写出PQ中点O经过的路径长．
2．（2023秋 长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数．
3．（2023秋 江北区期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
4．（2023秋 吴兴区期末）
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元．
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店购买，共需要 元；若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
5．（2023秋 浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．
6．（2023秋 吴兴区期末）如图，在△ABC中，E是AB上一点，AC与DE相交于点F，F是AC的中点，AB∥CD．
（1）求证：△AEF≌△CDF；
（2）若AB＝10，CD＝7，求BE的长．
7．（2023秋 北仑区期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拍照打卡板
素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFG和等腰三角形ABC组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到BC的距离为1.2米，FG＝0.8米，DG＝1.5米．
素材二 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二 探究等腰三角形ABC面积 假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S．求S关于x的函数表达式．
任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值．
8．（2023秋 滨江区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若∠A＝60°，△ADC的中线DG＝1，求BC的长．
9．（2023秋 莲都区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，3）和点B（1，﹣1）．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点C（a，2）向右平移3个单位后恰好落在直线AB上，求a的值．
10．（2023秋 莲都区期末）如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝20°，∠E＝75°，求∠BCF的度数．
11．（2023秋 滨江区期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上.
测量示意图
（1）第一小组认为，河宽AB的长度就是线段 的长度．
（2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
（3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并说明方案的可行性．
12．（2023秋 莲都区期末）如图，直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），且直线m，n交于点D．
（1）求点A，点D的坐标．
（2）点P是x轴上的一个动点，求PA+PB+PC+PD的最小值．
（3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当△MND≌△BAD时，直接写出每一组点M和点N的坐标．
13．（2023秋 长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过CA的延长线上一点D，作DE⊥BC，垂足为E，交边AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AD＝13，BE＝5，F为AB的中点，求EF的长．
14．（2023秋 鄞州区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0）．若将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
（1）点D的坐标为 ；
（2）若点P是y轴上一动点，若△PAC的面积等于△CAD的面积，请求出点P的坐标；
（3）若点E为x轴上一动点，若△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
15．（2023秋 余姚市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
16．（2023秋 鄞州区期末）【基础练习】
（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，求BE的长．
【类比探究】
（2）如图2，AD是△ABC的角平分线，∠B＝40°，∠C＝80°，点E在AB上，AE＝AC．求证：AB＝AC+CD．
【拓展延伸】
（3）如图3，点P是等边△ABC外一点，连结PA，PC，PB，恰好满足PA＝AB．AD平分∠PAB交PC于点D，线段AD，CD，PD之间有什么关系？请作出猜测并进行证明．
17．（2023秋 北仑区期末）如图，已知AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若∠B＝36°，∠APC＝72°．
①求∠E的度数；
②求证：CP＝CE．
18．（2023秋 瓯海区校级期末）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，AE＝BF，CE＝DF，AD＝BC．
（1）求证：△ACE≌△BDF．
（2）若∠CDF＝55°，求∠ACE的度数．
19．（2023秋 海曙区校级期末）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．
20．（2023秋 东阳市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
（2023秋 鄞州区期末）解方程：．
22．（2023秋 鄞州区期末）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有10cm高的水，容器乙放了一个长方体，且容器底面积是长方体底面积的4倍．从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平．设容器甲中的液面高为y1（单位：cm），容器乙中的液面高为y2（单位：cm）．小科绘制了y1、y2关于时间x（单位：s）的函数图象如图2所示．回答下列问题：
（1）a的值为 ；容器甲的液面下降速度是 cm/s：
（2）求b的值以及y2关于x的函数表达式；
（3）当容器甲中的液面高y1与容器乙中的液面高y2相差2cm时，求此时x的值．
23．（2023秋 鄞州区期末）如图，在△ABC中，，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E在AC边上运动（不与点A重合），AE＜CE，将△CDE沿DE折叠至△FDE，EF分别与AD，AB交于G，H两点．
（1）求证：∠BDF＝2∠ADE；
（2）如图1，若DG＝3AG，求△AGE的周长；
（3）如图2，设DF与AB交于点M，在整个运动过程中，记△FMH与△AEG的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y．
24．（2023秋 鄞州区期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以a+b﹣2≥0，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取到等号）特别地，a+＝2（当且仅当a＝1时取到等号），因此，当a＞0时，a+有最小值2，此时a＝1．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数y＝2﹣x﹣（x＞0）的最大值为 ．
（2）求函数y＝4x+（x＞1）的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的a+b≥2提出猜想：a+b+c≥3（当且仅当a＝b＝c时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
设a，b，c是非负实数，求的最小值．
25．（2023秋 鄞州区期末）（1）已知a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，求的值．
（2）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝2，ab+c＝c2，求正数c的最大值．
26．（2022秋 拱墅区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
27．（2023秋 慈溪市期末）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，点D在AB的延长线上，连结AE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求∠DAE的度数．
28．（2023秋 台州期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）请在x轴上画出点P的位置，使得PB+PC最短，并直接写出点P的坐标．
29．（2023秋 台州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．
30．（2023秋 台州期末）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝CD，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：BC＝EF．
31．（2023秋 镇海区校级期末）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表：
x（元/本） … 15 25 …
y（本） … 700 500 …
（1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价．
（3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由．
32．（2023秋 鄞州区期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
33．（2023秋 上城区期末）一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）．
（1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式；
（2）若有另一个一次函数y2＝bx+a．
①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2；
②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值．
34．（2023秋 南浔区期末）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验，实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1（%）与时间t（小时）的关系，数据记录如表1．
实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2．
电池充电状态
时间t（小时） 0.5 1 1.5 2
电量y1（%） 25 50 75 100
表1
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 80 100 140
电量y2（%） 100 60 50 30
表2
任务一：计算表1中每隔0.5小时电池电量的增加量；
【建立模型】
任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式；
【解决问题】
任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？
35．（2023秋 台州期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由．
（1）如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形；
（2）如图2，在直线MN上求作点P，使得∠APM＝∠BPN．
36．（2023秋 西湖区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点，CD＝AE．
（1）求证：DG⊥CE．
（2）若AF＝EF，求∠B的度数．
37．（2023秋 江北区期末）在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若BD＝2，BE＝4，求BC的长．
38．（2023秋 江北区期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）当定价为200元时，会空 间房，每天的利润是 元．
（2）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
39．（2023秋 路桥区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若∠ABC＝48°，求∠AFB的度数．
40．（2023秋 江北区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别是D，E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）猜想线段AD，BE，DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由．
（2023秋 余姚市期末）解一元一次不等式组：．
42．（2023秋 舟山期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
43．（2023秋 江北区期末）现有一段20千米长，可供长跑爱好者跑步的笔直跑道MN，已知甲、乙两人都从M点出发，甲跑到途中的P点后原地休息了20分钟，之后继续跑到N点，共用时间2小时；乙虽然比甲晚出发半小时，但和甲同时到达N点．假设两人跑步时均为匀速，在甲出发后的2小时内两人离开M点的距离y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）图中B点的坐标为
（2）甲从点P跑到点N的速度为 千米/时；
（3）求图中线段CD的表达式．并写出定义域．
44．（2023秋 江北区期末）如图，在正方形ABCD中，若P是AD上一点，点A关于直线BP的对称点E，连结CE，且CE的延长线交BP延长线于点F，连结DE．
（1）若∠ABP＝25°，求∠FCB和∠F的度数．
（2）若P是AD中点；
①求证：DE∥BF；
②若AB＝6时，直接写出CF的长．
45．（2023秋 宁波期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处．
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
46．（2023秋 鄞州区校级期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，请求出此时小军骑行的时间．（直接写出答案）
47．（2023秋 瓯海区校级期末）已知一次函数的图象经过点A（1，8）和点B（﹣3，0），
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点（﹣1，5）在不在该图象上，并说明理由．
48．（2023秋 东阳市期末）在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．
（1）求∠BOE的大小；
（2）求证：DE＝DC．
49．（2023秋 瓯海区校级期末）如图1，图2都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段AB的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰△ABC，使点C在格点上．
（1）在图1中，画以AB为腰的三角形；
（2）在图2中，画以AB为底的三角形．
50．（2023秋 上城区期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据：双层部分长度x（cm）261014a单层部分长度y（cm）1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围．
任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式．
任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．【答案】（1）t，6﹣t；
（2）满足条件的t的值为2或4或8．
（3）3cm．
【解答】解：（1）由题意BQ＝t cm，PB＝（6﹣t）cm．
故答案为：t，6﹣t；
（2）如图1中，当PQ⊥BC时，
∵∠PQB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴PB＝2BQ，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2．
如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB＝2PB，
∴t＝2（6﹣t），
∴t＝4．
如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣t），
∴t＝8，
综上所述，满足条件的t的值为2或4或8．
（3）如图，过Q作QH∥BC交AB于H，
则△AHQ是等边三角形，
∴AQ＝AH，
∵AC＝AB，
∴CQ＝BH，
∵CQ＝BP，
∴BH＝BP，
∴QE＝PE，
∴点E是PQ的中点，
∴在点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，PQ中点O经过的路径长为BC＝3（cm）．
2．【答案】（1）证明见解答；（2）∠BAC＝110°．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵D是BC的中点，AB＝AC，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）解：∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵∠BDE＝55°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°．
3．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，
则∠APF＝∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x+y＝60°，
∴x+y＝30°
∴∠EPF＝x+y＝30°
（3）不变．
设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝360﹣∠DPB﹣∠BPN﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t，
∴＝＝．
4．【答案】（任务1）该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元；
（任务2）（1.6m+291），（1.8m+288）；
（任务3）当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
【解答】解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元；
（任务2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）；
在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）．
故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）；
（任务3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288，
解得：m＞15，
又∵0＜m＜40，
∴15＜m＜40．
答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算．
5．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图，连接AC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠EAC＝∠FAC，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴CB＝CD．
6．【答案】（1）证明见解答；
（2）3．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（ASA），
（2）解：由（1）得：△AEF≌△CDF，
∴AE＝CD，
∵AB＝10，CD＝7，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣CD＝10﹣7＝3．
7．【答案】见试题解答内容
【解答】解：任务1：他的说法对，理由如下：
如图：过点B作BH⊥DC于点H，
∴∠BHC＝90°．
∵四边形EFGD是长方形，
∴∠DGC＝90°．
∴∠BHC＝∠DGC，
在△BCH与△DCG中，
，
∴△BCH≌△DCG（AAS），
∴BH＝DG．
∴最高点B到地面的距离就是线段DG长．
任务2：∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，
∴设BF＝CG＝x，则BC＝2x+0.8．
又△ABC的高为1.2米，
∴三角形ABC的面积S＝×（2x+0.8）×1.2＝1.2x+0.48．
任务3：由题意，当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
又长方形的面积为：DH DE＝0.8×1.5＝1.2（平方米），
∴1.2×85+（1.2x+0.48）×100≤180．
解得x≤0.25，
故CG长度的最大值为0.25米．
8．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝90°，
又∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∴∠DBF+∠DAC＝180°﹣∠BEA＝90°，
∴∠DAC＝∠DFB，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝180°﹣∠ABC﹣∠BDF＝45°＝∠ABC，
∴BD＝CD，
在△ACD和△FBD中，
，
∴△ACD≌△FBD（AAS），
∴AC＝BF；
（2）解：如图，
在Rt△ACD中，中线DG＝1，
∴AC＝2DG＝2，
∵∠A＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝1，
∴CD＝＝＝BD，
∴BC＝＝．
9．【答案】（1）y＝﹣2x+1；
（2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）和点B（1，﹣1）代入y＝kx+b，
得，
解得：k＝﹣2，b＝1，
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+1；
（2）点C（a，2）向右平移3个单位后坐标为（a+3，2），
∵点（a+3，2）在直线AB上，
∴2＝﹣2（a+3）+1，
解得：．
10．【答案】（1）证明见解析；
（2）95°．
【解答】（1）证明：∵AF＝CD，
∴AF﹣CF＝CD﹣CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：∵∠B＝∠E，∠E＝75°
∴∠B＝75°，
∵∠BCF是△ABC的一个外角，
∴∠BCF＝∠A+∠B，
∵∠A＝20°，
∴∠BCF＝20°+75°＝95°．
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB，
∴河宽AB的长度就是线段BC的长度．
故答案为：BC；
（2）第二小组的方案可行，理由如下：
∵O是BE中点，
∴OB＝OE，
∵AB⊥BE，EF⊥BE，
∴∠ABO＝∠FEO＝90°，
在△ABO和△FEO中，
，
∴△ABO≌△FEO（ASA），
∴EF＝AB，
∴河宽AB的长度就是线段EF的长度．
（3）见表格，
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得：∠ACB＝45° 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得∠BCD＝∠ACB＝65°，CD交AB延长线于D，
测量示意图
只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠DBC＝90°，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴BD＝AB，
∴河宽AB的长等于线段BD的长．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线m的函数表达式为y＝﹣2x﹣6，与x轴交于点A，
令y＝0，可得0＝﹣2x﹣6，解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
设直线n的解析式为y＝kx+b，
∵直线n经过点B（2，0）和点C（0，﹣1），
∴，解得，
∴直线n的解析式为y＝x﹣1，
联立y＝﹣2x﹣6得，解得，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接DE交x轴于点P，连接CP，
∴PE＝PC，E（0，1），
∴PC+PD＝PD+PE，此时PC+PD＝DE最小，PA+PB＝AB最小，
∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），B（2，0），
∴DE＝＝，AB＝2+3＝5，
∴PA+PB+PC+PD的最小值为5+；
（3）∵点D的坐标为（﹣2，﹣2），A（﹣3，0），点D的坐标为（﹣2，﹣2）；
∴AB＝2+3＝5，AD＝＝，BD＝＝2，
设M（m，﹣2m﹣6），N（n，n﹣1），
当△MND≌△BAD时，ND＝AD＝，MD＝BD＝2，
∴＝2，＝，
解得m＝0或﹣4，n＝0或﹣4，
∴点M和点N的坐标分别为（﹣4，2）、（0，﹣1）或（0，﹣6）、（0，﹣1）或（﹣4，2）、（﹣4，﹣3）或（0，﹣6）、（﹣4，﹣3）．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D，
又∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴△ADF 是等腰三角形；
（2）∵F为AB的中点，
∴AF＝BF，
∵△ADF是等腰三角形，
BF＝AF＝AD＝13，
∵DE⊥BC，
∴EF＝＝12，
答：EF的长为12．
14．【答案】（1）（6，4）；
（2）（0，）或（0，﹣）；
（3）（，0）或（﹣4，0）或（﹣1，0）或（9，0）．
【解答】解：（1）∵B（﹣4，0），将点B向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
∴D的坐标为（﹣4+10，0+4）即D的坐标为：（6，4）；
故答案为：（6，4）；
（2）设点P（0，a），
△CAD的面积为4×6﹣×3×6﹣×2×4﹣×4×3＝11，
△PAC的面积为×|a﹣3|×4＝2|a﹣3|，
∵△PAC的面积等于△CAD的面积，
∴2|a﹣3|＝11，
解得a＝或﹣，
∴P的坐标为（0，）或（0，﹣）；
（3）△EAC为等腰三角形，当AC为底时，点E在AC的垂直平分线上，如图：
∴AE＝CE，
设OE＝x，CE＝AE＝4﹣x，
在Rt△AOE中，32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴E的坐标为（，0）；
当AC为腰时，如图，
若AE＝AC＝5，此时E的坐标为（﹣4，0），
若AC＝AE＝5，此时OE＝1，E的坐标为（﹣1，0），
若AC＝AE＝5，此时E的坐标为（9，0），
综上所述，若△EAC为等腰三角形，点E的坐标为（，0）或（﹣4，0）或（﹣1，0）或（9，0）．
15．【答案】（1）12；
（2）．
【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC AM＝×6×4＝12；
（2）解法一：过点B作BN⊥AC于点N，
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
∵△ABC的面积＝AC BN＝×5 BN＝12；
∴BN＝，
AN＝＝，
∴AD＝2AN＝．
解法二：过点B作BN⊥AC于点N，
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，
∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，
∴x＝，
∴AD＝2AN＝．
16．【答案】（1）﹣1；
（2）证明见解析；
（3）AD+PD＝CD，证明见解析．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，
∴AB＝AC＝，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE＝AC＝1，
∴BE＝AC﹣AE＝﹣1；
（2）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED＝∠C＝80°，ED＝CD，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠EDB＝∠AED﹣∠B＝80°﹣40°＝40°，
∴∠B＝∠EDB，
∴ED＝EB，
∴EB＝CD，
∵AB＝AE+EB，
∴AB＝AC+CD；
（3）解：AD+PD＝CD，证明如下：
如图3，在CD上取点E，使CE＝PD，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵PA＝AB，
∴AC＝PA，
∴∠APD＝∠ACE，
在△APD和△ACE中，
，
∴△APD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠PAD＝∠CAE，
∵AD平分∠PAB，
∴∠PAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∵DE+CE＝CD，
∴AD+PD＝CD．
17．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）①72°；
②证明见解答过程．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝AE；
（2）①解：∵∠B＝36°，∠APC＝72°，
∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝72°﹣36°＝36°，
∴∠CAE＝36°，
∵△BAC≌△DAE，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝×（180°﹣∠CAE）＝×（180°﹣36°）＝72°；
②证明：∵△BAC≌△DAE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＝∠ACE，∠APC＝∠E，
在△ACP和△ACE中，
，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP＝CE．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AD＝BC，
∴AD﹣CD＝BC﹣CD，
∴AC＝BD；
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SSS）；
（2）解：由（1）可知：△ACE≌△BDF，
∴∠ACE＝∠BDF，
∵∠CDF＝55°，
∴∠BDF＝125°＝∠ACE．
19．【答案】（1）见解析过程；
（2）82．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°．
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠AED＝37°+45°＝82°．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：●特例感知：
① 等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案为：是．
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
∴CD＝．
●深入探究：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；
●推广应用：
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
21．【答案】．
【解答】解：，
两边平方得，
整理可得，
两边平方得，
整理得，
令，
可得4t＝（t+1）2，
解得t＝1，
∴，
整理得x2﹣x﹣1＝0
解得，
根据二次根式有意义的条件可得x≥1，
∴．
22．【答案】（1）10；1；
（2）；；
（3）或．
【解答】解：（1）根据题意可得容器甲有10cm高的水，
故a＝10，
根据图象可得容器甲的水10s放完，故容器甲的液面下降速度是（cm/s），
故答案为：10；1；
（2）根据图像可得b为容器甲放完水时，容器乙中水面高度，
设长方体底面积为t cm2，则容器底面积为4t cm2，
∴水的体积为4t 10＝40t cm3，
容器乙实际可装水的底面积为4t﹣t＝3t cm2，
∴容器乙中水面高度为，即，
设y2＝kx，把代入，得：
，
解得，
∴；
（3）设y1＝kx+b，把（0，10），（10，0）代入函数解析式得：
，
解得，
∴y1＝﹣x+10，
①当y1﹣y2＝2时，可得，
解得；
②当y2﹣y1＝2时，可得，
解得x＝，
∴当容器甲中的液面高y1与容器乙中的液面高y2相差2cm时，此时x的值为或．
23．【答案】（1）见解析；
（2）或；
（3）y的值是变化的，变化范围为．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF+∠ADF＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠BDF，
∵将△CDE沿DE折叠至△FDE，
∴∠CDE＝∠EDF＝∠ADE+∠ADF，
∵∠CDE+∠EDF+∠BDF＝180°，
∴2（∠ADE+∠ADF）+∠BDF＝180°，
2（∠ADE+90°﹣∠BDF）+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝2∠ADE；
（2）解：∵，∠BAC＝90°，
∴，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝AD＝4，
∵DG＝3AG，DG+AG＝AD，
∴AG＝1，DG＝3，
在EC上截取EN＝EG，连接DN，过点N作NP⊥CD于P，如图1，
∵将△CDE沿DE折叠至△FDE，
∴∠DEG＝∠DEN，
∵EN＝EG，DE＝DE，
∴△DEG≌△DEN（SAS），
∴DN＝DG＝3，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵NP⊥CD，
∴∠CNP＝∠C＝45°，
∴NP＝PC，
设NP＝PC＝x，由DP＝4﹣x，，
在Rt△DPN中，由勾股定理，得x2+（4﹣x）2＝32，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，
△AGE的周长＝．
当时，
△AGE的周长＝．
综上，△AGE的周长为或；
（3）解：y的值是变化的；理由如下：
作∠BDF的平分线DN交AB于N，如图2，
∵DN平分∠BDF，
∴∠BDN＝∠MDN，
由（1）知：∠BDF＝2∠ADE，
∴∠BDN＝∠MDN＝∠ADE，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠DAE＝45°，BD＝CD＝AD，
∴△BDN≌△ADE（ASA），
∴AE＝BN，DN＝DE，∠BND＝∠AED，
∵将△CDE沿DE折叠至△FDE，
∴∠CED＝∠DEG，DF＝CD，∠F＝∠C＝45°，
∵∠BND+∠DNM＝∠AED+∠CED＝180°，
∴∠DNM＝∠DEG，
在△DMN与△DGE中，
，
∴△DMN≌△DGE（ASA），
∴DM＝DG，MN＝GE，
∵DF＝CD，BD＝CD＝AD，
∴DF﹣DM＝AD﹣DG，即FM＝AG，
∵∠F＝∠BAD＝45°，∠MHF＝∠GHA，FM＝AG，
∴△FMH≌△AGH（AAS），
∴FH＝AH，
，
∵AG＝AD﹣DG，DG＝DM，
∴，
∴y随着DM的增大而减小，
∵E在AC边上运动（不与点A重合），AE＜CE，
∴点M在线段AB上，
∴DM＜BD，即DM＜4，
此时，
当DM⊥AB时，此时DM最小，
∵∠B＝45°，
∴∠BDM＝∠B＝45°，
∴DM＝BM，
∴由勾股定理，得2DM2＝BD2＝42，
∴，
此时y取得最大值为，即y≤8，
∴．
故y的值是变化的，变化范围为．
24．【答案】（1）﹣4；（2）x＝时，最小值为8；（3）2．
【解答】解：（1）∵，
又，
∴y有最大值＝2﹣6＝﹣4；
（2）∵，
又，
当4（x﹣1）＝时，即x＝时，y有最小值＝4+4＝8；
（3）∵，
∵a，b，c是非负实数，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
∴的最小值为2．
25．【答案】（1）14；
（2）．
【解答】解：（1）由a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
可得a+b＝4，ab＝1，
；
（2）进行变形可得a+b＝2﹣c，ab＝c2﹣c，
∴a，b是x2﹣（2﹣c）x+c2﹣c＝0的解，
根据根的判别式可得Δ＝（2﹣c）2﹣4（c2﹣c）≥0，
整理得，
解得﹣≤c
∴正数c的最大值为．
26．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
27．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）60°．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝∠CAB＝60°，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵∠ABC＝60°，∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝120°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD＝120°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAB＝60°．
28．【答案】（1）见解析，A1（2，4），B1（4，1），C1（1，2）；
（2）见解析，（﹣3，0）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所作，A1（2，4），B1（4，1），C1（1，2）；
（2）作出点C关于x轴的对称轴点C2，连接BC2交x轴于点P，即点P即为所作，点P的坐标为（﹣3，0）．
29．【答案】110°．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
又∵CF是∠ACB的平分线，
∴，
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AEC＝90°+∠ECD＝90°+20°＝110°．
30．【答案】证明见解答过程．
【解答】解：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，即AC＝DF，
又∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
31．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（15，700）、（25，500）代入上式，得，
，
解得，
∴y＝﹣20x+1000（10≤x≤30）；
（2）依题意有：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝6000，
解得：x1＝20，x2＝40，
∵10≤x≤30，
∴x＝20；
答：该书的销售单价20元；
（3）销售该书每天的利润不能达到9000元．理由如下：
根据题意得：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝9000，
整理得x2﹣60x+950＝0，
∵Δ＝602﹣4×1×950＝﹣200＜0，
∴该方程没有实数根，
∴销售该书每天的利润不能达到9000元．
32．【答案】（1）甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；
（2）安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．
【解答】解：（1）设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进（160﹣x）千克，
由题意可得：5x+9（160﹣x）＝1000，
解得x＝110，
∴160﹣x＝50，
答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果购进（160﹣m）千克，获得的利润为w元，
由题意可得：w＝（8﹣5）m+（13﹣9）（160﹣m）＝﹣m+640，
∴w随m的增大而减小，
∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴160﹣m≤3m，
解得m≥40，
∴当m＝40时，w取得最大值，此时w＝600，160﹣m＝120，
答：安排购买甲种水果40kg，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．
33．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵一次函数y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3），
∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3，
∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3；
（2）①证明：∵一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0），
∴a+b＝0，
∴b＝﹣a，
∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a，
∵y2＝bx+a，
∴y2＝﹣ax+a，
∵点A（m，p）在一次函数y1＝ax﹣a的图象上，
∴p＝ma﹣a，
∵点B（n，p）在一次函数y2＝﹣ax+a的图象上，
∴p＝﹣na+a，
∴ma﹣a＝﹣na+a，
即ma+na＝2a，
∵a≠0，
∴m+n＝2；
②解：由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a，
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a，
∵a≠0，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当a＜0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝﹣2时，y为最大，
∴2a×（﹣2）﹣2a＝6，
解得：a＝﹣1
（ⅱ）当a＞0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝4时，y为最大，
∴2a×4﹣2a＝6，
解得：a＝1，
综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为﹣1或1．
34．【答案】见试题解答内容
【解答】解：任务一：由表格可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为25%；
任务二：由表格可知两个函数均为一次函数，设y1＝k1t+b1，y2＝k2s+b2，
对于y1＝k1t+b1，当t＝1时，y＝50，当t＝2时，y＝100，
∴，解得：，
∴y1＝50t；
对于y2＝k2s+b2，当s＝0时，y＝100，当s＝100时，y＝50，
∴，解得：，
∴；
任务三：∵，
∴当s＝40×3＝120时，；
∵到达目的地，还需要250﹣120＝130（千米），
∴还需消耗电量，
∴至少需充电65﹣40＝25，
∴当y1＝25时，50t＝25，
∴t＝0.5，
即：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电0.5小时．
35．【答案】（1）（2）见解答．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求．
36．【答案】（1）见解析；
（2）36°．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∵DE是AB边上的中线，
∴BE＝，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE．
（2）解：连接DE，
则DE＝AE＝CD，
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE，
∵BE＝DE，EF＝AF，
∴∠B＝∠BDE，
设∠B＝∠BDE＝x，则∠AED＝2x，∠AEF＝y，
∴∠DEF＝2x﹣y，
∵DE＝DC，
∴∠DEF＝∠BDE＝x，
∴2x﹣y＝x，
∴y＝x，
∴x+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°．
37．【答案】（1）见解析；
（2）5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：在Rt△BDE中，DE＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴CE＝CD﹣DE＝BC﹣2，
在Rt△BDE中，BC2＝CE2+BE2，
∴BC2＝（BC﹣2）2+42，
解得BC＝5．
38．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当定价为200元时，（200﹣180）÷10＝2（间）．
（50﹣2）×（200﹣20）＝8640（元）．
故答案为：2；8640；
（2）设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890．
整理，得x2﹣700x+122500＝0，
解得 x1＝x2＝350．
答：应该将每间房每天定价为350元．
39．【答案】114°．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝48°，
∴，
∵AE⊥BC，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AFB＝∠BEF+∠CBD＝90°+24°＝114°．
40．【答案】（1）证明见解答；（2）AD＝BE+DE，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵BE⊥MN，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：AD＝BE+DE，
理由如下：∵△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，BE＝CD，
∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE．
41．【答案】x≤3．
【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤6，得：x≤3，
解不等式x﹣1，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤3．
42．【答案】2≤x＜4，数轴见解析过程．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜4，
∴不等式组的解集为2≤x＜4，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
43．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得，
点B的横坐标为：1+＝，纵坐标为：15，
∴点B的坐标为（，15），
故答案为：（，15）；
（2）甲从点P跑到点N的速度为：＝7.5千米/时，
故答案为：7.5；
（3）由题意可得，点D的坐标为（0.5，0），点C的坐标为（2，20），
设线段CD的函数函数表达式为y＝kx+b，
，得，
即线段CD的表达式是y＝x﹣（0.5≤x≤2）．
44．【答案】（1）∠FCB＝70°，∠F＝45°；
（2）①见详解；
②．
【解答】（1）解：连接AE，BE，如图1所示：
∵点A关于直线BP的对称点E，
∴∠EBP＝∠ABP＝25°，AB＝EB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣25°﹣25°＝40°，
则，
∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（90°﹣25°）﹣70°＝45°；
（2）①证明：连接AE，PE，如图2所示：
设∠ABP＝a，∠APB＝90°﹣a，
∵点A关于直线BP的对称点E，
∴AE⊥BP，AP＝PE，∠PAE＝∠PEA＝a，∠DPE＝2a，
∵P是AD中点，
∴AP＝DP＝PE，
则，
∵∠FPD＝∠APB＝90°﹣a，
∴∠ADE＝∠FPD，
∴DE∥BF；
②解：如图3：连接AE，PE，点H，C关于AD对称，
∵CE的延长线交BP延长线于点F，连结DE，且P是AD中点，四边形ABCD是正方形，
∴HD＝CD＝AB，∠HDP＝∠BAP＝90°，HC∥AB，
∴∠DHP＝∠ABP，
∴△HDP≌△BAP（AAS），
∴∠HPD＝∠BPA，
则H，F，P三点共线，
∵DE∥BF，HD＝CD，
∴DE∥HB，
∴DE是△CHF的中位线，
∴HF＝2DE，CE＝EF，
∵AB＝6，
∴，
根据等面积法，得，
即，
设∠ABP＝a，∠APB＝90°﹣a，
由（1）知，BE＝CB，BA＝BE，
∴，
则∠FEO＝180°﹣（90°﹣a）﹣（45°+a）＝45°，
∵EA⊥BF，
∴∠EFO＝45°，
则FO＝EO，
∴，
∴．
45．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，
∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
∴Rt△BCE中，BC＝＝，
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2，
即x2+42＝（x+5）2﹣41，
解得x＝，
∴S△ABC＝AB×CE＝（+5）×4＝．
46．【答案】（1）10，15，200．
（2）750米．
（3）17.5或20分钟．
【解答】解：（1）由题意得a＝1500÷150＝10，
b＝10+5＝15，
m＝（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分），
故答案为：10，15，200．
（2）设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
将（15，1500），（22.5，3000）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝200x﹣1500（15≤x≤22.5），
∵小军速度为120米/分，
∴OD所在直线解析式为y＝120x，
联立方程，
解得，
3000﹣2250＝750（米），
∴小军在途中与爸爸第二次相遇时，距离图书馆750米．
（3）由题意得当x＜时，120x﹣（200x﹣1500）＝100，
解得x＝＝17.5，
当x＞时，200x﹣1500﹣120x＝100，
解得x＝20．
∴爸爸自第二次出发至到达图书馆前，小军骑行时间为17.5或20分钟时，两人相距100米．
47．【答案】（1）y＝2x+6；
（2）点（﹣1，5）不在这个函数图象上．
【解答】解：（1）设这个函数的解析式为y＝kx+b，
将点A（1，8）和点B（﹣3，0）代入可得：
，解得；
∴这个函数的解析式为y＝2x+6；
（2）点（﹣1，5）不在这个函数图象上，理由如下：
将x＝﹣1代入y＝2x+6得：
y＝2×（﹣1）+6＝4≠5；
∴点（﹣1，5）不在这个函数图象上．
48．【答案】（1）55°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC平分线，
∴∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，
∴∠BOE＝∠ABF+∠BAE＝40°+15°＝55°；
（2）证明：∵∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∵AD⊥CE，
∴DE＝DC．
49．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC、△ABC1、△ABC2即为所求作；
（2）如图所示，△ABD即为所求，
50．【答案】任务1：描点并作图见解答；是，y＝﹣2x+120（0≤x≤60），25；
任务2：h＝﹣x+180（0≤x≤60）；
任务3：cm．
【解答】解：任务1：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量x、y满足一次函数关系．
设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将x＝2，y＝116和x＝10，y＝100代入y＝kx+b，
得，解得，
∴y＝﹣2x+120．
将x＝a和y＝70代入y＝﹣2x+120，
得﹣2a+120＝70，解得a＝25；
当背带都为单层部分时，x＝0；
当背带都为双层部分时，y＝0，即﹣2x+120＝0，解得x＝60，
∴x的取值范围是0≤x≤60．
任务2：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
∴总长度为﹣2x+120+x＝﹣x+120，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得＝，
∴h＝﹣x+180（0≤x≤60）．
任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即x＝60，y＝0．
∵背包提在手上，且背包的悬挂点距地面高度为53.5cm，
∴手到地面的距离为（+53.5）cm，即83.5cm．
设小明爸爸的身高为h cm．
∵臂展和身高一样，且肩宽为38cm，
∴小明爸爸一条胳膊的长度为cm，
∴h++83.5＝h，解得h＝172，
根据任务2，得172＝﹣x+180，解得x＝，
∴此时双层部分的长度为cm．
声明：试题解
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录